母题21充分条件和必要条件】（2017天津卷5）设8WR,则“日_」<一”是“sin日<-"
12122
的（）.
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
一.2
母题31函数的性质】（2016山东卷理12）已知当xW[0,1]时，函数y=（mx—1）的图象
与y=Jx+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A.0,1L33,二B.0,1.L⑶二
C.0,'，一」2,3，二D.0,、，2七3,二
x=一为y=f（x）图像
4
f（x）=sin（^x+中）|缶>0,中，jI，x=一;为f（x）的零点,
5
的对称轴，且f（x）在上单调，则0的最大值为（
11836）
A.11
B.
C.
D.
母题61平面向量数量积】（2016天津理7）已知△ABC是边长为
5
1的等边三角形，点D,
E分别是边AB,
BC的中点，连接
DE并延长到点F,
使得DE=2EF,则元GC的
值为（）
A.-8
B.
C.
D.
11
母题7【内切球】
（2016全国丙理
10）
在封闭的直三棱柱
ABC_AiBiCi内有一个体积为V
的球，若AB_LBC,AB=6,
BC=8,AA1=3,则V的最大值是（
A.4冗
B.
~2
C.6冗
D.
母题81平面与平面平行的判定】
（2016全国乙理11）平面a过正方体ABCD—ABC1D1的
顶点A,a//平面CBD1,a
H平面ABCD=m,aH平面ABBA=n,则m,n所成角
的正弦值为（
A3B
A.B.
2c
C.
2
D.
母题9【直线和双曲线位置关系】
22
（2017天津卷理6）已知双曲线与—七=1（a>0,b>0）的ab
左焦点为F,离心率为
夜.若经过F和
P（0,4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,
则双曲线的方程为
22
A.-1
44
B.
22
xyd
一——=1
88
C.
22
xyd
一—一=1
48
D.
22
xyd
一——=1
84
母题101直线和抛物线位置关系】（2016
四川理8）设O为坐标原点，P是以F为焦点的
抛物线y2=2px（p
>0）上任意一点,
M是线段PF上的点，且PM=2MF，则直线OM
的斜率的最大值为（
）.
A立八.
3
B.
C.
D.
母题11【程序框图】
（2016山东卷理
7）执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x
的值为7,第二次输入的x的值为9,则第一次、第二次输出的a的值分别为（）
D.1,0
母题121排列和组合】（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的E处出发，先到F处与
小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）.
母题13【几何概型】（2017全国卷1理8）如图，正方形ABCD^J的图形来自中国古代的太
极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A.
母题141复数的运算及概念】
（2017全国理2）已知aWR,i是虚数单位，z=a+V3i,
A.1或—1B."或—"C.-73D.33
母题151导数的几何意义】（2016甲卷理16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,
也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=.
一一一一.、一一,、，一^，一.3o
母题161二项式定理】（2017浙江卷理）已知多项式（x+1）（x+2）=
54321
x+^x+a2x+a3x+adx+a§,贝1a4=,a§=
母题17【直线和圆】（2016全国丙理16）已知直线l:
mx+y+3m—J3=0与圆x2+y2=12
交于A,B两点，过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点，若AB=2j3,则CD
Jx2y<1
母题18【线性规划】
（2017全国卷1理）设x,y满足约束条件<2x+y>-1,贝Uz=3x—2y
x-y工0
母题191平面向量坐标运算】（2017新课标3理13）已知向量a=（—2,3）,b=（3,m）,且a，b,
贝Um=.
母题20【等比数列通项公式和性质】（2016全国乙理15）设等比数列｛an｝满足a1+%=10,a2+a4=5,则a1a2■■■an的最大值为^
母题21【立体几何与空间向量】12014高考北京理第17题】如图，正方体MADE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点，在五棱锥P—ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱FD,PC分别交于G,H.
（1）求证：
AB//FG；
（2）若PA_L底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.
母题22【解三角形】（2017全国卷3理17）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
已知sinA+M，cosA=0,a=24；，b=2.
（1）求c;
（2）设D为BC边上一点，且AD-AC,求△ABD的面积.
母题231等差数列通项公式和数列求和】（2016全国甲理17）&为等差数列（a」的前n项和，且ai=1,$=28.记bn=Man］，其中〔X〕表示不超过的最大整数，如［0.9］=0，加991=1.
（i）求b1,h1,ho1；
（2）求数列｛bn｝的前1000项和.
_2
Sn=3n+8n,｛bn｝是等差数列，且an=bn+bn卅.
（1）求数列｛6｝的通项公式；
（a„1）n1.
（2）令cn=（a_4].求数列cn的前n项和Tn.
（bn2）n
母题251空间向量与立体几何】（2016全国乙理18）如图所示，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形,AF=2FD,/AFD=90，',且二面角
D-AF—E与二面角C—BE-F都是60.
（1）求证：
平面ABEF_L平面EFDC;
（2）求二面角E-BC—A的余弦值.
种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶
4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以
每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：
C）有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计
了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15）
[15,20）
[20,25）
[25,30）
[30,35）
[35,40）
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：
瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：
元），当六月份这种酸奶一天的进货量
n（单位：
瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
母题271直线和椭圆位置关系】（2017新课标2卷理20）设O为坐标原点，动点M在椭圆
C—十/=]上，过m作x轴的垂线，垂足为N,点P满足=.
2
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线，=-m上，且加-刖二」.证明：
过点P且垂直于OQ的直线I过C的左焦点F.
母题281导数的综合运用】（2017山东卷理21）已知函数f（x）=x2+2cosx,
g（x）=ex（cosx—sinx十2x—2）,其中e=2.71828|||是自然对数的底数.
（I）求曲线y=f（x）在点gf（x））处的切线方程；
（n）令h（x）=gx）旬xa五），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
母题29【坐标系与参数方程】（2016全国乙理23）在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方
…x=acost
程为«（t为参数，a>0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐
y=1asint
标系中，曲线C2:
P=4cos].
（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（2）直线C3的极坐标方程为0=%,其中口°满足tana。
=2,若曲线G与C2的公共点
2
f（x）=-x+ax7,
都在C3上，求a.
母题30【不等式选讲】（2017新课标1卷理24）已知函数
g（x）=x+1+x—1.
（1）当a=1时，求不等式f（x心g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）之g（x）的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
2019年高考（理科）数学经典母题30题
答案及解析
母题1【集合运算】（2017北京卷理1）若集合A={x|-23},则A-♦B=
A.{x|-2C.{x|-1【答案】A
【解析】试题分析：
利用数轴可知AcB={x|—2母题21充分条件和必要条件】
（2017天津卷5）设8wR,则“日—一-<二”是“sinQ<-"
12122
的（）.
必要不充分条件
既不充分也不必要条件
A.充分不必要条件B.
C.充要条件D.
【答案】A
【解析】e--
，一，，2
时，函数y=（mx—1）的图象
母题31函数的性质】（2016山东卷理12）已知当
与y=Jx+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是
A.0,1L23,二B.0,1La二
C.0,,.2Le,3,二D.0,\2.［"3,二
【答案】B
【解析】当VI时^—>1,y=（jmx-1）3单调递减出y=（皿-1）建「（加-1）117,=&+刑
单调递熠，目7=4。
+浏曰［科1+冽］，此时有且仅有一个交点d当加>1时，—,尸二（他X-。
’
m
在［，j］上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需（附A1+涉=5之3选B一
母题4【函数的图象】（2016乙卷理7）函数y=2x2-ex在1—2,2］的图像大致为（）.
A.B.C.
D.
【答案】D分析对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项^
【解析】设八算）=2/—0,由"2）=8—可排除A（小于0）,B（从趋势上超过1卜又工＜0,2）时，r（x）=4x-e\，（0）/"）=—（4—司（3所以/（k）在（0/）上不是单调函数，排除
C.故选D.
评注排除£选项的完整论述，设£（，）=/（注则注卜）二4一£.由W0A。
/
（2）＜%可知存在
不«L2）使得翅%）=0且X«%2）时叁幻＜0,所以/（用在（%2）是减函数，即/人飞2）时
〃力切线斜率随x的增大而减小，排除B.
值为（
如图所示，假设在直三棱柱ABC-ABC1中，有一个球与平面ABBA,平面
BCCB,平AAGC面相切，其俯视图如图所示.设其球的半径为r,
1cc
C68
则r=S=BC=_2
1-1
2c…2M（6+8+1。
）
4-/31=”.故选B.
322
母题81平面与平面平行的判定】
半径最大值为3,则Vmax
2
（2016全国乙理11）平面a过正方体ABCD—ABC1D1的
顶点A,a//平面CBD1,口「|平面ABCD=m,平面ABBA=n,则m,n所成角
的正弦值为（
【答案】A
【解析】解法一：
将图形延伸出去j构造一个正方体，如图所示.通过寻找线线平行构造出平面a，即平面/即，艮陶究幺后与-4F所成角的正弦值,易知上西尸二?
所以其正弦值为坐.故选A.
解法二（原理同解法一）：
过平面外一点力作平面口，并使S"平面C5］曾「不妨将点］变换成5,作《使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到月，即为平面如图所示，即研究4刀与ED所成角
的正弦值，易知4声口=?
，所以其正弦值为小.故选机-JJu
22
母题9【直线和双曲线位置关系】（2017天津卷理6）已知双曲线今—3=1（a>0,b>0）的
ab
左焦点为F,离心率为
J2.若经过F和P（0,4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,
则双曲线的方程为
422
【解析】由题意得a=b,—=—1=c=4,a=b=2J2=———-^―=1，选B.
-c88
母题101直线和抛物线位置关系】（2016四川理8）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，M是线段PF上的点，且PM|=2MF，则直线OM的斜率的最大值为（）.
VB.2C年D.1
【解析】设P（2”,2M,MQj）,尸传。
）（不妨设f>。
卜
I上J
二"（当且仅当工=;时,即时取”二”），所以（％）“二¥
』j£r£』
故选c.
母题11【程序框图】（2016山东卷理7）执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的x
的值为7,第二次输入的x的值为9,则第一次、第二次输出的a的值分别为（）
A.0,0B.1,1C.0,1D.1,0【答案】D
【解析】第一次x=7,22（7,b=3,32）7,a=1；第二次x=9,22<9,b=3,32=9,a=0,
选D.
母题121排列和组合】（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的E处出发，先到F处与
小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的
最短路径条数为（）.
A.24B.18C.12D.9
【解析】从E->F的最短路径有6种走法，从FTG的最短路径有3种走法，由乘法原理
知，共6父3=18种走法.故选b
母题13【几何概型】（2017全国卷1理8）如图，正方形ABCD^J的图形来自中国古代的太
极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随
机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A.1B.-C.1D.-
4824
母题141复数的运算及概念】（2017全国理2）已知awR,i是虚数单位，若z=a+J3i,
【答案】a
【解析】由z=a+J3i,z'Z=4得a2+3=4,所以a=±1,故选A.
母题151导数的几何意义】（2016甲卷理16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,
也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=.
【答案】1_ln2
【解析】7=由,+2的切点为（为后百+2），贝后的切线为3=+m再+i3=E（，+1）的切点为项
巧巧+1
Id』+1=in+1）―
（引口出+2）,贝危蒯线为：
=荷*皿%+1）一言,
巧二一一>所以b=lu均+1=1—In2.2
32
母题161二项式定理】（2017浙江卷理）已知多项式（x+1）（X+2）=
54321
x+^x+a2x+a3x+a4x+a5,贝1a4=,a5=.
【答案】164
【解析】由二项式展开式可得通项公式为：
C；xrC2mxm225=C3rC2m-22H，xr，，分别
取r=0,m=1和r=1,m=0可得a4=4+12=16,Br=m,可得a5=1父22=4.
母题17【直线和圆】（2016全国丙理16）已知直线l:
mx+y+3m—J3=0与圆x2+y2=12
交于A,B两点，过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点，若AB=2j3,则CD=
【解析】解法一：
根据直线与圆相交弦长公式有ab=23-d2=2向,得r2-d2=3,
又r2=12,彳导d=3.因此圆心0（0,0）到直线i：
mx+y+3m—73=0的距离
3m-3-332
d=」=3,解得m=———.
m213
因此直线l的方程为y=」3x+2j3.所以直线1的倾斜角为30，.如图所示，过点C作
3
CE-LBD于点E,
则|CD=^=旦=挛=4.
cos30cos30"33
2
解法二：
直线心血+尸十筋一币=0,知直线/过定点/（3,出），又|期|=2行二〜所以△（?
疑为等
边三角形，因为一小3括）」所以a0C二即，又知4®=601所以点出在丁轴上《直线，的斜率存在）.
x2y.1
母题18【线性规划】（2017全国卷1理）设x,y满足约束条件,2x+y之—1,则z=3x—2y
x-y_0
直线z=3x-2y在x轴上的截距越小，z就越小,
所以，当直线直线z=3x-2y过点A时，z取得最小值，所以z取得最小值为
3（-1）-21——5
母题191平面向量坐标运算】（2017新课标3理13）已知向量a=（-2,3）,b=（3,m）,且a，b,
贝Um=.
【答案】2
【解析】由题意可得—2父3+3m=0,解得m=2.
母题20【等比数列通项公式和性质】（2016全国乙理15）设等比数列｛an｝满足a1+a=10,a2+&=5,则a1a2'"an的最大值为^
【答案】64
【解析】由/+4=0组+学与=4（6+q）=1＜）4=5,得4=三
0闰2|||小取得最大值26=64.
【解析】
（1）在正方形中,因为方是4M的中点，所以四
因为血8平面PDE、所以血力平面PDE,
因为dSu平面4BF,且平面45尸。
平面FDE=FG,
所以4S"严G.
（2）因为产W_L底面4BCDEj所以F/_L4B,PA1AE,
如图建立空间直角坐标系A—则速QQO）”QRO）,C（2,LS,P（0q2）,F（OX1）,
BC=（1,1,0）设平面尸的法向量为n=（xj：
z）,
^9AB=0[x-d
则｛.，即《c，令Z=L则＞二一1,所以H=（O「LD,
|・.a尸=0ly+z=。
设直线SC与平面ABF所成的角为区』则cosa=|8&＜＞|="'"I=!
下
|・||&C|2
7T
因此直线EC与平面4BF所成的角为£,6
设点Hg2w）,因为点4在棱尸c上，所以可设丽=/而（。
＜丸＜1）,即（以y,w-2）=4ZL-2），所以度=24）=Zw=2-2区，
因为向量■是平面Hff尸的法向量,所以・,&=（）,KP（0-l,l）*（2A,A,2-2Z）=0,解得人=j所以点H的坐标为所以PH=检+（孑+（孑=2.
母题22【解三角形】（2017全国卷3理17）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+AcosA=0,a=2/，b=2.
（1）求c;
（2）设D为BC边上一点，且AD-AC,求△ABD的面积.
【解析】
（1）由已知得tanA=_J3,所以a=
在△ABC中，由余弦定理得
c2+2c-24=0
28=4+c2—4ccos空，即3
解得c=-6（舍去），c=4
bl1,bl01；
（1）求数列｛bn｝的通项公式;
（2）令Cn=（an,Dn.求数列Cn的前n项和Tn.
（bn2）
时，a=6=11,
【解析】
（1）由题意知当n…2时，an=Sn-Sn口=6n+5,当n=1
*
所以an=6n5n二N
设数列%｝的公差为d,由卜1=5+b2,即［11=2b1+d,解得卜=4,d=3,所a23b317=2bi3d
…*
以bn-3n1nN.
（2）由
（1）知cn=-6）n=3（n+1）2n*,又Tn=g+c2+c3+-，+cn,
（3n3）
得Tn=3父［2父22+3父23+4黑24+，—+（n+1）乂2口卡］,
2Tn=3父［2父23+3父24+4父25十…十（n+1）父2n形］,
两式作差，得：
-Tn=3［22223242n1-（n1）2n2］=
3M［4+4（2~1）-（n+1/2n也］=-3n2n也，
2-1
所以Tn=3n2n：
母题251空间向量与立体几何】（2016全国乙理18）如图所示，在以A,B,C,D,E,
F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形,AF=2FD,/AFD=900,且二面角
D-AF-E与二面角C—BE-F都是60.
（1）求证：
平面ABEF_L平面EFDC;
（2）求二面角E-BC—A的余弦值.
【解析】
（1）由已知可得AFVFE,所以，FJ■平面EEDC.
又XF仁平面ABEF*故平面ABEFJ■平面EFDC.
（2）过口作DG1E尸，垂足为G,由
（1）知DG_L平面.迎产.
以G为坐标原点，声的方向为工轴正方向，|而|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G-型.
可得A（1,4,0）,B（与，4,0）,E（4,0,0）,D（0,0,布）.由已知，人8乙上5,所以人8乙
平面EFDC.
又平面ABCD。
平面EFD
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