数学人教版八年级下册勾股定理的证明与应用.docx

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数学人教版八年级下册勾股定理的证明与应用

勾股定理的教学设计（第一课时）

东来乡海联学校侯斌　　

一、教学设想　　

1．课型：

新授课　　

2．设计理念：

本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。

3．教学思路：

探索结论-得出结论-历史介绍-初步应用结论-应用结论解决简单的实际问题。

二、教学目标　　

（一）知识目标　　

1．理解回顾直角三角形中三角之间的关系，掌握新知即三边之间关系。

2．理解勾股定理的内涵，并能用勾股定理进行简单的计算 　　

3．通过画图实验，让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想。

（二）能力目标　　

1. 掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关计算，即已知两边，运用勾股定理列式求第三边。

2.应用勾股定理解决实际问题（探索性问题和应用性问题）。

3. 经历探索勾股定理内容的过程，学会简单的合情推理与数学说理。

4．通过勾股定理的简单应用，能用数学的眼光观察现实世界和有条理思考与表达的能力，感受勾股定理的价值，也能写出简单的推理格式，以培养学生的逻辑思维能力。

﹙三﹚情感与价值观　　

培养学生参与的积极性，及合作交流的意识。

学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，逐步体验数学说理的重要性。

在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气。

引导学生积极探索，注意观察生活，体验生活中的数学。

通过了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。

三、教学重点难点　　

（一）教学重点　　

1．体验勾股定理的发现过程，勾股定理的内涵。

2．勾股定理的简单应用，即在直角三角形中，知道两边，可以求第三边。

（二）教学难点　　

1．勾股定理的发现过程。

2．应用勾股定理时斜边或直角的确定，推理格式的正确书写。

3．灵活运用勾股定理。

（三）难点分析　　

在勾股定理的探索和验证过程中，体现了数形结合的思想，而学生已有的知识能力水平很难从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，这对学生具有一定的挑战性。

（四）难点突破　　

为了突出重点，突破难点，在探索勾股定理的过程中，按特殊到一般的思想，引导学生先由特殊的直角三角形开始研究，然后从正方形的面积联想a2、b2、c2；得出结论后，不把重点放在勾股定理的验证过程中，而只是简单介绍勾股历史，简单提到古今中外对勾股定理有很多证明方法，而对于怎样证明则作为课后阅读留给学生自己探索。

然后直接进入勾股定理的应用。

在教学中，给学生提供充分实践、探索和交流的时间，鼓励他们积极思考解决问题的办法，并与他人进行合作与交流。

另外对练习的精选，也选择学生易错的题型，让他们养成先确定斜边或直角再利用定理的习惯。

四、教学过程　　

师生双边教学活动　　

教学手记　　

教学过程　　

学生活动　　

新知介绍　　

这是新课，要掌握的哦。

1、　　

情景创设　　

由身边熟悉的工具---三角板开始新课　　

根据三角板拓展思维回答相关问题　　

（1）情景导入　　

同学们，当你每天手握三角尺绘制自己的宏伟蓝图时，你是否仔细研究过三角尺，它作为工具在数学学习中作用非凡，同时，它又可以作为直角三角形家族的典型代表。

那么，从数学的角度来看，你对这两位老朋友了解多少呢？

角:

（1）有一个角是直角　　

∠C=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（2）两个锐角互余；　　

∠A+∠B=　　　　

边:

（1） 三角形两边的和大于第三边；a+b>c　　

（2）在直角三角形中，斜边大于任意一条直角边； c>a,c>b　　

　　（3）对于比较特殊的直角三角形，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．　　

这不是本课重点，学生回答时教师也简略而过，不必板书和过多延伸。

（2）设置问题　　

一般的直角三角形，三边之间究竟具有怎样的等量关系呢？

今天我们就来探索这一小秘密。

（板书课题：

直角三角形三边关系）　　

学生渴求直角三角形的新知，积极期待。

2、　　

合作探究　　

探索讨论交流　　

（1）尝试作图　　

画直角△ABC，使两直角边的长分别是3cm、4cm，用直尺量出斜边的长度　　

同学们幸喜地发现正好斜边正好是5　　

（2）发现猜想　　

找出这三条边有什么等量关系？

学生基于这个特殊的直角三角形，发现了很多特殊的关系。

如（3+5）÷2=4　　

3+4÷2=5　　

不能否定，因此再要求画一个直角三角形　　

（如果再画一个直角三角形，使两直角边的长分别是5cm、12cm，用直尺量出斜边的长度。

再找出这三条边有什么等量关系。

）　　

两个直角三角形比较，同学自然明白上面的式子仅符合第一个直角三角形，而它们共有的规律就是“两直角边的平方和，等于斜边的平方。

”　　

在学生画图的前提下，再展示几何画板课件，动画演示直角三角形三边关系。

巩固　　

（3）提示帮助　　

如图，以这个直角三角形三条边的长度为边长，作三个正方形，计算这三个正方形的面积，并观察这三个正方形的面积有何等量关系。

3、　　

师生互动　　

（1）总结特殊规律　　

我们可以得到下面的结论：

（1）以这个直角三角形两直角边为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。

S1+S2=S3　　

（2）这个直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

如32+42=52　　

学生总结出来，教师板书　　

（2）提出一般规律　　

是不是所有直角三角形都有这个性质呢？

世界上许多数学家，先后用不同方法证明了这个结论.  我国把它称为“勾股定理”　　

4、　　

定理展示　　

勾股定理（gou-gutheorem）：

文字语言：

在一个直角三角形中：

两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：

如果直角三角形的两直角边为　　,　　, 斜边为　　　　

那么　　　　

几何语言：

∵△ABC是直角三角形（已知）　　

∴　　（勾股定理）　　

板书“勾股定理”　　

∵△ABC是直角三角形（已知）　　

∴　　（勾股定理）　　

5、　　

勾股史话　　

人们对勾股定理的认识经历了从特殊到一般的过程，这在世界许多地区的数学原始文献中都有反映．　　

（1）三边古称　　

同学们知道勾股定理这个名称的由来吗？

这是源于直角三角形的三边古称．　　

　　在古汉语里，人们将手臂弯曲成直角，上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"．我国古代学者又把直角三角形看作一把弓箭，所以，在直角三角形中，我们一般把较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．　　

　　股　勾弦

（2）商高定理　　

早在几千年前西周时期，商高就发现了这个结论，＂商高定理＂即为勾股定理．勾股定理在我国古代数学中占有十分重要的地位，千百年来逐渐形成了一门以勾股定理及其应用为核心的中国式的几何学．　　

当时学生很激动，为祖国的历史感到骄傲　　

（3）百牛定理　　

＂勾股定理＂在国外，尤其在西方被称为＂毕达哥拉斯定理＂或＂百牛定理＂．他发现勾股定理后高兴异常，命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现，因此勾股定理又叫做＂百牛定理＂．1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成．这张邮票也是为了纪念勾股定理这个伟大的发现．　　

可毕达哥拉斯要比商高晚500多年，就因为我国那时没能流传出去，所以国外只承认＂毕达哥拉斯定理＂　　

学生很专心的听着老师的讲解　　

学生听完这个介绍后，叹声一片，纷纷为祖国道不平，我顺势做起了思想工作，“现在科学如此发达，我们的学习条件又如此的好，我们更应努力学习，继续去完成前人未完成的事业，把祖国的贡献发扬光大，为祖国争光！

”学生都会意地笑了。

6、　　

达标反馈　　

（1）新知应用　　

例1、在Rt△ABC中，AB＝c,BC＝a，AC＝b, ∠B=90゜.　　

（1） 已知a=6,b=10,求c； 　　

（2） 已知a=24,c=25,求b。

寻找已知条件　　

列式求解　　

强调先确定直角或斜边的重要性　　

练习1、

（1） 在Rt△ABC中，AB＝c,BC＝a，AC＝b, ∠B=90゜　　

已知a=3,b=4,求c　　

（2）在Rt△ABC中，AB＝c,BC＝a，AC＝b, ∠C=90゜　　

已知a=3,b=4,求c　　

（3）如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？

在前两个练习的铺垫下，学生很容易理解练习3的用意。

（2）拓展引申　　

例2、将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.（精确到0.01米）　　

勾股定理简单的实际应用，体会数学源于生活、用于生活的意义。

强调要画图，以转化到直角三角形中解题。

练习2、将长为5米的梯子AC斜靠在墙上，梯脚与墙的距离BC长为2米，若将梯脚与墙的距离拉到3米，求梯子的垂直高度下降多少米？

（精确到0.01米）　　

是例2的变式练习，体会数学的乐趣。

（3）巩固练习　　

（1）直角三角形一条直角边与斜边分别长为3cm、5cm，则第三边长为_________cm．　　

（2）在△ABC中,∠C＝Rt∠.若a＝2、b＝3，则c＝________；　　

若a＝5、c＝13，则b＝________；若c＝61、b＝11，则a＝_______.  　　

（3）如果等边三角形的周长为12cm，则它的面积为____________cm．　　

　　　　　　（4）如图,隔湖有两点A、B，从与BA方向成直角的BC方向上的点C,测得CA=50m,CB=40m.求AB.   　　

可根据时间随机而定。

课外延伸　　

这个部分供学生课后探索，感受数学情趣　　

7、　　

定理证明　　

世界上很多数学家用多种方法证明了勾股定理，据说至今已经找到的证明方法有五百多种，且每年还会有所增加。

下面我们就借助拼图的方法，探究证明的思路．　　

（1）赵爽弦图　　

上图称为“弦图”，或“勾股圆方图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的.下图是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.　　

设问:

你能用不同方法表示大正方形的面积吗?

用四个准备好的完全相同的直角三角形，如图所示的图形.　　

大正方形的面积可以表示为_______________________________　　

又可以表示为______________________　　

对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论.　　

（2）辛卜松图　　

用四个准备好的完全相同的直角三角形，如图所示的图形.　　

设问:

你能用不同方法表示大正方形的面积吗?

 大正方形的面积可以表示为____________________________,　　

又可以表示为_______________________________　　

对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论.　　

（3）总统证法　　

勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠，它的证明在数学史上屡创奇迹，从毕达哥拉斯到现在，吸引着世界上无数的数学家、物理学家、数学爱好者对它的探究，甚至政界要人——美国第20任总统加菲尔德，也加入到对它的探索证明中，如图是他当年设计的证明方法。

设问:

你能用不同方法表示大正方形的面积吗?

 大梯形的面积可以表示为_______________________________　　

又可以表示为_______________________.　　

对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论.　　

8、　　

勾股之树　　

这个不起眼的图形有什么作用呢？

不要小看它哦！

古希腊的数学家毕达哥拉斯就是利用这个图形也证明了勾股定理．　　

你能利用勾股定理的图形设计出一棵勾股树吗？

用这美丽的数学图形来装饰我们的教室吧！

让学生感受数学的美。

9、　　

勾股名题　　

《九章算术》中的勾股问题，是具有历史意义的世界著名算题．　　

　勾股问题即直角三角形问题．《九章算术》专设勾股章来研究勾股问题，共24个问题．现摘选两个。

（1）引葭赴岸　　

“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”　　

让我们一起来熟悉一下图形吧．在Rt△ABC中，b为池深，c为葭长，且葭出水一尺，即c＝b+1尺，由题意a为5尺．不用问下面该勾股定理大显身手了，剩下的问题你能解决了吧？

解：

根据勾股定理，在Rt△ABC中　　

（2）风动红莲　　

波平如镜一湖面，半尺高处出红莲，鲜艳多姿湖中立，猛遭狂风吹一边；红莲斜卧水淹面，距根生处两尺远；渔翁发现忙思考，湖水深浅有多少？

解：

设湖深为ｘ尺，红莲高出水面½尺，于是红莲总长度为（ｘ+½）尺，　　

          当狂风把红莲吹到一边后，红莲至根部的水平距离为２尺．由勾股定理，得　　

五．全课总结：

（一）内容总结　　

1、本节课学习的勾股定理用语言叙述是什么，几何语言怎么书写？

2、运用勾股定理时有什么注意点？

3、勾股定理有什么用途？

（二）方法总结　　

1、研究问题可以从特殊到一般，总结一般性规律。

2、学会探索、猜想的方法，了解数形结合的思想。

六．课后作业　　

（一）课堂作业　　

教材54页，第1、2、3、4题。

（二）延伸学习　　

1.继续收集、整理有关勾股定理的证明方法的探索问题并交流。

2．探索勾股定理的运用。