中考复习《分式方程与一元二次方程》docx.docx
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中考复习《分式方程与一元二次方程》
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近年来，中考题目中涉及考查分式方程和一元二次方程的题目比较重要，特别是今年的中考说明再次强调要求，能用方程与不等式的有关内容解决有关实际问题，能解分式方程，能用适当的方法解数字系数的一元二次方程，能用根的判别式解决与一元二次方程根有关的问题。
例如1.（2015中考）关于x的一元二次方程祇2+加+扌=0有两个相等的实数根，写岀一组满足条件的实数a,b的值：
a=,b=・
（2015东城一模）关于X的一元二次方程/+3兀-加=0有两个不相等的实数根，则实数加的取值范围是.
2.（2014中考）.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（〃详0）.
（1）求证：
方程总有两个实数根；
（2）
若方程的两个实数根都是整数，求正整数加的值・
（1）求证：
方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数R的值。
（2015门头沟一模）已知关于兀的一元二次方程,+2x+R-2=0有两个不相等的实数根•
（1）求/c的取值范围；
（2）当R为正整数，且该方程的根都是整数时，求鸟的值.
（2015门头沟一模）已知:
关于x的一元二次方程-2+（加+l）x+（〃汁2）=0（加>0）.
（1）求证：
该方程有两个不相等的实数根；
（2）当抛物线y=-<+（〃计1比+伽+2）经过点（3,0）,求该抛物线的表达式；
3、列方程或方程组解应用题
（2014中考）.小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27.已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.
（2015中考）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用。
到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个，预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍。
预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？
一元二次方程常见的应用题：
—、增长率问题
例1西单商场九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商场从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.
二、商品定价
例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元，需要
进货多少件？
每件商品应定价多少?
三、趣味问例3一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚好进城，你知道竹竿有多长吗？
四、情景对话例4春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图对话中收费标准.
某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多
少员工去天水湾风景区旅游？
五、等积变形例5将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）
（1）设计方案1（如图1）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.
（2）设计方案2（如图2）花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?
若能，请计算出图1中的小路的宽和图2中扇形的半径；若不能
符合条件，请说明理由.
六、探索在在问题
例6将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cn?
那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cn?
吗？
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.
例7如图3,在等腰梯形ABCD中，4B二DC二5,4D二4,BC二10.点E在下底边BC上，点F在腰
AB上.
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x,试用含x的代数式表示ABEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？
若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：
2的两部分？
若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.
【练习】:
一.选择题
1.若关于X的方程x2+X-f/+-=0有两个不相等的实数根，则实数G的取值范围是（）
4
A.qN2B.qW2C.a>2D.a<2
2.—元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为（）
A.（x+4）2=17B.（%+4）2=15C.（x—4）2=17D.（x-4）2=15
3.股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原价
的10%后，便不能再跌，叫做跌停。
已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为兀，则x满足的方程是（）
A.（14-x）2=—B.（14-%）2=—C.14-2%=—D.1+2x=—
109109
A.没有实数根B.只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
5•若关于x的方程『+3x+o二0有一个根为・1,则另一个根为（）.
A.-2B.2C.4D.-3
6.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（）.
A.心-10）=900B.心+10）=900C.10（x+10）=900D.2[x+（x+10）]=900
7•近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元•设这两年的销售额的年平均增长率为x,根据题意可列方程为（）
A.20（1+2兀）=80B.2x20（1+x）=80C.20（1+,）=80D.20（1+x）2=80
8.有两个一元二次方程：
M:
ax2+/?
x+c=0N:
ex2+hx+a=0，其中d+c=0，以下列四个结论中，
错误的是（）
A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；
B、如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；
C、如果5是方程M的一个根，那么丄是方程N的一个根；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=\
9.关于x的一元二次方程kx2+2x-l=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是（）
A.,k>—1B.kh—1C.kH0D.k>—1且RhO
10.关于X的一元二次方程（727-2）x2+2x+1=0有实数根，则加的取值范围是（）
A.m<3B.in<3C.加v3且加H2D.in<3且加H2
二.填空题
1.已知方程x2+mx+3=0的一个根是1,则它的另一个根是，加的值是・
2.已知一元二次方程x2-4x-3=0的两根为m,n,则m2-mn+n2=.
3.若实数a、b满足（4c+4b）（4。
+4/八2）・8=0,则a+b=.
4.已知兀=卫二^.则x2+x+\=
2
5.某公司在2014年的盈利额为万元，预计2016年的盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增
长的百分率相同，那么该公司在2015年的盈利额为万元.
6•如果关于x的一元二次方程＜+4x・加=0没有实数根，那么m的取值范围是.
7.设仆也是一元二次方程x2-5x-1=0的两实数根，则XiW的值为.
&关于x的一元一次方程x2-x+m=0没有实数根，则m的取值范围是.
9.某地楼盘2014年房价为每平方米38100元，经过两年连续降价后，2016年房价为27600元.设该楼盘
这两年房价平均降低率为x,根据题意可列方程为.
10.解一元二次方程x2+2x-3=0时，可转化为两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方
程.
三・解答题
1.已知加是方程/—x—1=0的一个根，求m伽+1尸一〃/伽+3）+4的值.
2.关于天的一元二次方程2?
+3x—/n=0有两个不相等的实数根，求加的取值范围
Y5
3•解方程:
+^^=4o
2x—33x—2
4•利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58必长的篱笆围成一个面积为200/h2的矩形场地.
求矩形的长和宽.
【作业】
1.已知1是关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+l=0的一个根，则m的值是（）
A.1B.-1C.0D.无法确定
2.用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-3=0,配方后的方程可以是（）
A.（x-1）2=4B.（x+1）2=4C.（x-1）2=16D.（x+1）2=16
3.若一元二次方程x1+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（）
A.m<-1B.m<\C.tn<4D.m<—
2
4.如果关于x的一元二次方程?
-6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是.
5.市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
学习以下解答过程，并完成填空.
解：
设应邀请兀支球队参赛，则每对共打场比赛，比赛总场数用代数式表示
为.根据题意，可列出方程.
整理，得.
解这个方程，得.
合乎实际意义的解为•
答：
应邀请支球队参赛.
6.已知关于x的一元二次方程亍—2（m—l）x—m（fn+2）=0.
（1）求证：
此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x=-2是此方程的一个根，求实数加的值.
7.专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
&从北京到某市可乘坐普通列车或高铁・已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是520千米.如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且乘坐高铁比乘坐普通列车少用3小时・求高铁的平均速度是多少千米/时.
9.某超级市场销售一种计算器，每个售价48元•后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%•这种计算器原来每个进价是多少元？
（利润=售价-进价，利润率=1^x100%）
进价
【综合练习】1.在平血直角处标系xOy中，抛物线y=2x2+/nx+/?
经过点A（-1,a）,B（3,d）,
且最低点的纵坐标为・4.
（1）求抛物线的表达式及«的值；
（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D,点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A,B之间的部分为图象G（包含A,B两点）.如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象,求点P纵坐标/的取值范围.
A・
4
3
2
1
1111
1
-4-3-2-10
-1
1
234}
-2
-3
-4
2.在△ABC中，CA=CB,CQ为AB边的中线，点P是线段AC上任意一点（不与点C重合），过点P
作PE交CD于点E,使ZCPE=-ZCAB,过点C作CF丄PE交PE的延长线于点F,交AB于点、2
G
（1）如果ZACB=90°,
1如图1,当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指\W^/\CDG全等的一个三角形；
2如图2,当点P不与点A重合时，求空的值；
PE
（2）如果Zg如图？
，请直接写出篇的值・（用含。
的式子表示）
S1
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