大学统计学第七章练习题及答案.docx
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大学统计学第七章练习题及答案
第7章参数估计
练习题
（1）样本均值的抽样标准差x等于多少？
（2）
在95%的置信水平下，边际误差是多少？
49名顾客
7.2某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取
组成了一个简单随机样本。
（1）假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差；
（2）在95%的置信水平下，求边际误差；
（3）如果样本均值为120元，求总体均值的95%的置信区间。
解.已知.根据查表得z/2=1.96
（2）•已知z/2=1.96
所以边际误差
1.96*-4^=4.2
.49
X104560,假定总体标准差
（3）置信区间：
XZS120151.96115.8,124.2
2Tn；49
7.3从一个总体中随机抽取
n100的随机样本，得到
85414，构建总体均值的95%的置信区间。
Z1.96
2
XZ2...n
104560
16741.144
87818.856
XZ2.,n
104560
16741.144
121301.144
置信区间：
（87818.856,
121301.144
（1）构建的90%的置信区间。
（2）构建的95%的置信区间。
（3）构建的99%的置信区间。
解；由题意知n
100,X81,s
12.
（1）置信水平为
1
90%，
则Z
~2
1.645.
S
12
由公式X
z
~2
~T81
一n
1.645
811974
100
即811.97479.026,82.974,
则的90%的置信区间为79.026~82.974
即812.352=（78.64883.352）,
则的95%的置信区间为78.648~83.352
即813.1
则的99%的置信区间为
7.5禾U用下面的信息，构建总体均值的置信区间。
（1）x
25，
3.5，n60，
置信水平为95%。
（2）x
119.6，
s23.89，n
75，置信水平为98%。
（3）x
3.419，
s0.974，n
32，置信水平为90%。
⑴X
25,
3.5,n
60,置信水平为
95%
解:
Z1.96,
~2
2-n
1.96
3.50.89
.60
置信下限:
:
X
Z250.8924.11
2■■-n
置信上限:
:
X
Z一250.8925.89
2-n
置信区间为（24.11,25.89）
⑵X119.6,s23.89，n75,置信水平为98%
解：
Z2.33
2
s
23.89
6.43
Z2.33
2n
75
置信下限：
X
119.66.43113.17
置信上限:
119.66.43126.03
2■-n
置信区间为（113.17,26.03）
⑶x=3.419,s=0.974,n=32,置信水平为90%
所以该总体的置信区间为
0.283
即3.4190.283=（3.136，3.702）所以该总体的置信区间为3.136~3.702.
（1）
总体服从正态分布，且已知
500,n
15,x8900，置信水平为95%
（2）
总体不服从正态分布，
且已知
500,n
35
x8900,置信水平为95%
（3）
总体不服从正态分布，
未知，
n35,
x
8900,s500,置信水平为
90%。
（4）
总体不服从正态分布，
未知，
n35,
x
8900,s500,置信水平为
99%。
7.6禾U用下面的信息，构建总体均值
的置信区间。
O
O
（3）解：
已知n35,x8900,s=500,由于总体方差未知，但为大样本,
可用样本方差来代替总体方差
•••置信水平1—=90%•••z1.645
2
所以总体均值的置信区间为（8761,9039）
（4）解：
已知n35,x8900,s500,由于总体方差未知，但为大样
本，可用样本方差来代替总体方差
置信水平1—a=99%•z2.58
2
•置信区间为X
s500
z89002.58（8682,9118）
2.n.35
所以总体均值的置信区间为（8682,9118）
7.7某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽
取36人，调查他们每天上网的时间，得到的数据见Book7.7（单位：
h）。
求该校大学生
平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。
解：
已知：
X3.3167s1.6093n=36
1•当置信水平为90%时，z1.645，
2
所以置信区间为（2.88,3.76）2•当置信水平为95%时，z1.96，
2
所以置信区间为（2.80,3.84）3.当置信水平为99%时，z2.58，
2
所以置信区间为（2.63,4.01）
7.8从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值见Book7.8。
求总体均值95%
0.05,t0.05（81）2.365
的置信区间。
已知：
总体服从正态分布，但未知，n=8为小样本,
根据样本数据计算得：
x10,s3.46
7.9某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样
本，他们到单位的距离（单位：
km）数据见Book7.9。
求职工上班从家里到单位平均距
离95%的置信区间。
=0.05,以5/2（161）2.131
已知：
总体服从正态分布，但未知，n=16为小样本,
根据样本数据计算可得：
X9.375,s=4.113
从家里到单位平均距离得95%的置信区间为：
s
xt/2-
Jn
4113
9.3752.1319.3752.191
V14
即（7.18,11.57）。
7.10从一批零件中随机抽取36个，测得其平均长度为149.5cm,标准差为1.93cm。
（1）试确定该种零件平均长度95%的置信区间。
（2）在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？
请简要解释这一定理。
解：
已知103,n=36,X=149.5,置信水平为1-=95%，查标准正态分布表得
/2=1.96.
根据公式得:
103
x
/2=149.51.96
JnV36
即149.51.96——=（148.9,150.1）
136
答：
该零件平均长度95%的置信区间为148.9~150.1
（3）在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？
请简要解释这一定理。
答：
中心极限定理论证。
如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这
个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。
在现实生活中，
一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是普遍存
在的。
样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也
趋近正态分布，这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。
7.11某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为100g。
现从某天生产的
一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量（单位：
g）见Book7.11。
已知食品重量服从正态分布，要求：
（1）确定该种食品平均重量的95%的置信区间。
（2）如果规定食品重量低于100g属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区
间。
（1）已知：
总体服从正态分布，但未知。
n=50为大样本。
=0.05,0.05/2=1.96
根据样本计算可知=101.32s=1.63
该种食品平均重量的95%的置信区间为
—/2S/Vn101.321.96*1.63/J50101.320.45
即（100.87,101.77）
（2）由样本数据可知，样本合格率：
p45/500.9。
该批食品合格率的95%的置信区
间为：
17（1__p）,cc|o.9（10.9）
p/2=0.91.96：
=0.90.08,即（0.82,0.98）
VnV50
答：
该批食品合格率的95%的置信区间为：
（0.82,0.98）
7.12假设总体服从正态分布，利用Book7.12的数据构建总体均值的99%的置信区间。
根据样本数据计算的样本均值和标准差如下；
—
0.8706
x=16.13
=0.8706E=Z——=2.58*=0.45
"2Jn5
置信区间为xE所以置信区间为（15.68,16.58）
18
7.13一家研究机构想估计在网络公司工作的员工每周加班的平均时间，为此随机抽取了
名员工，得到他们每周加班的时间数据见Book7.13（单位：
h）。
假定员工每周加班的时
间服从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。
解：
已知X=13.567.800.1n=18
E=*.n
2
置信区间=[x-n,X+.n]
■2/2
所以置信区间=[13.56-1.645*（7.80/.18）,13.56+1.645*（7.80/..18）]
=[10.36,16.76]
7.14禾U用下面的样本数据构建总体比例的置信区间。
（1）
n
44,p
0.51，置信水平为
99%。
（2）
n
300,p
0.82，置信水平为
95%。
（3）
n
1150,p
0.48，置信水平为90%。
（1）
n
44,p
0.51，置信水平为
99%。
解：
由题意，已知n=44,置信水平a=99%,Za/2=2.58
又检验统计量为：
Pz•.p（1P）,故代入数值计算得,
Vn
Pzj—=（0.316,0.704）,总体比例的置信区间为（0.316,0.704）
解：
由题意，已知n=300,置信水平a=95%,Za/2=1.96
又检验统计量为：
PZ、P（1p）,故代入数值计算得,
丫n
（3）n1150,p0.48，置信水平为90%。
解：
由题意，已知n=1150,置信水平a=90%,Za/2=1.645
又检验统计量为：
PZ、p（1—P），故代入数值计算得，
Pzj—=（0.456,0.504），总体比例的置信区间为（0.456,0.504）
¥n
（1）当置信水平为1-=90%时，Z/2=1.645
所以p
fp（1P）"心1'0.23（10.23）
z/20.231.645.=0.230.04895
:
n,200
即0.23
0.04895=（0.1811,0.2789）,
（2）当置信水平为1-=95%时，Z/2=1.96
0.231.96.O'23（1°.23）=0.230.05832
V200
即0.230.05832=（0.1717,0.28835）；
答：
在居民户中拥有该品牌电视机的家庭在置信水平为90%的置信区间为
（18.11%,27.89%）,在置信水平为95%的置信区间为（17.17%,28.835%）
7.16一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额。
他假设所有顾客月存
款额的标准差为1000元，要求估计误差在200元以内，应选取多大的样本？
解：
已知1OOO,E=1000,199%,z/22.58
7.17要估计总体比例
答：
置信水平为99%，应取167个样本。
（1）
E
0.02，
0.40，
置信水平为
96%。
（2）
E
0.04，
未知，置信水平为95%。
（3）
E
0.05，
0.55，
置信水平为
90%。
（1）
解:
已知E
0.02，
0.40,，
/2=2.05
由
n
2
/2
（1）/
2得
，计算下列个体所需的样本容量。
22
n2.050.40（10.4）0.02=2522
答：
个体所需的样本容量为2522。
（2）解:
已知E
0.04，
/2=1.96
由
n
/22（1
）/2得
n
1.962
0.520.04
2601
答：
个体所需的样本容量为601。
（3）解：
已知0.05，0.55，/2=1.645
由n/22
（1）/2得
n1.64520.550.450.052=268
答：
个体所需的样本容量为268。
7.18某居民小区共有居民500户，小区管理者准备采取一向新的供水设施，想了解居民是否赞成。
采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。
（1）求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间，置信水平为95%。
（2）如果小区管理者预计赞成的比例能达到80%，应抽取多少户进行调查？
（1）已知：
n=50Z1.96
根据抽样结果计算的样本比例为P=32/50=60%
根据（7.8）式得：
P、吓64%1.96（更尸
即64%12.63%（51.37%,76.63%）
答：
置信区间为（51.37%,76.63%）
（2）已知80%
10%Z1.96
2
则有：
n
2
Z.*
（1）
2
2
1.962*0.8（10.8）
0.1
62
答：
应抽取62户进行调查
的90%的置信区间。
（1）x
21,
s
2,n
50。
（2）x
1.3,
s
0.02,
n15<
（3）x
167,
s
31,
n22。
解:
已知1
90%,
10%-
2
1）
查表知
2（n
1）
67,
12（n
2
2
由公式
（n1）
2
s2
2
（n1）s
2
~2
1-
2
得
（501）*
22
（50
2
1）*22
\67
34
2）
查表知
2（n
1）
23.6848,
7.19根据下面的样本结果，计算总体标准差
2
解得（1.72,2.40）
2
0.05,1
-0.95
2
1）34
2（n
2
1）6.57063
由公式
（n1）s2
（n
1）s2
2
1-
2
得（151）*0.022寸丫23.6848
（151）*0.022
6.57063
解得（0.0150.029）
2z八
3）查表知（n1）
32.6705,
2（n
1）11.5913
2（n1）s2
2
2
由公式（n1s
~2
得（221）*312
寸”32.6705
（221）*312
11.5913
，解得（24.85,41.73）
7.20顾客到银行办理业务时往往需要等待一些时间，而等待时间的长短与许多因素有关，
比如，银行的业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等等。
为此，某银行准备采
取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是所有顾客都进入一个等待队列；第二种排
队方式是：
顾客在三个业务窗口处列队三排等待。
为比较哪种排队方式使顾客等待的时
间更短，银行各随机抽取了10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间（单位：
min）
见Book7.20。
（1）构建第一种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。
（2）构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。
（3）根据
（1）和
（2）的结果，你认为哪种排队方式更好？
7.21从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表:
来自总体
1的样本
来自总体
2的样本
14
门2
7
X1
53.2
X2
43.4
2
S1
96.8
2
S2
102.0
（1）
求1
2的90%的置信区间。
（2）
求1
2的95%的置信区间。
（3）
求1
2的99%的置信区间。
7.22从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表:
来自总体1的样本
来自总体2的样本
x125
X223
S216
s；20
（1）设mn2100，求1
295%的置信区间。
（2）
设m
n210
2
，1
2，求1
2的95%的置信区间。
（3）
设n,
n210
2
，1
2，求1
2的95%的置信区间。
（4）
设m
10,n2
20
22
12，求
12的95%的置信区间。
（5）
设n1
10,n2
20，
22,
12，求
12的95%的置信区间。
7.23Book7.23是由4对观察值组成的随机样本。
（1）计算A与B各对观察值之差，再利用得出的差值计算d和sd。
（2）设!
和2分别为总体A和总体B的均值，构造di2的95%的置信区间。
7.24一家人才测评机构对随机抽取的10名小企业的经理人用两种方法进行自信心测试，得
到的自信心测试分数见Book7.24。
构建两种方法平均自信心得分之差d12的
95%的置信区间。
7.25从两个总体中各抽取一个n1n2250的独立随机样本，来自总体1的样本比例为
P1
40%，
来自总体2的样本比例为P230%
（1）
构造
12的90%的置信区间。
（2）
构造
12的95%的置信区间。
7.26生产工序的方差是工序质量的一个重要度量。
当方差较大时，需要对工序进行改进以
减小方差。
两部机器生产的袋茶重量（单位：
g）的数据见Book7.26。
构造两个总体方
差比2/；的95%的置信区间。
2%。
如果要求95%的置信区间，若要求
7.27根据以往的生产数据，某种产品的废品率为边际误差不超过4%,应抽取多大的样本？
P（1P）
2P（1P）
n=
p（1p）1.9620.020.98
答：
所以应取样本数48。
7.28某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。
根据过去的经验，标准差大约为120元，现要求以95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间，并要求边际误差不超过20元，应抽取多少个顾客作为样本？
解：
已知120，E20，当a0.05时，z0.05/21.96。
应抽取的样本量为：
2222
n（z/2）2佔6；120139
E20
7.29假定两个总体的标准差分别为112，215，若要求误差范围不超过5,相应的
置信水平为95%，假定mn2，估计两个总体均值之差12时所需的样本量为多
大。
为12时所需的样本量为多大。
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