物理学教程第二版上册课后答案7.docx
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物理学教程第二版上册课后答案7
第七章气体动理论
7-1处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相
同，则它们（）
（A）温度，压强均不相同（B）温度相同，但氦气压强大于氮气的压强
（C）温度，压强都相同（D）温度相同，但氦气压强小于氮气的压强
分析与解理想气体分子的平均平动动能Tk=3kT/2,仅与温度有关.因此当氦气和氮气
的平均平动动能相同时，温度也相同.又由物态方程p=nkT,当两者分子数密度n相同
时，它们压强也相同•故选（C）.
7—2三个容器A、B、C中装有同种理想气体，其分子数密度n相同，方均根速率之比
（VAy2:
（VBy$:
（VCy$=i：
2：
4,则其压强之比Pa：
Pb：
PC为（）
（A）1:
2:
4（B）1:
4:
8
（C）1:
4:
16（D）4:
2:
1
分析与解分子的方均根速率为..V=3RT/M,因此对同种理想气体有
JVr:
JVB:
JVC=打：
JT2:
JT；,又由物态方程PkT,当三个容器中分子数密度n相同时，得p1：
p2：
p^T1:
T2:
T3=1:
4:
16.故选（C）.
7—3在一个体积不变的容器中，储有一定量的某种理想气体，温度为To时，气体分子的
平均速率为Vo,分子平均碰撞次数为Zo,平均自由程为I,当气体温度升高为4To时,
气体分子的平均速率V、平均碰撞频率Z和平均自由程—分别为（）
（A）V=4V°,Z=4Z°,λ4λ（B）V=2V°,Z=2Z0,彊=%
（C）V=2√0,Z=2Z0√=4'0（D）V=4v0,Z=2Z0,,=O
分析与解理想气体分子的平均速率V=.8RTZΠM,温度由T0升至4T0,则平均速率变
为2Vo；又平均碰撞频率Z=^2πd2nV,由于容器体积不变，即分子数密度n不变，则平
为（B）•
和（VP）H2分别表示氧气和氢气的最概然速率，则（）
（VP）O2
（A）图中a表示氧气分子的速率分布曲线且-=4
（VP）H2
（VP）O21
（B）图中a表示氧气分子的速率分布曲线且
（VP）H24
（VP）O21
（C）图中b表示氧气分子的速率分布曲线且■
（VP）H24
（VP）O2
（D）图中b表示氧气分子的速率分布曲线且——=4
（VP）H2
最概然速率VP也就不同•因Mh2”：
Mo2,故氧气比氢气的VP要小，由此可判定图中曲线a
53o
7—5有一个体积为1.010m的空气泡由水面下50.0m深的湖底处（温度为4.0C）
升到湖面上来•若湖面的温度为
17.0oC,求气泡到达湖面的体积.（取大气压强为
p0-1.013105Pa）
分析将气泡看成是一定量的理想气体，它位于湖底和上升至湖面代表两个不同的平衡状
态.利用理想气体物态方程即可求解本题.位于湖底时，气泡内的压强可用公式
P=P0+Pgh求出，其中为水的密度（常取P=1.0"03kgm^）.
解设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为（Pl,Vl,Tl）和（P2,V2,T2）.由分析知湖底
处压强为p^p2Pgh=P0∙Pgh,利用理想气体的物态方程
p1V1p2V2
可得空气泡到达湖面的体积为
等距排列）
（1）单位体积分子数
n=kT=2∙44IE
氧气的密度
罟九30kgm3
氧气分子的平均平动动能
匚k=3kT/2=6.2110②J
氧气分子的平均距离
d=31/n=3・4510』m
通过对本题的求解，我们可以对通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、分子间
平均距离等物理量的数量级有所了解.
7-72.0×0-2kg氢气装在4.0×0-3m3的容器内，当容器内的压强为3.90×5Pa时，氢气
分子的平均平动动能为多大？
根速率为多大?
可得方均根速率√v2.
解
（1）由分析可得质子的平均动能为
兀=mV2∕2=3kT∕2=2.0710」5J
（2）质子的方均根速率为
率和热运动平均动能•
平均动能ε=3kT/2=4.110"J
2
7—10在容积为2.0×10-3m3的容器中，有内能为6.75×10J的刚性双原子分子某理想气
体.
（1）求气体的压强；
（2）设分子总数为5.4×022个，求分子的平均平动动能及气体的温度.
分析
（1）一定量理想气体的内能E=也丄RT,对刚性双原子分子而言，i=5.由上述内能
M2
公式和理想气体物态方程PVRT可解出气体的压强.
（2）求得压强后，再依据题给数据可
求得分子数密度，则由公式P=nkT可求气体温度.气体分子的平均平动动能可由
ε=3kT/2求出•
解⑴由ERT和PV=VRT可得气体压强
2
2E=1.35105Pa
iV
（2）分子数密度n=N/V,则该气体的温度
T=p/nk=PVlnk=3.62102K
气体分子的平均平动动能为
_21
ε=3kT/2=7.4910J
7-11当温度为0C时，可将气体分子视为刚性分子，求在此温度下：
（1）氧分子的平
均动能和平均转动动能；
（2）4.010'kg氧气的内能；（3）4.010j3kg氦气的内能.
分析
（1）由题意，氧分子为刚性双原子分子，则其共有5个自由度，其中包括3个平动自
_3
由度和2个转动自由度.根据能量均分定理，平均平动动能TktkT,平均转动动能
2
二=2kT二kT.
（2）对一定量理想气体，其内能为E=m丄RT,它是温度的单值函
2M2
数.其中i为分子自由度，这里氧气i=5、氦气i=3.而m•为气体质量，M为气体摩尔质量，其中氧气M=32103kgmolJ；氦气M=4.010^kgmolJ.代入数据即可求解它们的内能.
解根据分析当气体温度为T=273K时，可得
（1）氧分子的平均平动动能为
3
兀kT=5.710»J
Mt2
氧分子的平均转动动能为
-2②
krkT=3810J
2
（2）氧气的内能为
mi4.^<10^52
ERT38.31273J=7.1102J
M232102
（3）氦气的内能为
mi4.010；33
ERT38.31273J=3.4103J
M24.010」2
7-12已知质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为V=J2gr,其中r为地球半径.
（1）
若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；⑵
说明大气层中为什么氢气比氧气要少•（取r=6.40×06m）
'8RT
分析气体分子热运动的平均速率VTn_,对于摩尔质量M不同的气体分子，为使V等于逃逸速率V，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量M较小的就容易达
到逃逸速率.
解
（1）由题意逃逸速率V=2gr,而分子热运动的平均速率
TπMrg
T=
4R
Mo2=3.210’kgmolj,则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为
Th2-1.18104K,To2=1.89105K
（2）根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大（约为4倍），因此达到逃逸
速率的氢气分子比氧气分子多.按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程•在
地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高•因而，在气体分子产生过程中
就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸.另外，虽然目前的大气层温度
不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在
任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率•从分布曲线也可知道在相同温度
下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子•故大气层中氢气比氧气要少•
1
7-13容积为1m3的容器储有1mol氧气，以V=10mS的速度运动，设容器突然停止,
其中氧气的80%的机械运动动能转化为气体分子热运动动能•试求气体的温度及压强各升高
了多少•
分析容器作匀速直线运动时，容器内分子除了相对容器作杂乱无章的热运动外，还和容器
―I2
一起作定向运动•其定向运动动能（即机械能）为mv.按照题意，当容器突然停止后，80%
2
定向运动动能转为系统的内能.对一定量理想气体内能是温度的单值函数，则有关系式：
Δmv280%RΔT成立，从而可求δt.再利用理想气体物态方程，可求压强
2M2
的增量.
C0^2*U
解由分析知∆E=.mv二—-RΔT,其中m•为容器内氧气质量.又氧气的摩尔质
2M2
量为M=3.210^kgmolJ,解得
ΔT=6.161×2K
当容器体积不变时，由PV=—RT得
M
∆p-ΔT=0.51Pa
MV
7—14有N个质量均为m的同种气体分子，它们的速率分布如图所示.
（1）说明曲线与横坐标
所包围的面积的含义；
（2）由N和v。
求a值；⑶求在速率v°∕2到3v°∕2间隔内的分子数;
题7-14图
分析处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数fV的物理意义.
dN
fV,题中纵坐标NfV=dN∕dv,即处于速率V附近单位速率区间内的分子数.
NdUQ
同时要掌握fV的归一化条件，即Pfvdv=1.在此基础上，根据分布函数并运用数学方
法（如函数求平均值或极值等），即可求解本题.
解
（1）由于分子所允许的速率在0到2Vo的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积
2vq
S=oNfVdv=N
即曲线下面积表示系统分子总数N.
（2）从图中可知，在Q到VQ区间内，NfVi=av/Vo;而在Q到2vo区间，NfV=α.
则利用归一化条件有
2vq
亠Iadv
VQ
（3）速率在Vq/2到3Vq∕2间隔内的分子数为
VQav3vq/2
dvV。
adv=7N∕12
（4）分子速率平方的平均值按定义为
V2=Ov2dN/N=ov2fVdv
故分子的平均平动动能为
—1—21…VQa3」丄.2VQa2」I312
%=一mv=—m[Vdv+[一VdV=一mv0
22ILQNVQVQN一36
7—15一飞机在地面时，机舱中的压力计指示为1.Q11Q5Pa,到高空后压强降为
8.111Q4Pa.设大气的温度均为27.QC侗此时飞机距地面的高度为多少？
（设空气的摩尔
质量为2.89×Qkgmol）
分析当温度不变时，大气压强随高度的变化主要是因为分子数密度的改变而造成.气体分
子在重力场中的分布满足玻耳兹曼分布.利用地球表面附近气压公式
P=PQeXP-mgh/kT,即可求得飞机的高度h.式中PQ是地面的大气压强.
解飞机高度为
n=p/kT=3.21109m-3
2—=7.8108m
.2∏p
从λ的值可见分子几乎不发生碰撞.压强为1.33×0-3Pa时,
n=-^=3.21X:
1017m-3,—；=—=7.8m
kT√2τdp
此时分子的平均自由程变小，碰撞概率变大.但相对显像管的尺寸而言，碰撞仍很少发生
7-17在标准状况下，1Cm3中有多少个氮分子？
氮分子的平均速率为多大？
平均碰撞次
数为多少？
平均自由程为多大？
（已知氮分子的有效直径d=3.7610」°m）
分析标准状况即为压强p=1.013105Pa,温度T=273K.则由理想气体物态方程
p=nkT可求得气体分子数密度n,即单位体积中氮分子的个数.而氮气分子的平均速率、
解由分析可知，氮分子的分子数密度为
n唁=2∙691025M
即1cm3中约有2.691019个.
—3—1
氮气的摩尔质量为M=28×0kgmol,其平均速率为
则平均碰撞次数为
Z=.2πd2v^7.7109s-1
平均自由程为
讨论本题主要是对有关数量级有一个具体概念•在通常情况下，气体分子平均以每秒
几百米的速率运动着，那么气体中进行的一切实际过程如扩散过程、热传导过程等好像都应
在瞬间完成，而实际过程都进行得比较慢，这是因为分子间每秒钟上亿次的碰撞导致分子的
自由程只有几十纳米，因此宏观上任何实际过程的完成都需要一段时间
一87一18在一定的压强下，温度为20C时，氩气和氮气分子的平均自由程分别为9.9×0一m
（2）当温度不变且压强为原值的
一8
和27.5×0m.试求：
（1）氩气和氮气分子的有效直径之比;
半时，氮气分子的平均自由程和平均碰撞频率
压强一定时，平均自由程λ1∕d2.
（2）当温度不变时，平均自由程λ1/p.
解
（1）由分析可知
dAr∕d"2=λ2/λr=1∙67
（2）由分析可知氮气分子的平均自由程在压强降为原值的一半时，有
λ2=2λ2^5∙510m
而此时的分子平均碰撞频率
ZN2
Vn2
RT/πMN2
λ2
2⅛2
—1
代入，可得
将T=293K,MN2=2.810kgmol
ZN-8.561O8S-1
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