高中数学竞赛讲义8平面向量.docx

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高中数学竞赛讲义8平面向量

高中数学竞赛讲义（八）

──平面向量

一、基础知识

定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。

画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。

向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。

书中用黑体表示向量，如a.|a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。

零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。

加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a,b共线的充要条件是存在实数

0，使得a=

f

定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a,b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x,y，使得c=xa+yb，其中a,b称为一组基底。

定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x,y，使得c=xi+yi，则（x,y）叫做c坐标。

定义4 向量的数量积，若非零向量a,b的夹角为

，则a,b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos

=|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos

叫做b在a上的投影（注：

投影可能为负值）。

定理4 平面向量的坐标运算：

若a=（x1,y1）,b=（x2,y2），

1．a+b=（x1+x2,y1+y2）,a-b=（x1-x2,y1-y2），

2．λa=（λx1,λy1）,a·（b+c）=a·b+a·c，

3．a·b=x1x2+y1y2,cos（a,b）=

（a,b

0）,

4.a//b

x1y2=x2y1,a

b

x1x2+y1y2=0.

定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使

，λ叫P分

所成的比，若O为平面内任意一点，则

。

由此可得若P1，P，P2的坐标分别为（x1,y1）,（x,y）,（x2,y2），则

定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=（h,k）的方向，平移|a|=

个单位得到图形

，这一过程叫做平移。

设p（x,y）是F上任意一点，平移到

上对应的点为

，则

称为平移公式。

定理5 对于任意向量a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,|a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.

【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2=

-（x1x2+y1y2）2=（x1y2-x2y1）2≥0，又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0，

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：

本定理的两个结论均可推广。

1）对n维向量，a=（x1,x2,…,xn），b=（y1,y2,…,yn），同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：

（x1y1+x2y2+…+xnyn）2≥0，又|a·b|≥0,|a|·|b|≥0，

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：

本定理的两个结论均可推广。

1）对n维向量，a=（x1,x2,…,xn）,b=（y1,y2,…,yn），同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：

（x1y1+x2y2+…+xnyn）2。

2）对于任意n个向量，a1,a2,…,an，有|a1,a2,…,an|≤|a1|+|a2|+…+|an|。

二、方向与例题

1．向量定义和运算法则的运用。

例1 设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：

【证明】 记

，若

，则将正n边形绕中心O旋转

后与原正n边形重合，所以

不变，这不可能，所以

例2 给定△ABC，求证：

G是△ABC重心的充要条件是

【证明】必要性。

如图所示，设各边中点分别为D，E，F，延长AD至P，使DP=GD，则

又因为BC与GP互相平分，

所以BPCG为平行四边形，所以BG

PC，所以

所以

充分性。

若

，延长AG交BC于D，使GP=AG，连结CP，则

因为

，则

，所以GB

CP，所以AG平分BC。

同理BG平分CA。

所以G为重心。

例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：

AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。

【证明】 如图所示，结结BQ，QD。

因为

，

所以

=

·

=

 ①

又因为

同理   

，  ②

，  ③

由①，②，③可得

。

得证。

2．证利用定理2证明共线。

例4 △ABC外心为O，垂心为H，重心为G。

求证：

O，G，H为共线，且OG：

GH=1：

2。

【证明】 首先

=

其次设BO交外接圆于另一点E，则连结CE后得CE

又AH

BC，所以AH//CE。

又EA

AB，CH

AB，所以AHCE为平行四边形。

所以

所以

，

所以

，

所以

与

共线，所以O，G，H共线。

所以OG：

GH=1：

2。

3．利用数量积证明垂直。

例5 给定非零向量a,b.求证：

|a+b|=|a-b|的充要条件是a

b.

【证明】|a+b|=|a-b|

（a+b）2=（a-b）2

a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2

a·b=0

a

b.

例6 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。

求证：

OE

CD。

【证明】 设

，

则

，

又

，

所以

a·（b-c）. （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）

又因为AB=AC，OB=OC，所以OA为BC的中垂线。

所以a·（b-c）=0.所以OE

CD。

4．向量的坐标运算。

例7 已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：

AF=AE。

【证明】如图所示，以CD所在的直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A，B坐标分别为（-1，1）和（0，1），设E点的坐标为（x,y），则

=（x,y-1）,

，因为

，所以-x-（y-1）=0.

又因为

，所以x2+y2=2.

由①，②解得

所以

设

，则

。

由

和

共线得

所以

，即F

，

所以

=4+

，所以AF=AE。

三、基础训练题

1．以下命题中正确的是__________.①a=b的充要条件是|a|=|b|，且a//b；②（a·b）·c=（a·c）·b；③若a·b=a·c，则b=c；④若a,b不共线，则xa+yb=ma+nb的充要条件是x=m,y=n；⑤若

，且a,b共线，则A，B，C，D共线；⑥a=（8,1）在b=（-3,4）上的投影为-4。

2．已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：

①

；②

；③

；④

与

，相等的有__________.

3．已知a=y-x,b=2x-y,|a|=|b|=1,a·b=0，则|x|+|y|=__________.

4．设s,t为非零实数，a,b为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则a和b的夹角为__________.

5．已知a,b不共线，

=a+kb,

=la+b，则“kl-1=0”是“M，N，P共线”的__________条件.

6．在△ABC中，M是AC中点，N是AB的三等分点，且

，BM与CN交于D，若

，则λ=__________.

7．已知

不共线，点C分

所成的比为2，

，则

__________.

8．已知

=b,a·b=|a-b|=2，当△AOB面积最大时，a与b的夹角为__________.

9．把函数y=2x2-4x+5的图象按向量a平移后得到y=2x2的图象，c=（1,-1）,若

，c·b=4，则b的坐标为__________.

10．将向量a=（2,1）绕原点按逆时针方向旋转

得到向量b，则b的坐标为__________.

11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，试问

与

的夹角

取何值时

的值最大？

并求出这个最大值。

12．在四边形ABCD中，

，如果a·b=b·c=c·d=d·a，试判断四边形ABCD的形状。

四、高考水平训练题

1．点O是平面上一定点，A，B，C是此平面上不共线的三个点，动点P满足

则点P的轨迹一定通过△ABC的________心。

2．在△ABC中，

，且a·b<0，则△ABC的形状是__________.

3．非零向量

，若点B关于

所在直线对称的点为B1，则

=__________.

4．若O为△ABC的内心，且

，则△ABC的形状为__________.

5．设O点在△ABC内部，且

，则△AOB与△AOC的面积比为__________.

6．P是△ABC所在平面上一点，若

，则P是△ABC的__________心.

7．已知

，则|

|的取值范围是__________.

8．已知a=（2,1）,b=（λ,1），若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.

9．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则

的最小值为__________.

10．已知集合M={a|a=（1,2）+λ（3,4）,λ∈R}，集合N={a|a=（-2,-2）+λ（4,5）,λ∈R},mjM

N=__________.

11．设G为△ABO的重心，过G的直线与边OA和OB分别交于P和Q，已知

，△OAB与△OPQ的面积分别为S和T，

（1）求y=f（x）的解析式及定义域；

（2）求

的取值范围。

12．已知两点M（-1，0），N（1，0），有一点P使得

成公差小于零的等差数列。

（1）试问点P的轨迹是什么？

（2）若点P坐标为（x0,y0）,

为

与

的夹角，求tan

.

五、联赛一试水平训练题

1．在直角坐标系内，O为原点，点A，B坐标分别为（1，0），（0，2），当实数p,q满足

时，若点C，D分别在x轴，y轴上，且

，则直线CD恒过一个定点，这个定点的坐标为___________.

2．p为△ABC内心，角A，B，C所对边长分别为a,b,c.O为平面内任意一点，

则

=___________（用a,b,c,x,y,z表示）.

3．已知平面上三个向量a,b,c均为单位向量，且两两的夹角均为1200，若|ka+b+c|>1（k∈R），则k的取值范围是___________.

4．平面内四点A，B，C，D满足

，则

的取值有___________个.

5．已知A1A2A3A4A5是半径为r的⊙O内接正五边形，P为⊙O上任意一点，则

取值的集合是___________.

6．O为△ABC所在平面内一点，A，B，C为△ABC的角，若sinA·

+sinB·

+sinC·

，则点O为△ABC的___________心.

7．对于非零向量a,b,“|a|=|b|”是“（a+b）

（a-b）”的___________条件.

8．在△ABC中，

，又（c·b）：

（b·a）：

（a·c）=1：

2：

3，则△ABC三边长之比|a|：

|b|：

|c|=____________.

9．已知P为△ABC内一点，且

，CP交AB于D，求证：

10．已知△ABC的垂心为H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分别为O1，O2，O3，令

，求证：

（1）2p=b+c-a；

（2）H为△O1O2O3的外心。

11．设坐标平面上全部向量的集合为V，a=（a1,a2）为V中的一个单位向量，已知从V到

的变换T，由T（x）=-x+2（x·a）a（x∈V）确定，

（1）对于V的任意两个向量x,y,求证：

T（x）·T（y）=x·y；

（2）对于V的任意向量x，计算T[T（x）]-x；

（3）设u=（1,0）；

，若

，求a.

六、联赛二试水平训练题

1．已知A，B为两条定直线AX，BY上的定点，P和R为射线AX上两点，Q和S为射线BY上的两点，

为定比，M，N，T分别为线段AB，PQ，RS上的点，

为另一定比，试问M，N，T三点的位置关系如何？

证明你的结论。

2．已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M，N分别内分AC，CE，使得AM：

AC=CN：

CE=r，如果B，M，N三点共线，求r.

3．在矩形ABCD的外接圆的弧AB上取一个不同于顶点A，B的点M，点P，Q，R，S是M分别在直线AD，AB，BC，CD上的射影，求证：

直线PQ与RS互相垂直。

4．在△ABC内，设D及E是BC的三等分点，D在B和F之间，F是AC的中点，G是AB的中点，又设H是线段EG和DF的交点，求比值EH：

HG。

5．是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？

6．已知点O在凸多边形A1A2…An内，考虑所有的

AiOAj，这里的i,j为1至n中不同的自然数，求证：

其中至少有n-1个不是锐角。

7．如图，在△ABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N，求证：

（1）OB

DF，OC

DE，

（2）OH

MN。

8．平面上两个正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O作

，求证△ABC为正三角形。

9．在平面上给出和为

的向量a,b,c,d，任何两个不共线，求证：

|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.