流体力学讲义第五章相似原理与量纲分析.docx
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流体力学讲义第五章相似原理与量纲分析
第五章相似原理与量纲分析
对于复杂的实际工程问题，直接应用基本方程求解，在数学上极其困难，因此需有赖于实验研究来解决。
本章主要阐述有关实验研究的基本理论和方法，包括流动相似原理，相似准则，量纲和谐原理及量纲分析方法等。
第一节流动相似
原型：
天然水流和实际建筑物称为原型。
模型：
通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。
水力学模型试验：
是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。
水力学模型试验的目的：
利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。
关键问题：
模型水流和原型水流保持流动相似。
流动相似：
两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。
模型和原型保证流动相似，应满足：
几何相似
运动相似
动力相似
初始条件和边界条件相似
1.几何相似
几何相似：
指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和模型及其流动所有相应的线性变量的
3.动力相似
动力相似：
是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力方向相同，其大小比值相等。
4.初始条件和边界条件的相似
初始条件：
适用于非恒定流。
边界条件：
有几何、运动和动力三个方面的因素。
如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压
强为大气压强等。
流动相似的含义：
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；
动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素；
运动相似是几何相似和动力相似的表现；
凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流动。
想一想：
两恒定流流动相似应满足哪些条件？
答：
应满足几何相似，动力相似，运动相似及边界条件
相似。
第二节动力相似准则
动力相似准则：
在两相似的流动中，各种力之间保持固定不变的比例关系。
流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用的结果。
因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。
判断：
惯性力是所有外力的矢量和。
你的回答：
错
惯性力
1=ma-p?
£=历°厂°二
根据动力相似有入F=入
即
（5-8）
所以两个相似流动的牛顿数应相等，这是流动相似的重要标志和准则，称为牛顿数相似准则。
完全的动力相似，要求惯性力与其他力比值都相等，但实际上不可能达到，所以常选一个对流动起决定作用的力给予满足。
想一想：
牛顿相似准则说明了完全的动力相似。
1.雷诺（粘滞力）准则
惯性力_rm十品"-理
6-粘滞力=竺工呼71-V
石（5-9）
Re雷诺数
式中：
L——为流场中的特征线性长度。
当粘滞力起主要作用时，动力相似有：
人（5-10）
适用范围：
主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，凡是有压流动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这类液流相似要求雷诺数相似。
另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证液流动力相似。
如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。
算一算：
如模型比尺为1:
20，考虑粘滞力占主要因素，采用的模型中流体与原型中相同，模型中流速为50m/s，则原型中的流速为2.5m/s。
问题：
进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选的相似准则是：
A.雷诺准则；B.弗劳德准则；C.欧拉准则；D.其他准则。
问题：
雷诺数的物理意义表示：
A.粘滞力与重力之比；B.重力与惯性力之比；
C.惯性力与粘滞力之比；D.压力与粘滞力之比。
A.1/2；B.1/4；C.1/8;D.1/16。
2.弗汝德（重力）准则
丹一惯性力一，
（5-11）
适用范围：
凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口岀流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动等。
问题：
进行水力模型实验，要实现明渠水流的动力相似，应选的相似准则是：
A.雷诺准则；B.弗劳德准则;C.欧拉准则；D.其它准则。
问题：
明渠水流模型实验，长度比尺为4,模型流量应为原型流量的：
A.1/2;B.1/4;C.1/8;D.1/32。
，则原型
cm/s?
问题：
长度比尺入l=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进，测得波浪阻力为0.02N
中需要的功率NP为：
A.2.17kW;B.32.4kW;C.17.8kW;D.13.8kW。
问题：
设模型比尺为1:
100，符合重力相似准则，如果模型流量为100cm3/s，则原型流量为多少
8
A.0.01;B.10;C.10;D.10000。
重力相似与粘滞力相似比较
雷诺〔粘滞力）准则
佛汝德（重力）准则
-Re2
Fq=Fr2
厶_巾厶
J1
珂二5
厶
若盒=b则
V2
若丄=1,则
2口=俎人；=九
£
兀=几局=益"
入$=儿2人爭=人上
外="恣
若兄卫=1,则兑厂1
若—1,则禺—
3.欧拉准则
流体流动以动水总压力为主要作用力的情况：
m_惯性力__即
（5-14）
（5-15）
血一—"-一”
当压力起主要作用时，动力相似有：
旨％或-^=1
问题1：
进行水力模型实验，要实现有压管流的动力相似，应选择的相似准则是：
A.雷诺准则；B.弗劳德准则；C.欧拉准则。
问题2：
判断：
当运动流体主要受粘滞力和压力作用时，若满足雷诺准则，则欧拉相似准则会自动满足。
对
一般，两液流的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流的弗汝德数相等，欧拉数也相等。
只有岀现负压或存在气蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证液流相似。
4.韦伯准则
表面张力为主导作用力时的相似准则:
（5-16）
惯性力「_pv^L
表啬我力—疔厂=旷
当表面张力起主要作用时，动力相似有:
（5-17）
想一想：
欧拉数与韦伯数的物理意义是什么？
答：
欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，
表征压力与惯性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。
韦伯数是表明张力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与表面张力之比，两流动韦伯数相等则表面张力相似。
5.马赫数
弹性力为主导作用力时的相似准则（例水击现象）：
柯西数
令
Ma=J~Ca=—c
（5-18）
Ma=1——运动速度为芦速伽vl一运动速度为亚音遼
Ma>l—运动速度対超音速
式中：
——流体声速
上一一弹性模量
当弹性力起主要作用时，如水击，空气动力学中的亚音速或超音速运动等，动力相似有：
呱二％或玉二1
忑（5-20）
6.斯特哈罗数（时间准则）
斯特哈罗数：
非恒定流体流动中，当地加速度上，这个加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的
惯性作用之比。
判断：
对于恒定流也应考虑斯特哈罗数准则。
错
f――振动频率
对非恒定流，表明有变力作用，动力相似有:
（5-22）
少时才能达到相似？
若测得5m长模型输水管两端的压差为3cm，试求在5m长输油管两端的压差应为多少
（用油柱咼表示）？
解
（1）因为圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺准则，即两者的雷诺数相等
由于dp=dm，故上式可写成
或…
22
将已知条件vp=0.13cm/s，vm=0.0131cm/s代入上式，得
a=2^121x0ig=00181m3/s
0,13
即当模型中流量Q为0.0181m3/s时，原型与模型相似。
（2）由于已经满足雷诺准则，故两者的欧拉数也会自动满足
也可以写成
这里，引入了Ap=Am（dp=dm）及gp=gm。
所以，5m长输油管的压差油柱为
=2.95m
外二牆"心冥0%陽
例2长度比入l=50的船舶模型，在水池中以1m/s的速度牵引前进时，则得波浪阻力为0.02N。
求
（1）
原型中的波浪阻力；
（2）原型中船舶航行速度；（3）原型中需要的功率？
解由于重力在起主要作用，所以原型和模型的弗劳德数应相等。
即
—乂4；乂;=几口久;'无二盂
由于gP=gm，故上式可写成所以
=Zj'U.=501xl=7.1m/s
或
==2500x71
L
十=击=忑二刃=17S00Nm/s=17SkW
例3:
设有油罐，直径d为4m,油温t为20C，已知油的运动粘度vp=0.74cm2/s，长度比入l采用4
左右，试进行下面各项研究：
（
1）选定何种相似准则？
（2）模型流体的选定？
（3）各项比例的计算。
解
（1）油自油管流岀，自由表面受重力作用，由于油的粘度较大，故又受粘性力的作用。
因此，重力和粘性力都是重要作用力，所以，这里的相似准则应该选定同时满足雷诺数和弗劳德数。
（2）
…2-几心.
=w
人=^-=0^=00925cm2/$
由于n正好等于0.0925cm2/s的流体极难找到，所以只好挑选一些近似的流体。
现在选用20C的59%
的甘油溶液，其运动粘度0.0892cm2/s，与计算值很接近，但在试验过程中要保持20C的温度。
于是模型
液体的运动粘度应为vm=0.0892cm2/s，而不再是0.0925cm7s了。
（3）模型流体选好后，由于所选择的vm不再等于0.0925cm2/s，所以对长度比入l应进行修正
竝二"二（3=巒二4,1
即长度比入L应为4.1，而不是4。
因此模型油罐的直径为
心二參名"观m
流速比入v按弗劳德准则求得（按雷诺准则也能得到同样结果）；
^=4=4.1^=2.025
从而知道模型油管内的流速大致为原型中的一半。
时间比入t按雷诺准则求得
A=心旷=加卩=#=2.025
加速度比
实际上做不到
第三节量纲分析
、量纲和单位
单位（unit）:
量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。
如长度单位为m或cm等。
"量”
的表征。
想一想：
表面张力系数的单位是N/m。
量纲（dimension）:
是指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和类别。
如长度量纲为[L]。
"质”的表征。
量纲基本量纲（fundamentaldimension）:
具有独立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲叫做基
本量纲。
一般取长度、时间、质量，即[L-MT]
诱导量纲（deriveddimension）:
是指由基本量纲导岀的量纲。
冋题1：
运动粘度的量纲是
量纲公式：
特点：
（1无量纲单位，它的大小与所选单位无关;
（2）具有客观性;
（3）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲数。
问题：
速度v，长度l，重力加速度g的无量纲集合是：
也¥丄I
A.二;B.''二;C.1-r；;D.二；
问题：
速度V,密度p,压强p的无量纲集合是:
PP
D.
A.L
问题：
压强△p,密度p,长度l,流量Q的无量纲集合
、量纲和谐原理
量纲和谐原理（
theoryofdimensionalhomogeneity
凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同,方程才能成立。
这称为量纲和谐原理
量纲和谐原理的重要性：
a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。
b.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。
c.可用来建立物理方程式的结构形式。
判断：
只有量纲相同的项才可以相加减。
你的回答：
对
、量纲分析法
1.雷利法
雷利法是量纲和谐原理的直接应用，
雷利法的计算步骤：
1.确定与所研究的物理现象有关的n个物理量；
2.写岀各物理量之间的指数乘积的形式，如：
FD=kDxUypz卩a
3.根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物理量的指数x,y,z,a，代入指数方程
式即得各物理量之间的关系式。
应用范围：
一般情况下，要求相关变量未知数n小于等于4〜5个。
例1：
确定粘性流体流经竖置的单位长度长直圆柱体时的绕流阻力表达式
解：
单位长度所受的阻力Fd=F/L（F为柱的整体阻力，L为柱长），影响阻力的因素包括柱的直径D
流体密度p,粘度卩,以及行近流速U:
依据量纲和谐原理，上式可写成量纲方程为
FD=kDxUypzf
应用[M-L-T]制，并代入相应的量纲
[ML°T-2]=[L]x[LT-1]y[ML-3]z[ML-1T-1]a
为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。
因此
M:
仁z+aL:
0=x+y-3z-aT:
-2=-y-a
得x=1-a，y=2-a，z=1-a
故FD=kD"U2-aJ雹
%=）■'
A
=垃二f（Re）DU2p
A
例2：
确定圆管流动中边壁切应力的表达式T0。
解影响T0的独立影响因素有液体的密度P，液体的动力粘度卩，圆管直径D,管壁材料的粗糙度
△以及管中断面平均流速V0拟定函数关系式为
5=疋”7?
D川/
写出量纲关系式为
[M-rl7-a]=[2/re『宓心尸尸[Zf[LT^1]*[Z；]1
排列量纲和谐方程求各指数。
[MYl=a+b'
[£]:
-\=-3a-b+c+d卜
[丁]:
一2二-By
联立以上三式解得b=l-a,c=a-d-1,e=a+l。
将各指数值代入函数关系式中得
5=匕门&卩“011•丄仏乜
整理得
壬0=心呀y伶严（禺）"=疋的严•铲肿二/（隔少e
式中入系数，由实验确定。
2.布金汉（Buckingham）n定理
n定理：
对于某个物理现象，如果存在n个变量互为函数，即F（Xi,X2,,,,Xn）=0。
而这些变量中
含有m个基本量，则可排列这些变量成（n-m）个无量纲数的函数关系$（n1，n2,,,,nn-m）=0，即可
合并n个物理量为（n-m）个无量纲n数。
n定理的解题步骤：
（1）确定关系式：
根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系
式：
•--\111
（2）确定基本量：
从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取
m=3。
在管流中，一般选d,v,p三个作基本变量，而在明渠流中，则常选用H,v,p。
（3）确定n数的个数（n）=（n-m）,并写岀其余物理量与基本物理量组成的n表达式
兀i二斗球琦•玛（i二1,2,…科-利）
n项的指数X,y,Z,从而
（4）确定无量纲n参数：
由量纲和谐原理解联立指数方程，求岀各
定岀各无量纲n参数。
n参数分子分母可以相互交换，也可以开方或乘方，而不改变其无因次的性质。
（5）写岀描述现象的关系式
兀眄，…忑血）=o
或显解一个n参数，如：
开*二/（兀1，畀2J'兀）
或求得一个因变量的表达式。
选择基本量时的注意原则：
1）基本变量与基本量纲相对应。
即若基本量纲（M,L，T）为三个，那么基本变量也选择三个；
倘若基本量纲只岀现两个，则基本变量同样只须选择两个。
2）选择基本变量时，应选择重要的变量。
换句话说，不要选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。
3）不能有任何两个基本变量的因次是完全一样的，换言之，基本变量应在每组量纲中只能选择一个。
例3：
管中紊流，单位管长沿程水头损失h〃L，取决于下列因素：
流速u,管径D,重力g，粘度卩，管
壁粗糙度△和密度p，试用n定理分析确定方程的一般形式。
解:
取v,D,P为基本变量，则n的个数Nn>=n-m=7-3=4，显然hf/L是一个n因hf和L量纲都是长
度。
x1y1z^_._-1、x1「.、y1「R甬.-3、z1「R甬.-1〒-1
n=uDp尸[LT][L][ML][MLT
可得:
写成n数为:
A。
解得:
常用沿程损失公式形式为:
皿毎*（屁曲令蔓"名卷
儿-dg占――称沿程阻力系数，具体由实验决定。
例4:
液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差厶
p与下列变量有关：
管径d,p,u,I,卩,管壁粗糙
解:
度△，试求厶p的表达式。
F（d,p,u,I,卩,△,△p）=0
^4=
n:
.'一匚「工丁…」二V
"7
可=1”=0刍二0
n：
［皿忆W］=也］叫£厂1］芷［泌勺包
0:
-1=乃+乃一3上，
T:
-l=-y3
胚：
1=召
同理得：
—Q
bp=fig,'；”
Aa
GJ设
A/i二瓷
则&二
例5:
如图5-1所示，已知文丘里流量计是用以测量有压管路的流量，已知压强降落厶p随流量Q流体
密度p，液体粘度卩，管壁粗糙度△，流量计长度L以及大小直径D,D2变化。
试用n定律求岀的压强
降落△p表示的流量公式。
解：
函数式为：
选取p，Q,D为基本变量，则存在6-3=3个n数
叫=成◎'口''F
码=■鸟
将n数用量纲表示：
［砧二［曲?
丁［庄r丁［迹0
并解一个n参数:
即:
例6：
用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式T0。
已知T0与液体的密度P，液体的动力沾
滞系数卩，圆管直径D,管壁材料的粗糙度△以及管中断面平均流速U有关。
解拟定函数关系式为f（D,U,p,T0,11,△）=0
从各独立影响因素中选取D（几何量），U（运动量），p（动力量）为基本量建立（6~3）n项:
对每一n项建立量纲关系式，排列量纲和谐方程求解ai,bi,ci
[ML^]二[Z]1[LT1]b|[ML•严
同理求得
将各n代入得
整理得
思考题
1.量纲分析有何作用？
答：
可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。
2.经验公式是否满足量纲和谐原理？
答：
一般不满足。
通常根据一系列的试验资料统计而得，不考虑量纲之间的和谐。
3.雷利法和布金汉n定理各适用于何种情况？
答：
雷利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数W4〜5个，n定理是具有普遍性的方法。
本章小结
1.两液流流动相似必须满足:
（1）几何相似一一原形和模型两个流场的几何形状相似；
（2）运动相似一一原形和模型两个流场的速度场相似；
（3）动力相似原形和模型两个流场中各相应质点所受的同名方向相同，大小成一固定比例;
（4）初始条件和边界条件相似；
2.相似准则：
Re相似准则、Fr相似准则、Eu相似准则
魚粘滞力起主要作用时,
粘性力
惯性力
b重力起主荽作用时,"豁養
c.压力起主寒作用时,&就=
原型和模型中采用同一种流体时，不能同时满足重力相似和粘滞力相似；所以只要相应点的粘滞力或重力相似，压强会自行相似。
3.基本量纲一一具有独立性的，不能由其他量纲推导岀来的量纲。
一般取[L-M-T]。
诱导量纲一一由基本量纲导岀的量纲。
[X]=[L“，T3，MY]。
4.量纲和谐原理一一凡是正确反映客观物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只是方程两边量纲相同，方程才能成立。
5.量纲分析两种方法
雷利法一一直接应用量纲和谐原理来求解，适用于较简单问题。
n定理一一具有普遍性的方法。
关键在于正确选择基本量。
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