可逆矩阵判定典型例题矩阵可逆.docx
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可逆矩阵判定典型例题矩阵可逆
【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆
典型例题
（二）方阵可逆的判定
例1设A是n阶方阵,试证下列各式：
（1）若|A|≠0,则（AT）-1=（A-1）T
；
（2）若A、B都是n阶可逆矩阵,则
（AB）*=B*A*
；（3）
（AT）*=（A*）T；（4）若|A|≠0,则（A*）-1=（A-1）*
；（5）
（-A）*=（-1）n-1A*；（6）若|A|≠0,则（Al）-1=（A-1）l
（l为自然数）；（7）
（kA）*=kn-1A*.证
（1）因为|A|≠0,故A是可逆矩阵,且
AA-1
=E两边同时取转置可得
（AA-1）T=（A-1）TAT=（E）T=E
故由可逆矩阵的定义可知
（A-1）T是AT的逆矩阵.即
（A-1）T=（AT）-1
（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有
（AB）*（AB）=|AB|E
另一方面
（B*A*）（AB）=B*（A*A）B=B*（|A|I）B
=|A|B*B=|A||B|E=|AB|E
比较式（2-7）、（2-8）可知
（AB）*（AB）=（B*A*）（AB）
又因为A、B均可逆,所以（AB）也可逆,对上式两端右乘（AB）-1
可得
（AB）*=B*A*
（3）设n
阶方阵A为
⎡aa12a⎢11
1n⎤A=⎢a⎥⎢21a22a2n⎥⎢⎥
⎢⎥aa⎥
⎣n1n2ann⎦于是可得A的伴随矩阵A*
为
⎡AA⎢11
21An1⎤A*=⎢A⎥⎢12A22An2⎥⎢⎥
⎢⎥⎣AA⎥1n2nAnn注意到⎦A的转置矩阵为
2-7）2-8）（
（
T
可推出A的伴随矩阵为
⎡a11⎢⎢a12
AT=⎢
⎢⎢a⎣1n
a21a22a2n
A12A22An2
an1⎤⎥an2⎥⎥⎥ann⎥⎦
*
比较A与（A）可知
T*
⎡A11⎢⎢A21
（AT）*=⎢
⎢⎢A⎣n1
*T
T*
A1n⎤⎥A2n⎥⎥⎥Ann⎥⎦
（A）=（A）
*-1|A|≠0AA（4）因为,故A可逆,A的逆矩阵为,并且由A=|A|E可知
-1-1*-1-1|A|≠0A（A）=|A|E可得A由于,可逆且
1
（A-1）*=A
|A|
另一方面,由
A*=|A|A-1
A*（A-1）*=|A|A-1
*
由矩阵可逆的定义知,A可逆,并且
*-1
-1*
1
A=E|A|
（A）=（A）
（5）对于（3）给出的矩阵A,有
-a12⎡-a11
⎢
-a22⎢-a21
-A=⎢
⎢
⎢-a-an2⎣n1
即
a1j-1-ai-1j-1-ai+1j-1
-anj-1
-a1n⎤
⎥-a2n⎥
⎥⎥-ann⎥⎦
-aij
的代数余子式为
-a11
（-1）
i+j
-a1j+1-ai-1j+1-ai+1j+1
-anj+1
-a1n-ai-1n-ai+1n-ann
-ai-11-ai+11-an1
故
=（-1）
n-1
Aij（i,j=1,2,,n）
⎡（-1）n-1A11（-1）n-1A21（-1）n-1An1⎤⎢⎥n-1n-1n-1
（-1）A22（-1）An2⎥⎢（-1）A12n-1*
（-A）*=⎢⎥=（-1）A
⎢⎥⎢⎥n-1n-1n-1（-1）A（-1）A（-1）A1n2nnn⎦⎣
（6）因为|A|≠0,故A可逆,并且
l-1-1-1-1-1-1l（A）=（AAA）=AAA=（A）
l个l个（7）对于（3）给出的矩阵A,有
ka11ka1n⎤⎡ka11
⎢⎥kakaka⎢21222n⎥kA=⎢⎥
⎢⎥⎢kakan2kann⎥n1⎣⎦
kaijkn-1Aij
类似于（5）可知的代数余子式为,故
**T
例2设A是n阶非零矩阵,并且A的伴随矩阵A满足A=A,证明A是可逆矩阵.证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式,有
*T
反证,假设A不可逆,故有|A|=0,由上式及条件A=A,有
AA*=AAT=O（2-6）
设矩阵A为
a12a1n⎤⎡a11
⎢⎥aaa⎢21222n⎥A=⎢⎥
⎢⎥⎢aan2ann⎥n1⎣⎦
由式（2-6）可知
a12a1n⎤⎡a11a21an1⎤⎡a11
⎢⎥⎢⎥aaaaaa⎢21222n⎥⎢1222n2⎥
AAT=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢a⎢aan2ann⎥a2nann⎥n11n⎣⎦⎣⎦
nn
⎡n2⎤
aaaaa⎢1i1i2i1ini⎥i=1i=1i=1⎢⎥nnn⎢⎥2
aaaaa2i1i2i2ini⎥=O=⎢i=1i=1i=1⎢⎥⎢n⎥nn⎢2⎥aaaaani1ini2ini⎢⎥i=1i=1i=1⎣⎦
比较上式两边矩阵对角线上的元素有
AA*=A*A=|A|E
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑a
i=1
n
2ji
=0（j=1,2,,n）
故
aj1=aj2==ajn=0（j=1,2,,n）
因此有A=O,与A是n阶非零矩阵矛盾,故A是可逆矩阵.例3设A、B都是n阶可逆矩阵,证明：
（AB）-1=A-1B-1的充要条件是AB=BA
-1
证必要性：
因为（AB）
=A-1B-1=（BA）-1
（AB）（AB）-1（BA）=（AB）（BA）-1（BA）因此
AB=BA即
充分性：
因为AB=BA,故
（AB）-1=（BA）-1=A-1B-1.
T-1
|A|=1,A=A例4设A是一个n阶方阵,n为奇数,且,证明（I-A）不可逆.
T-1
证因为A=A,故
因此有
AAT=AA-1=E
所以
故E-A是不可逆矩阵.
-1
（E-A）求.
TT
|E-A|=|AA-A|=|A（A-E）|
T
=|A||（A-E）|=|A-E|
=（-1）n|E-A|=-|E-A|
|E-A|=0
k
例5设A是n阶方阵且对某个正整数k满足A=O,证明E-A是可逆矩阵,并
证由于
k2k-1
1-x=（1-x）（1+x+x++x）
故对于方阵A的多项式,仍有
k
注意到A=O,故有
E-Ak=（E-A）（E+A+A2++Ak-1）
因此（E-A）可逆,并且
（E-A）（E+A+A2++Ak-1）=E（E-A）-1=E+A+A2++Ak-1
（A*）*是A的伴随矩阵A*的伴随矩阵,证明：
例6设A是
n（n>2）阶方阵,
2
**n-2（A）=|A|A；
（1）
**（n-1）
（2）|（A）|=|A|.
证
（1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系,有
即从而有
*
AA*=|A|E
A*（A*）*=|A*|E
AA*（A*）*=|A|（A*）*=A[A*（A*）*]=|A*|A
对AA=|A|E两边取行列式,有
*n-1
若A可逆,|A|≠0,故|A|=|A|,于是有
|AA*|=|A||A*|=||A|E|=|A|n
A（A）=|A|E两边取行列式,有
（2）对
|（A）|=|A|=（|A|）=|A|**（n-1）2
若A不可逆,则|（A）|=0=|A|
22
例7设A、B是同阶方阵,已知B是可逆矩阵,且满足A+AB+B=O,证明A和A+B都是可逆矩阵,并求它们的逆矩阵.
2
|A*|
（A）=A=|A|n-2A
A
**
22
A+AB=A（A+B）=-B证因为,由于
2n2
|A（A+B）|=|A||A+B|=|-B|=（-1）|B|≠0
所以|A|≠0,|A+B|≠0
因而有A,A+B可逆.
2-1
-（B）A（A+B）=E由
2-1
由-A（A+B）（B）=E
-12-1
（A+B）=-（B）A可知
-12-1
可知A=-（A+B）（B）.
例8设A、B均是n阶方阵,且
-1
E+AB可逆,则E+BA也可逆,并且
-1
（E+BA）=E-B（E+AB）A
因此（E+BA）可逆,并且
（E+BA）（E-B（E+AB）-1A）=E+BA-B（E+AB）-1A-BAB（E+AB）-1A
-1-1
=E+BA-B[（E+AB）A+AB（E+AB）A]
-1
=E+BA-B（E+AB）（E+AB）A
=E+BA-BA=E
例9设n阶矩阵A、B和A+B均可逆,证明：
-1-1-1-1-1-1-1（A+B）=A（A+B）B=B（A+B）AA+B
（1）也可逆,且
-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1
（A+B）=A-A（A+B）A=B-B（A+B）B
（2）
（E+BA）-1=E-B（E+AB）-1A
证
（1）因为
-1-1-1-1-1-1-1B
A+B=AA（A+B）BB=A（A+B）
两边取行列式有
-1-1-1-1|A+B|=|A||A+B||B|
-1
因为
-1-1
故A+B是可逆矩阵.
-1|A|≠0A+BA、B、可逆,故
|A-1+B-1|≠0
|B-1|≠0
|A+B|≠0所以有
（A-1+B-1）[A（A+B）-1B]=（E+B-1A）（A+B）-1B
-1-1-1
=（E+BA）[B（A+B）]
故
（A+B）
-1
-1-1
=A（A+B）-1B
=（E+B-1A）（E+B-1A）-1=E
同理可证
（2）因为
（A-1+B-1）-1=B（A+B）-1A.
（A+B）[A-1-A-1（A-1+B-1）-1A-1]=（A+B）[A-1-A-1A（A+B）-1BA-1]
-1
（A+B）=（A+B-B）A-1=AA-1=I
=A-1-A-1（A-1+B-1）-1A-1
=（A+B）[I-（A+B）-1B]A-1
故
同理可证
（A+B）-1=B-1-B-1（A-1+B-1）-1B-1.
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