4．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值是（ ）
A．2B．4
C．7D．8
详细分析：
选C.画出可行域如图（阴影部分）．
目标函数为z＝2x＋y，由解得A（3，1），
当目标函数过A（3，1）时取得最大值，
所以zmax＝2×3＋1＝7.
5．设a>0，b>0，若lga和lgb的等差中项是0，则＋的最小值是（ ）
A．1B．2
C．4D．2
详细分析：
选B.因为lga和lgb的等差中项是0，
所以lga＋lgb＝0，即ab＝1，又a>0，b>0，
所以＋≥2＝2，
当且仅当a＝b＝1时取等号，因此＋的最小值是2.
6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝1，＝4，则的值为（ ）
A.B.
C.D．4
详细分析：
选C.设公差为d，则S4＝4a1＋6d，S2＝2a1＋d，结合S4＝4S2，a1＝1，得d＝2，所以S4＝16，S6＝36，所以＝.
7．当x＞0时，不等式x2－mx＋9＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－∞，6）B．（－∞，6]
C．[6，＋∞）D．（6，＋∞）
详细分析：
选A.由题意得：
当x＞0时，mx＜x2＋9，即m＜x＋恒成立．设函数f（x）＝x＋（x＞0），则有x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，则实数m的取值范围是m＜6.
8．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a（an>0，n∈N*），则an＝（ ）
A．10n－2B．10n－1
C．102n－1D．22n－1
详细分析：
选D.因为数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a（an>0，n∈N*），所以log2an＋1＝2log2an，
即＝2.
又a1＝2，所以log2a1＝log22＝1.
故数列{log2an}是首项为1，公比为2的等比数列．
所以log2an＝2n－1，即an＝22n－1.故选D.
9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S＝（a＋b）2－c2，则sin等于 （ ）
A．1B．－
C.D.
详细分析：
选C.因为S＝absinC，cosC＝，所以2S＝absinC，a2＋b2－c2＝2abcosC．又4S＝（a＋b）2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，
所以2absinC＝2abcosC＋2ab.因为ab≠0，所以sinC＝cosC＋1.因为sin2C＋cos2C＝1，所以（cosC＋1）2＋cos2C＝1，解得cosC＝－1（不合题意，舍去）或cosC＝0，所以sinC＝1，
则sin＝（sinC＋cosC）＝.
10．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（ ）
A．13项B．12项
C．11项D．10项
详细分析：
选B.设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1，所以前三项之积aq3＝2，后三项之积aq3n－6＝4，两式相乘得aq3（n－1）＝8，即aqn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，所以a·q＝64，即（aqn－1）n＝642，即2n＝642，所以n＝12.
11．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为（ ）
A．20海里B．40海里
C．20（1＋）海里D．40海里
详细分析：
选A.连接AB，由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，所以∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，
在△ACD中，由正弦定理得＝，
所以AD＝20，
在Rt△BCD中，
因为∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，
所以BD＝CD＝40.
在△ABD中，由余弦定理得
AB＝＝20.
12．已知不等式x2－ax＋a－2＞0的解集为（－∞，x1）∪（x2，＋∞），其中x1＜0＜x2，则x1＋x2＋＋的最大值为（ ）
A.B．0
C．2D．－
详细分析：
选B.因为不等式x2－ax＋a－2＞0的解集为（－∞，x1）∪（x2，＋∞），其中x1＜0＜x2，
所以x1x2＝a－2＜0，x1＋x2＝a.
所以x1＋x2＋＋＝（x1＋x2）＋
＝a＋＝a＋＝a＋2＋＝（a－2）＋＋4；
又a－2＜0，所以－（a－2）＞0，
所以－（a－2）－≥2＝4，
当且仅当－（a－2）＝－，
即a＝0时，取“＝”；
所以（a－2）＋＋4≤－4＋4＝0，
即x1＋x2＋＋的最大值为0.
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．不等式（2－x）（2x＋1）＞0的解集为________．
详细分析：
原不等式等价于
（x－2）＜0，解得－＜x＜2，
所以原不等式的解集为.
答案：
14．在数列{an}中，a1＝2，an＋1－2an＝0（n∈N*），bn是an和an＋1的等差中项，设Sn为数列{bn}的前n项和，则S6＝________．
详细分析：
由an＋1＝2an，{an}为等比数列，
所以an＝2n，所以2bn＝2n＋2n＋1，即bn＝3·2n－1，所以S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.
答案：
189
15．设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________．
详细分析：
约束条件所表示的区域为如图所示的阴影部分，其中点A（4，4），B（0，2），C（2，0）．当－k≤，即k≥－时，目标函数z＝kx＋y在点A（4，4）处取得最大值12，故4k＋4＝12，k＝2，满足题意；当－k＞，即k＜－时，目标函数z＝kx＋y在点B（0，2）处取得最大值12，故k·0＋2＝12，无解．综上所述，k＝2.
答案：
2
16．已知数列{an}的前n项和是Sn，且4Sn＝（an＋1）2，则下列说法正确的是________（填序号）．
①数列{an}是等差数列；
②数列{an}是等差数列或等比数列；
③数列{an}是等比数列；
④数列{an}既不是等差数列也不是等比数列．
详细分析：
因为4Sn＝（an＋1）2，所以4Sn＋1＝（an＋1＋1）2，所以4Sn＋1－4Sn＝4an＋1＝（an＋1＋1）2－（an＋1）2，化简得（an＋1＋an）（an＋1－an－2）＝0，所以an＋1＝an＋2或an＋1＋an＝0.因为4a1＝（a1＋1）2，所以a1＝1.由an＋1＝an＋2得an＋1－an＝2，从而数列{an}是等差数列；由an＋1＋an＝0得＝－1，从而数列{an}是等比数列．故数列{an}是等差数列或等比数列．
答案：
②
三、解答题：
本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，S7＝49，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：
（1）设数列{an}的公差为d，则
解得
故an＝a1＋（n－1）d＝2n－1（n∈N*），所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1（n∈N*）．
（2）bn＝＝＝2n，
即{bn}是b1＝2，q＝2的等比数列，
所以Tn＝＝＝2n＋1－2（n∈N*）．
18．（本小题满分12分）已知f（x）＝x2－x＋1.
（1）当a＝时，解不等式f（x）≤0；
（2）若a＞0，解关于x的不等式f（x）≤0.
解：
（1）当a＝时，有不等式f（x）＝x2－x＋1≤0，所以（x－2）≤0，
所以≤x≤2，即所求不等式的解集为.
（2）因为f（x）＝（x－a）≤0，a＞0，且方程（x－a）＝0的两根为x1＝a，x2＝，
所以当＞a，即0＜a＜1时，不等式的解集为；
当＜a，即a＞1时，
不等式的解集为；
当＝a，即a＝1时，
不等式的解集为{1}．
19．（本小题满分12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0.
（1）求A；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.
解：
（1）由acosC＋asinC－b－c＝0及正弦定理得
sinAcosC＋sinAsinC－sinB－sinC＝0.
因为B＝π－A－C，
所以sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.
由于sinC≠0，所以sin＝.
又0（2）△ABC的面积S＝bcsinA＝，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.
20．（本小题满分12分）在△ABC中，已知AB＝，BC＝2.
（1）若cosB＝－，求sinC的值；
（2）求角C的取值范围．
解：
（1）在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝3＋4－2×2×＝9，所以AC＝3.又sinB＝＝＝，
由正弦定理得＝，所以sinC＝·sinB＝.
（2）在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC，
所以3＝AC2＋4－4AC·cosC，
即AC2－4cosC·AC＋1＝0 ①，
由题意得关于AC的一元二次方程①有解，令Δ＝（4cosC）2－4≥0，解得cosC≥或cosC≤－，
因为AB＜BC，所以cosC＞0，所以cosC≤－应舍去，
所以0＜C≤，故角C的取值范围是.
21．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2－（b－c）2＝（2－）bc，sinAsinB＝cos2.
（1）求角B的大小；
（2）若等差数列{an}的公差不为零，且a1cos2B＝1，a2，a4，a8是等比数列，求数列的前n项和Sn.
解：
（1）由a2－（b－c）2＝bc，得a2－b2－c2＝－bc， 所以cosA＝＝.
因为0＜A＜π，所以A＝.
由sinAsinB＝cos2，得sinB＝，
所以sinB＝1＋cosC，所以cosC＜0，则C∈.
又因为B＋C＝π－A＝π，
所以sin＝1＋cosC，
所以cos＝－1.
解得C＝π.故B＝π－A－C＝.
（2）设数列{an}的公差为d.
由已知得a1＝＝2.因为a2，a4，a8是等比数列，所以a＝a2·a8，所以（a1＋3d）2＝（a1＋d）（a1＋7d），整理，得d（d－2）＝0.
又因为d≠0，所以d＝2，所以an＝2n，
所以＝＝－，
所以Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
22.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝（x－1）2，g（x）＝4（x－1），数列{an}满足a1＝2，an≠1，（an＋1－an）g（an）＋f（an）＝0.
（1）求证：
an＋1＝an＋；
（2）求数列{an－1}的通项公式；
（3）若bn＝3f（an）－g（an＋1），求{bn}中的最大项．
解：
（1）证明：
由（an＋1－an）g（an）＋f（an）＝0，g（an）＝4（an－1），f（an）＝（an－1）2，得（an－1）（4an＋1－3an－1）＝0.
又an≠1，
所以an＋1＝an＋.
（2）因为an≠1，所以＝＝＝（n≥1），
所以{an－1}是公比为的等比数列．
又a1－1＝1，
所以an－1＝.
（3）由
（2）知an＝＋1，
由
（1）知an＋1＝an＋，
则bn＝3f（an）－g（an＋1）
＝3（an－1）2－4（an＋1－1）
＝3（an－1）2－4
＝3a－9an＋6
＝3－9＋6
＝3－3，
设u＝，y＝bn，
则y＝3－，
因为当n≥1时，0＜u＝≤1，
所以当u＝1时，ymax＝0，此时n＝1，
则{bn}的最大项为b1＝0.
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