一元二次方程解法讲义.docx
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一元二次方程解法讲义
龙文教育学科教师辅导讲义
课题
一兀一次方程的解法
教学目标
1.理解一元二次方程及其有关概念
2.会解一元二次方程，并能熟练运用四种方法去解
重点、难点
1.一元二次方程的判定，求根公式
2.一兀二次方程的解法与应用
考点及考试要求
1.一兀二次方程的定义，一般形式，配方式
2.熟练一元二次方程的解法能灵活运用：
直接开平法，配方法.，因式分解，公式法去
3.一元二次方程在实际问题中的综合应用
教学内容
考点一、概念
（1）定义：
①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程就是一元二次方程。
•・・・・・・・•・・・・・・・・••・・・
⑵一般表达式：
ax2bxc0（a0）
注：
当b=0时可化为ax2c0这是一元二次方程的配方式
（3）四个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）且未知数次数最高次数是2;（3）是整式方程•要判断
一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理•如果能整理
为ax2bxc0（a0）的形式，则这个方程就为一元二次方程.（4）将方程化为一般形式：
ax2bxc0时，应满足（aM0）
（4）难点：
如何理解“未知数的最高次数是2”：
1该项系数不为“0”；
2未知数指数为“2”；
3若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
211222
A3x12x1B——20Caxbxc0Dx2xx1
xx
变式：
当k时，关于x的方程kx2xx3是一元二次方程。
例2、方程m2xm3mx10是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解
⑴概念：
使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：
利用根的概念求代数式的值；
典型例题：
例1、已知2y2y3的值为2,则4y22y1的值为。
例2、关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根为0,则a的值为。
说明：
任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制•
例3、已知关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的系数满足acb，则此方程必有一根为。
说明：
本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x24xm0的两个根，b,c是方程y28y5m0的两个根，贝Um的值为。
例5、已知a
b，
2a
2a1
0，
2
b2b10，
求ab
变式：
若a2
2a
1
0，b2
2b
ab
10，则
ba
的值为
6方程ab
x2
b
cxc
a
0的一个根为（
）
A1
B
1
C
bc
D
a
7、若2x5y
3
0,贝U4x?
32
y
。
考点三、方程解法
（1）基本思想方法：
解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程
（2）方法：
①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
类型一、直接开方法：
就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。
用直接开平方法解形如x2mm0,其解为：
xv'm
※对于xa2
2
m，axm
bx
n等形式均适用直接开方法
典型例题：
例1、解方程：
12x280;
（2）
22
（3x1）731x90;
（4）9x
1216x22
2
（5）9x224x1611
例2、解关于x
的方程：
ax2b
0
3.下列方程无解的是（）
A.x232x2
1B.x22
0
2
C.2x31xD.x90
类型二、配方法
基本步骤：
1.先将常数c移到方程右边2.将二次项系数化为1
3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式:
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
典型例题：
例1、试用配方法说明x22x3的值恒大于0,10x27x4的值恒小于0。
例2、已知x、y为实数，求代数式x2y22x4y7的最小值。
变式：
若t2、3x212x9，则t的最大值为，最小值为。
例3、已知x2y24x6y130,x、y为实数，求xy的值。
2111
变式1:
已知x2x-40，则x.
xxx
变式2:
如果ab、厂12折,4,那么a2b3c的值为。
例4、分解因式：
4x212x3
类型三、因式分解法：
把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法
xx-ixx20xx1,或xx2
※方程特点：
左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”
※方程形式：
如axm2bxn2，xaxbxaxc，x22axa20
※分解方法：
提公因式，利用平方差与完全平方公式，十字相乘法
针对练习：
例1、
2xx3
5x
3的根为（
）
5
5
2
A
x
B
x3
C
x1,x23D
x
2
2
5
例2.
（1）
4a2
2
169b
（平方差）
（2）
C4^32
8xy6xy
3
2xy（提公因式）
222
（3）（mn）4（mn）（平方差）（4）a6a9（完全平方式）
222
（5）12xyx36y（完全平方式）（6）（ab）5（ab）4（十字相乘法）
（7）p27pq12q2（十字相乘法）（8）5n（2mn）22（n2m）3（提公因式）
例3、若4xy234xy40，则4x+y的值为。
例4、方程x2x60的解为（）
A.x13,x22B.x13,x22C.x-i3,x23D.x12,x22
例5、解方程：
x22\31x2,340
例&已知2x23xy2y20,则xy的值为。
xy
变式：
已知2x23xy2y20,且x0,y0,则xy的值为。
xy
例7、解下列方程
224x+14x-52
（1）（2x-3）=（3x-2）
（2）5-2=3x+2
⑷5m2-17m+14=0（5）（x2+x+1）（x2+x+12）=42（6）2x2+（3a-b）x-2a2+3ab-
b2=0
例8、解关于x的方程x2+x-2+k（x2+2x）=0（对k要讨论）
类型四、公式法：
把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，
把各项系数a,b,c的值代入求根公式，就可得到方程的根。
⑴条件：
a0,且b24ac0⑵公式：
x―bb,a0,且b24ac0
2a
典型例题：
例
1、选择适当方法解下列方程：
⑴31x2
6.
⑵x3x68.
2
（3）x4x10
⑷3x24x
1
0⑸3x13x1x
12x5
说明：
解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。
例2、在实数范围内分解因式：
（1）x22、2x3；
（2）4x28x1.⑶2x24xy5y2
说明：
①对于二次三项式ax2bxc的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这
种方法首先令ax2bxc=0,求出两根，再写成ax2bxc=a（xx1）（xx2）.
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去类型五、“降次思想”的应用
主要内容：
⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。
典型例题：
说明：
在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：
①能对已知式进行灵活的变形;②能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幕化为低次幕，最后求解。
例4、用两种不同的方法解方程组“'6，2⑴
x25xy6y20.
（2）
说明：
解二元二次方程组的具体思维方法有两种：
①先消元，再降次；②先降次，再消元。
但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.
当满足①a0、②0时，才能用韦达定理。
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x28x70的两根，则这个直角三
角形的斜边是（）
A.3B.3C.6D.
说明：
要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握ab、ab、ab、a2b2
之间的运算关系.例2、解方程组：
说明：
一些含有xy、xy2、xy的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题•有时，后者显得更为简便•
例3、已知关于x的方程k2x22k1x10有两个不相等的实数根Xi,X2，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？
若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。
例4、当k取何值时，方程x24mx4x3m22m4k0的根与m均为有理数？
例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。
你知道原来的方程是什么吗？
其正确解应该是多少？
例6、已知ab，a22a10，b22b10，求ab
变式：
若a22a10，b22b10，则a-的值为。
ba
例7、已知，是方程x2x10的两个根，那么43.
测试题目:
2
（C）x1=X2=」
（D）
2
-，X2=1
3.方程（x-1）2=4的根是（）.
（B）
5.一元二次方程：
1|用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的是（）.
（A）a=1,b=二—--（B）a=1,b=-一-,c=2
（C）a=-1,b=-_/-,c=-2（D）a=-1,b=二」，c=2
6.用公式法解方程：
3x2-5x+1=0，正确的结果是（）.
（B）
（D）都不对
亍5X■
（A）
、填空
宀乞十
=（x+
）
7.方程9x2=25的根是
3
8.已知二次方程x2+（t-2）x-t=0有一个根是2,则t=,另一个根是
9.关于x的方程6x2-5（m-1）x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为.
10.关于x的方程（m2-m-2）x2+mx+n=0是—元二次方程的条件为.
11.方程（x+2）（x-a）=0和方程x+x-2=0有两个相同的解,则a=.
三、用适当的方法解下列关于x和y的方程
12.（x+2）（x-2）=1.
13.（3x-4）
2=（4x-3）2
2
14.3x-4x-4=0.
15.x
2+x-仁0.
16.x2+2x-1=0.
17.（2y+1）
2+3（2y+1）+2=0.
18.2x-2也贰■丘-、弘-
19.x
2-bx-2b2=0.
222
20.ax+2abx+b-4=0（a工0）.
21.（b-c）
2
x-（c-a）x+（a-b）=0（a^c）
22.用因式分解法、配方法、分式法解方程
2
2x+5x-3=0.
（A）因式分解法（B）配方法
（C）公式法
23.解方程：
（1）〔击一扯
（2）盘掠〜b-（圧2+屮“=0（血H0）
24.解关于x的方程：
x2-2x+1-k（x2-1）=0
25.已知|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx（x+1）-5（x+1）（x-1）=x2
26、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
27、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm吗？
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。
（3）两个正方形的面积之和最小为多少？
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