2.
x2y2
（5分）若直线y=kx与双曲线一一二=i相交，则上的取值范围是（）
94
2
A・（0,j）
2
B・,0）
3.
4.
5.
22
©（-齐少
22
D・（一8,一寸U（亍'+co）
（5分）在出BC中，曲=3,/C=2,BD=$BC,贝UD-BD的值为（）
--I
5
B.-
2
c・-|
SD・一
4
（5分）已知数列伽｝的前〃项和Sn=n2-正项等比数列伽｝中,b2=a3，亦3亦1=
4b,5M2）MN+,则log2^=（）
A・77-1
C.77-2
（5分）已知直线ax+y-l=0与圆C：
（x-I）2+（jM）?
=1相交于2,B两点，且厶松C
为等腰直角三角形，则实数a的值为（）
B.-1
D・1
6.（5分）在3C中，小必分别是角丄毗的对边，若齐4201",叫总:
：
:
:
;爲
的值为（）
A.0
B・1
C.2013
D・2014
7.（5分）已知点MSb）（血HO）是圆G”+异=,内一点，直线/是以M为中点的弦
所在的直线，直线加的方程为bx-ay=r,那么（）
A./丄加且加与圆C相切B.］//m且加与圆C相切
C./丄加且加与圆C相离D.l//m且加与圆C相离
8.（5分）若圆x2+yr-ax+2_y+l=0与圆x2+yr=l关于直线p=x-1对称，过点C（-a,a）
的圆P与〉，轴相切，则圆心P的轨迹方程为（）
A.j?
・4x+4y+8=0B・v2-2x-2y+2=0
C・x+4x-4}H-8=0D・>,2-2x-v-1=0
9.（5分）平行四边形中,AB=2,.W=bAB^AD=-h点M在边CD上，则
MB的最大值为（）
A・2B・2V2-1C・5D・苗一1
y2
10.（5分）已知椭圆—+;-=l（a>b>0）上一点2关于原点的对称点为点DF为其右a2b2
焦点，若丄貯，设ZABF=a,且*［右，扌］,则该椭圆离心率e的取值范围为（）
A.
B.呼’1）
C..V3-1]D..—]
233
11.（5分）已知点月是抛物线,=4〉，的对称轴与准线的交点，点E为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足屁（|=加砂|,当加取最大值时，点P恰好在以厶E为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）
X^5—1y/2+1ll
A・B・C・V2+1D・V5-1
22
12.（5分）已知泄义在R上的函数/（x）满足如下条件：
①函数/（X）的图象关于y轴对称；②对任意xGR,/（2+x）-/<2-x）=0：
③当妊［0,2］时./（x）=x；④函数/"（x）=/（2w若过点（・1,0）的直线7与函数/⑷（X）的图象在［0,
2］上恰有8个交点・则直线/斜率斤的取值范囤是（）
A.（0,—）
B.（0,牛）
C.（0,—）
19
二.填空题：
本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.（5分）在N1BC中，eb,c分别是角小B、C的对边，已知sin（2A+f）=|>b=l,
TTTTTTT
14.（5分）已知平而上有四点O,A,B、C,向量O力，OB.OC满足：
OA+OB+OC=0,
O力・OB=OB・OC=OC・04=-1,则\IBC的周长是・
15.（5分）已知Fi、F?
是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且ZF\PF2詣
则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为•
16.（5分）已知数列仗”｝的前”项和Sn=2a„-若不等式21?
-W-3<（5-A）如对
VneN^恒成立，则整数入的最大值为.
三、解答题：
本大题共6题，共70分。
17题10分，其余大题各12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
t3A3A
17.（10分）在中，角4、B、C的对边分别为eb、c,已知向Mm=（cos—,sin—）»
22
n=（cos—,sin—）,且满足|m+n|=运.
（1）求角*的大小；
（2）若b+c=y/3a,试判断/\ABC的形状.
18.（12分）已知圆C经过原点0（0,0）且与直线y=2x-8相切于点P（4,0）.
（I）求圆C的方程；
（1【）在圆C上是否存在两点M,N关于直线y=kx-1对称，且以线段为直径的圆
经过原点？
若存在，写出直线的方程：
若不存在，请说明理由.
19.（12分）（理科）各项均为正数的数列｛心｝中，ai=l,%是数列｛如｝的前〃项和，对任意7?
gN*»有2S科=2pg+pg・p（pER）.
（1）求常数p的值:
（2）求数列｛伽｝的通项公式:
（3）记加=壽"，求数列｛為｝的前n项和7k
20.（12分）已知椭圆C：
咅+$=l（a>b〉O）的离心率e=字，原点到过点/（°,0）,B
4岛
（0.的直线的距离是十.
（1）求椭圆C的方程:
（2）如果直线y=kx+l（E0）交椭圆C于不同的两点E,F.且£,F都在以E为圆心
的圆上，求上的值・
21.（12分）已知泄点F（0,1）,定直线人y=-l，动圆M过点F,且与直线/相切.
（I）求动圆M的圆心轨迹C的方程:
（II）过点F的直线与曲线C相交于儿B两点，分别过点儿B作曲线C的切线"，/2・
两条切线相交于点只求△刃B外接圆而积的最小值.
22.（12分）设函=Inx——bx・
（I）当a=b=壬时，求函数f（x）的最大值：
（II）令F（x）=/（x）+iax2+bx+^（0VxW3）其图象上任意一点P（xo,妙处切线的斜率蜓于恒成立，求实数a的取值范吊I:
（III）当a=o,b=-l,方程2mf（X）有唯一实数解，求正数加的值.
第4页（共口页）
第5页（共11页）
2020-2021学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）
够考答案与试题解析
一、选择题：
本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。
1.（5分）集合M={x|2x2-x-KO},N={x\2x+a>Q},U=R,若皿门（：
诃=0，则a的取
值范围是（）
A・a>lB・C・a【答案】B
2.（5分）若直线y=kx与双曲线一—i相交，则上的取值范围是（）
94
2?
A.（0,亍）B・（―g，0）
2222
C-（_3'3）D.（-8,—g）U（亍，+oo）
【答案】C
3・（5分）在MBC中，zLS=3,/C=2,BD=^BC.贝\\AD^BD的值为（）
555S
A.—5B.一C.—vD.一
2244
【答案】c
4.（5分）已知数列{a”}的前”项和Sn=n2-正项等比数列{b”}中,也=。
3，辰亦•】=
4b,（”鼻2）朋N+,则1。
纫=（）
A.72-1B・2?
i-1C.77-2D.幵
【答案】D
5・（5分）已知直线ax+y-l=0与圆C：
（x-1）2+（^）2=1相交于2,B两点，且ZU5C
为等腰直角三角形，则实数a的值为（）
第6页（共M页）
B・-1
D・1
【答案】C
6.（5分）在3C中y"分别是角乩毗的对边，若曲JO血，则怎：
：
：
：
；；：
面
的值为（）
A.0
B・1
C.2013
D・2014
【答案】C
7.
（5分）已知点M（eb）（初HO）是圆C：
x2+>r=?
-2内一点，直线/是以M为中点的弦
所在的直线，直线加的方程为那么（）
A・/丄加且加与圆C相切
B.l//nt且加与圆C相切
C./丄加且加与圆C相藹
D・l//m且加与圆C相禽
【答案】C
8.
（5分）若圆”+）2・俶+2尸1=0与圆xV=l关于直线y=x-1对称，过点CCga）
的圆P与丁轴相切，则圆心P的轨迹方程为（
A・v2-4x+4jH-8=0
B.v2-2x-2v+2=0
C.）厂+4x-4尹+8=0
【答案】C
9.
（5分）平行四边形48CQ中，.15=2,,9=1,力=—1,点M在边CD上，则M"
M3的最大值为（
A.2
B.2/2-1
C・5
D.\/3—1
【答案】2
x2y2
10.（5分）已知椭圆—+tT=1（a>b>0）上一点2关于原点的对称点为点B,F为其右
a2b2
焦点，若AF丄BF,设ZABF=a,且*[£,知则该椭圆离心率e的取值范围为（）
A.[乎,y]B.[y,1）C.[y,V3-1]D.[y,y]
【答案】C
11.（5分）已知点/是抛物线x2=4j-的对称轴与准线的交点，点E为抛物线的焦点，P在
抛物线上且满足屁（|=加砂|,当加取最大值时，点P恰好在以厶E为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）
\^5—1\^2+1l
A.B.C・V2+1D・V5-1
22
【答案】C
12.（5分）已知泄义在R上的函数/（x）满足如下条件：
①函数/（a）的图象关于y轴对
称；②对任意xGR,/（2+x）-/<2-x）=0：
③当xG[0,2]时./（x）=x；④函数/（X）=f（2n^x\若过点（・1,0）的直线7与函数/⑷（X）的图象在[0,
2]上恰有8个交点.
则直线/斜率斤的取值范羽是（）
8、
11s
8、
19
A.（0,—）
B・（0,—）
C・（0,—）
D・（0,—）
11
8
19
8
【答案】2
二填空题：
本题共4个小题，每小题5分，
共20分。
13.（5分）在/XABC中，eb,c分别是角儿B、C的对边，已知sin（2A+f）=|>b=l,
sc的面积为孚则赢需的值心
【答案】见试题解答内容
TTTTTTT
14.（5分）已知平而上有四点0.2,B.C,向量0力，OB.OC满足：
OA+OB+OC=0,
0力・OB=OB・OC=OC・04=-1,则/^IBC的周长是3岛_・
【答案】见试题解答内容
15.（5分）已知Fi、F?
是椭圆和双曲线的公共焦点,P是他们的一个公共点，且ZF1PF2摇，
4\^3则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为—.
-3一
【答案】见试题解答内容
16.（5分）已知数列｛血｝的前”项和Sw=2^-2n+1,若不等式2«2-h-3<（5-A）血对
旳GN亠恒成立，则整数入的最大值为4.
【答案】见试题解答内容
三、解答题：
本大题共6题，共70分。
17题10分，其余大题各12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）在/\ABC中,角/、B、C的对边分别为a,b,c,已知向量m=（cos—,sin—）»
22n=（cos?
sinf）,且满足+n|=齿.
（1）求角/的大小；
（2）若b+c=\/3a,试判断/\ABC的形状.
【答案】见试题解答内容
18.（12分）已知圆C经过原点0（0,0）且与直线y=2x-8相切于点P（4,0）.
（I）求圆C的方程；
（II）在圆C上是否存在两点丄“，N关于直线y=kx-1对称，且以线段MN为直径的圆
经过原点？
若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】见试题解答内容
19.（12分）（理科）各项均为正数的数列仙｝中，ai=l,%是数列仙｝的前〃项和，对任意7?
gN*»有2Sn=2pa】「+p如-p（声R）.
（1）求常数P的值；
（2）求数列｛如｝的通项公式：
（3）记加=壽"，求数列伽｝的前”项和乙・
【答案】见试题解答内容
20.（12分）已知椭圆C：
咅+$=l（a>b〉O）的离心率e=字，原点到过点/（°,0）,B
4岛
（0.的直线的距离是十.
（1）求椭圆C的方程:
（2）如果直线y=kx+l（上工0）交椭圆C于不同的两点E,F.且£,F都在以E为圆心的圆上，求上的值・
【答案】见试题解答内容
21.（12分）已知窪点F（0,1）,定直线7：
>*=-1.动圆M过点F,且与直线/相切.
（I）求动圆M的圆心轨迹C的方程：
（1【）过点F的直线与曲线C相交于儿B两点，分别过点儿B作曲线C的切线几4两条切线相交于点求外接圆而积的最小值.
【答案】见试题解答内容
22.（12分）设函数/*（%）=—扣％2—以.
（I）当<1=b=壬时，求函数f（x）的最大值：
（II）令F（x）=/（x）+|ax2+bx+^（0VxW3）其图象上任意一点P（刊，.“）处切
线的斜率k<士恒成立，求实数d的取值范国：
（III）当a=0,b=-l,方程2mf（x）=,有唯一实数解，求正数加的值.
【答案】见试题解答内容
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