中考数学专题复习导学案《尺规作图》的含标准答案doc.docx
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中考数学专题复习导学案《尺规作图》的含标准答案doc
中考数学专题练习《尺规作图》
【知识归纳】
一)尺规作图
1.定义
只用没有刻度的和作图叫做尺规作图.
2.步骤
①根据给出的条件和求作的图形,写出已知和求作部分;
②分析作图的方法和过程;
③用直尺和圆规进行作图;
④写出作法步骤,即作法.
二)五种基本作图
1.作一条线段等于已知线段;
2.作一个角等于已知角;
3.作已知角的平分线;
4.过一点作已知直线的垂线;
5.作已知线段的垂直平分线.
三)基本作图的应用
1.利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形;
(2)已知两边及其夹角作三角形;(3)已知两角及其夹边
作三角形;(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形;(5)已知一直角边和斜边
作直角三角形.
2.与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆).
(2)作三角形的内切圆.
【基础检测】
1.如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,
再分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为
(2a,b+1),则a与b的数量关系为()
A.a=bB.2a+b=﹣1C.2a﹣b=1D.2a+b=1
2.如图,已知△ABC,以点B为圆心,AC长为半径画弧;以点C为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点D,且点A,点D在BC异侧,连结AD,量一量线
段AD的长,约为()
A.2.5cmA
B.3.0cm
C.3.5cm
D.4.0cm
BC
3.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的
三角形(保留作图痕迹,不写作法)
4.如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是
A(4,3)、
B(4,1),把△ABC绕点C逆时针旋转
90°后得到△A1B1
C.
(1)画出△A1B1C,直接写出点A1、B1
的坐标;
(2)求在旋转过程中,△ABC所扫过的面积.
5.如图,在边长为1
个单位长度的小正方形组成的12×12
网格中,给出了四边形ABCD的两条边
AB与BC,且四边形
ABCD是一个轴对称图形,其对称轴为直线
AC.
(1)试在图中标出点
D,并画出该四边形的另两条边;
(2)将四边形ABCD向下平移5个单位,画出平移后得到的四边形
A′B′C′.D′
6.已知:
线段a及∠ACB.
求作:
⊙O,使⊙O在∠ACB的内部,CO=a,且⊙O与∠ACB的两边分别相切.
7.如图,OA=2,以点A为圆心,1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C,过点A画OA的垂线,
垂线与⊙A的一个交点为B,连接BC
(1)线段BC的长等于;
(2)请在图中按下列要求逐一操作,并回答问题:
①以点为圆心,以线段的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段OD的长等于
②连OD,在OD上画出点P,使OP得长等于,请写出画法,并说明理由.
【达标检测】
一、选择题
1.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画
弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为()
A.65°B.60°C.55°D.45°
2.如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.
步骤1:
以
C
为圆心,
为半径画弧
1
;
CA
○
步骤2:
以B为圆心,BA为半径画弧
2
,将弧1于点D;
○
○
步骤3:
连接
,交
延长线于点.
ADBC
H
下列叙述正确的是()
第10题图
A.BH垂直分分线段ADB.AC平分∠BAD
C.S△ABC=BC·AHD.AB=AD
二、填空题
3.如图,已知线段AB,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C、D
两点,作直线CD交AB于点E,在直线CD上任取一点F,连接FA,FB.若FA=5,则FB=.
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点
M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交
BC于点D,则下列说法中正确的是。
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:
S△ABC=1:
3.
三、解答题
5.(12
分)图
1是某公交公司
1路车从起点站
A站途经
B站和
C站,最终到达终点站
D站的格点
站路线图.(8×8的格点图是由边长为
1的小正方形组成)
(1)求
1路车从
A站到
D站所走的路程(精确到
0.1);
(2)在图
2、图
3和图
4的网格中各画出一种从
A站到
D站的路线图.(要求:
①与图
1路线不
同、路程相同;②途中必须经过两个格点站;③所画路线图不重复)
6.(7分)图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为
1,
线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)如图1,点P在小正方形的顶点上,在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q,连接AQ、
QC、CP、PA,并直接写出四边形AQCP的周长;
(2)在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD,且点B和点D均在小正方
形的顶点上.
7.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的
三角形(保留作图痕迹,不写作法)
8.如图,已知BD是矩形ABCD的对角线.
(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD、BC于E、F(保留作图痕迹,不写作法
和证明).
(2)连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形?
请说明理由.
9.如图,方格中,每个小正方形的边长都是单位1,△ABC在平面直角坐标系中的位置如图.
(1)画出将△ABC向右平移2个单位得到△A1B1C1;
(2)画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2;
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积.
【知识归纳答案】
一)尺规作图
1.定义
只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图.
2.步骤
①根据给出的条件和求作的图形,写出已知和求作部分;②分析作图的方法和
过程;③用直尺和圆规进行作图;④写出作法步骤,即作法.
二)五种基本作图
1.作一条线段等于已知线段;2.作一个角等于已知角;3.作已知角的平分线;
4.过一点作已知直线的垂线;5.作已知线段的垂直平分线.
三)基本作图的应用
1.利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形;
(2)已知两边及其夹角作三角形;(3)已知两角及其夹边
作三角形;(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形;(5)已知一直角边和斜边
作直角三角形.
2.与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆).
(2)作三角形的内切圆.
【基础检测答案】
1.)如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,
再分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为
(2a,b+1),则a与b的数量关系为()
A.a=bB.2a+b=﹣1C.2a﹣b=1D.2a+b=1
【解析】作图—基本作图;坐标与图形性质;角平分线的性质.根据作图过程可得P在第二象限角
平分线上,有角平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|,再根据P
点所在象限可得横纵坐标的和为0,进而得到a与b的数量关系.
【解答】解:
根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上,
则P点横纵坐标的和为0,
故2a+b+1=0,
整理得:
2a+b=﹣1,
故选:
B.
【点评】此题主要考查了每个象限内点的坐标特点,以及角平分线的性质,关键是掌握各象限角平
分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|.
2.如图,已知△ABC,以点B为圆心,AC长为半径画弧;以点C为圆心,AB长
为半径画弧,两弧交于点
D,且点A,点D在BC异侧,连结AD,量一量线
段AD的长,约为(
)
A.2.5cm
A
B.3.0cm
C.3.5cm
B
C
D.4.0cm
【答案】B
【解析】首先根据题意画出图形,由“两组对边分别相等的四边形是平行四边
形”,可知四边形ABCD是平行四边形,再根据平行四边形的性质对角线相等,
得出AD=BC.最后利用刻度尺进行测量即可.
【方法指导】此题主要考查了复杂作图以及平行四边形的判定和性质,关键是
正确理解题意,画出图形.
3.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的
三角形(保留作图痕迹,不写作法)
【考点】作图—相似变换.
【分析】过点A作AD⊥BC于D,利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C,则可判断△ABD与
△CAD相似.
【解答】解:
如图,AD为所作.
4.(8分)如图,在边长为1的正方形网格中,△ABC的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别
是A(4,3)、B(4,1),把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C.
(1)画出△A1B1C,直接写出点A1、B1的坐标;
(2)求在旋转过程中,△ABC所扫过的面积.【考点】作图-旋转变换;扇形面积的计算.
【分析】
(1)根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置,然后顺次连接即可,
根据A、B的坐标建立坐标系,据此写出点A1、B1的坐标;
(2)利用勾股定理求出AC的长,根据△ABC扫过的面积等于扇形CAA1的面积与△ABC的面积
和,然后列式进行计算即可.
【解答】解:
(1)所求作△A1B1C如图所示:
由A(4,3)、B(4,1)可建立如图所示坐标系,
则点A1的坐标为(﹣1
,4
),点B1的坐标为(1,4);
(2)∵AC=
=
=,∠ACA1=90°
∴在旋转过程中,△ABC所扫过的面积为:
S扇形CAA1+S△ABC
=+×3×2
=+3.
5
)
如图,在边长为
1
个单位长度的小正方形组成的
12×12
网格中,给出了四边形
ABCD
的
.(8
分
两条边AB与BC,且四边形
ABCD是一个轴对称图形,其对称轴为直线AC.
(1)试在图中标出点D,并画出该四边形的另两条边;
(2)将四边形ABCD向下平移5个单位,画出平移后得到的四边形A′B′C′.D′
【考点】作图-平移变换.
【分析】
(1)画出点B关于直线AC的对称点D即可解决问题.
(2)将四边形ABCD各个点向下平移5个单位即可得到四边形A′B′C′.D′
【解答】解:
(1)点D以及四边形ABCD另两条边如图所示.
(2)得到的四边形A′B′C′如D图′所示.
6.(2016.山东省青岛市,4分)已知:
线段a及∠ACB.
求作:
⊙O,使⊙O在∠ACB的内部,CO=a,且⊙O与∠ACB的两边分别相切.
【考点】作图—复杂作图.
【分析】首先作出∠ACB的平分线CD,再截取CO=a得出圆心O,作OE⊥CA,由角平分线的性
质和切线的判定作出圆即可.
【解答】解:
①作∠ACB的平分线CD,
②在CD上截取CO=a,
③作OE⊥CA于E,以O我圆心,OE长为半径作圆;
如图所示:
⊙O即为所求.
7.如图,OA=2,以点A为圆心,1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C,过点A画OA的垂线,
垂线与⊙A的一个交点为B,连接BC
(1)线段BC的长等于;
(2)请在图中按下列要求逐一操作,并回答问题:
①以点A为圆心,以线段BC的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段OD的长等于
②连OD,在OD上画出点P,使OP得长等于,请写出画法,并说明理由.
【考点】作图—复杂作图.
【分析】
(1)由圆的半径为1,可得出AB=AC=1,结合勾股定理即可得出结论;
(2)①结合勾股定理求出AD的长度,从而找出点D的位置,根据画图的步骤,完成图形即可;
②根据线段的三等分点的画法,结合OA=2AC,即可得出结论.
【解答】解:
(1)在Rt△BAC中,AB=AC=1,∠BAC=90°,
∴BC==.
故答案为:
.
(2)①在Rt△OAD中,OA=2,OD=,∠OAD=90°,
∴AD===BC.
∴以点A为圆心,以线段BC的长为半径画弧,与射线BA交于点D,使线段OD的长等于.
依此画出图形,如图1所示.
故答案为:
A;BC.
②∵OD=,OP=,OC=OA+AC=3,OA=2,
∴.
故作法如下:
连接CD,过点A作AP∥CD交OD于点P,P点即是所要找的点.
依此画出图形,如图2所示.
【达标检测答案】
一、选择题
1.)如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径
画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为()
A.65°B.60°C.55°D.45°
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=DC,根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DAC,求得
∠DAC=30°,根据三角形的内角和得到∠BAC=95°,即可得到结论.
【解答】解:
由题意可得:
MN是AC的垂直平分线,
则AD=DC,故∠C=∠DAC,
∵∠C=30°,∴∠DAC=30°,∵∠B=55°,∴∠BAC=95°,
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°,故选A.
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质,三角形的内角和,正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.
2.如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.
步骤1:
以C为圆心,CA为半径画弧○1;
步骤2:
以B为圆心,BA为半径画弧○2,将弧○1于点D;
步骤3:
连接AD,交BC延长线于点H.
下列叙述正确的是()
第10题图
A.BH垂直分分线段ADB.AC平分∠BAD
C.S△ABC=BC·AHD.AB=AD
答案:
A
解析:
AD相当于一个弦,BH、CH⊥AD;B、D两项不一定;C项面积应除以2。
知识点:
尺规作图
二、填空题
3.如图,已知线段
AB,分别以点
A和点
B为圆心,大于
AB
的长为半径作弧,两弧相交于
C、D
两点,作直线CD交AB于点E,在直线CD上任取一点【考点】作图—基本作图;线段垂直平分线的性质.
F,连接
FA,FB.若
FA=5,则
FB=
5.
【分析】根据线段垂直平分线的作法可知直线
性质即可解决问题.
【解答】解:
由题意直线CD是线段AB
∵点F在直线CD上,
∴FA=FB,
∵FA=5,
CD是线段
的垂直平分线,
AB
的垂直平分线,利用线段垂直平分线
∴FB=5.
故答案为5.
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点
M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交
BC于点D,则下列说法中正确的是。
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:
S△ABC=1:
3.
【解析】①根据作图的过程可以判定②利用角平分线的定义可以推知∠
AD是∠BAC的角平分线;
CAD=30°,则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数;
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形,由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上;
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.
【解答】解:
①根据作图的过程可知,AD是∠BAC的平分线.
故①正确;
②如图,∵在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠2=∠CAB=30°,
∴∠3=90°﹣∠2=60°,即∠ADC=60°.
故②正确;
③∵∠1=∠B=30°,
∴AD=BD,
∴点D在AB的中垂线上.
故③正确;
④∵如图,在直角△ACD中,∠2=30°,
∴CD=AD,
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD,S△DAC=AC?
CD=AC?
AD.
∴S△ABC=AC?
BC=AC?
AD=AC?
AD,
∴S△DAC:
S△ABC=AC?
AD:
AC?
AD=1:
3.
故④正确.
综上所述,正确的结论是:
①②③④.
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图.解题时,需要熟悉等腰三角形的判定与性质.
三、解答题
5.(12分)图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站,最终到达终点站
D站的格点
站路线图.(8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成)
(1)求1
路车从A站到D站所走的路程(精确到
0.1);
(2)在图
2、图3和图4的网格中各画出一种从
A站到D站的路线图.(要求:
①与图
1路线不
同、路程相同;②途中必须经过两个格点站;③所画路线图不重复)
【考点】作图—应用与设计作图;勾股定理的应用.
【分析】
(1)先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长,再相加求得所走的路程的近似值;
(2)根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可.
【解答】解:
(1)根据图1可得:
,
,CD=3
∴A站到B站的路程=
≈9.7;
(2)从A站到D站的路线图如下:
6.(7分)图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为
1,
线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)如图1,点P在小正方形的顶点上,在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q,连接AQ、
QC、CP、PA,并直接写出四边形AQCP的周长;
(2)在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD,且点B和点D均在小正方
形的顶点上.
【考点】作图-轴对称变换.
【分析】
(1)直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案;
(2)直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案.
【解答】解:
(1)如图1所示:
四边形AQCP即为所求,它的周长为:
4×=4;
(2)如图2所示:
四边形ABCD即为所求.
7.如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成两个相似的
三角形(保留作图痕迹,不写作法)
【考点】作图—相似变换.
【分析】过点A作AD⊥BC于D,利用等角的余角相等可得到∠BAD=∠C,则可判断△ABD与
△CAD相似.
【解答】解:
如图,AD为所作.
8.如图,已知BD是矩形ABCD的对角线.
(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线,分别交AD、BC于E、F(保留作图痕迹,不写作法
和证明).
(2)连结BE,DF,问四边形BEDF是什么四边形?
请说明理由.【考点】矩形的性