哈工大-第二章-机电系统的数学模型-彭高亮9-2.ppt

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主讲人：

彭高亮,机电工程学院,机械类专业技术基础课,2013年9月,课程目录,第6章机电控制系统的设计与校正,第1章绪论,第3章系统的时域分析法,第2章系统的数学模型,第4章系统的频域分析法,第5章稳定性及稳态误差分析,第7章计算机控制系统,第2章系统的数学模型,教学内容,本章学习目标,了解数学模型的基本概念。

能够运用动力学、电学及相关专业知识，列写机电系统的微分方程。

掌握传递函数的概念、特点，能够用分析法求系统的传递函数。

掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。

了解传递函数框图的组成，能够绘制系统传递函数框图，并实现简化，从而求出系统的传递函数。

掌握闭环系统中向前通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。

教学内容,实际控制系统,实际系统的组成框图,建立各组成工作框的数学模型,系统稳定性,系统稳态性,系统动态性,找出改进系统的有效方法,应用,分析研究,系统建模,搞清系统的工作原理,引言,稳,准,快,为什么要建立系统的数学模型？

什么是数学模型？

如何建立数学模型（建模方法）？

2.1控制系统数学模型的概念,研究与分析一个系统，首先要定性地了解系统的工作原理及其特性。

但是，如果想对系统进行控制，或系统在运行过程中出现故障，或者要进一步改善系统的性能，那么，仅仅了解工作原理和特性是完全不够的。

我们还要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构、参数与动态性能之间的关系。

这就需要建立系统的数学模型。

为什么建立系统的数学模型Why？

对系统从定性的认识上升到定量的精确分析与设计的需要。

2.1控制系统数学模型的概念,什么是数学模型What？

系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。

是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在的关系。

对于同一系统，可以建立多种形式的数学模型。

如微分方程、传递函数、时间响应函数、频率特性及状态空间模型等。

2.1控制系统数学模型的概念,数学模型,微分方程,传递函数,频率特性,时域,复数域,频域,时间响应,Bode图,Nyquist图,2.1控制系统数学模型的概念,分析法：

根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式。

实验法：

人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应通过数据整理，拟合出比较接近实际系统的数学表达式。

简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。

任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。

简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。

如何建立数学模型（建模方法）（How）,例如：

牛顿运动定律、欧姆定律、克希荷夫定律；虎克定律；流体力学。

2.1控制系统数学模型的概念,2.2系统的微分方程,一、系统的微分方程概念及分类,微分方程：

在时域中描述系统（或元件）动态特性的数学模型。

利用微分方程可求得其他形式的数学模型，因此是最基本的数学模型。

2.2系统的微分方程,线性系统,系统的数学模型能用线性微分方程描述。

微分方程的系数为常数,微分方程的某一（些）系数随时间的变化。

线性时变系统：

线性定常系统：

线性系统特点：

可以运用叠加原理。

即系统在有多个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。

2.2系统的微分方程,线性系统,叠加原理:

线性是指系统满足叠加原理，即：

可加性：

齐次性：

或：

2.2系统的微分方程,实际的物理系统都不可能是线性系统。

但是，通过近似处理和合理简化，大量的物理系统都可在足够准确的意义下和一定的范围内视为线性系统进行分析。

用非线性微分方程描述的系统称非线性系统，它不能使用叠加原理。

非线性系统,为解决非线性带来的问题通常采用局部线性化,2.2系统的微分方程,a）建立物理模型（包括力学模型、电学模型等），确定系统或元件的输入量和输出量；,b）按照信号的传递顺序，根据各元件或环节所遵循的有关定律建立各元件或环节的微分方程；,c）消去中间变量，得到描述系统输入量和输出量之间关系的微分方程；,d）整理为标准式，将与输出量有关的各项放在方程的左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。

二、系统微分方程的建立步骤,2.2系统的微分方程,2.2系统的微分方程,对线性定常系统，其微分方程的一般形式如下：

任何机械系统的数学模型都可以用牛顿定律来建立。

机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可以用质量、弹性和阻尼三个要素来描述。

惯性和刚度较大的构件可以忽略其弹性，简化为质量块；惯性小，柔度大的构件可以简化为弹簧。

质量弹簧阻尼系统是常见的对机械系统的抽象。

2.2.2机械系统的微分方程,考虑如图所示的质量弹簧系统，滑动表面与质量块之间的摩擦力设为粘性阻尼模型，分析在外力f（t）作用下模型的输出y的变化规律。

这是一个系统吗？

输入是什么？

输出是什么？

如何建立描述输入输出之间关系的数学模型？

质量弹簧阻尼系统,2.2.2机械系统的微分方程,质量弹簧阻尼系统各部分基本物理规律：

质量（块）,由牛顿运动定律：

2.2.2机械系统的微分方程,弹簧,由胡克定律：

2.2.2机械系统的微分方程,粘性阻尼（液压、气压活塞推杆）,阻尼器两部分相对运动速度,2.2.2机械系统的微分方程,以弹簧平衡时系统的位置为初始平衡点，由牛顿第二定律建立力平衡方程：

2.2.2机械系统的微分方程,进行坐标变换：

图为组合机床动力滑台铣平面时的情况，当切削力f（t）变化时，滑台可能产生振动，从而降低被加工工件的表面质量和精度。

试建立切削力f（t）与滑台质量块位移y（t）之间的动力学模型。

实例:

机械平移系统,2.2.2机械系统的微分方程,解：

首先将动力滑台连同铣刀抽象成质量弹簧阻尼系统的力学模型。

根据牛顿第二定律将输出变量项写在等号的左边，将输入变量项写在等号的右边，并将各阶导数项按降幂排列，得,2.2.2机械系统的微分方程,机械转动系统,2.2.2机械系统的微分方程,实例:

机械转动系统,如下图示定轴转动系统，旋转体的转动惯量等效为J，转动轴所受的摩擦设为粘性摩擦，阻尼系数为B，转动轴连接刚度为K，等效模型如图（b）所示。

若驱动力矩为T，则根据转矩平衡方程，有：

2.2.2机械系统的微分方程,考虑图示转动系统，为输入力矩，试列写以为输出变量的微分方程。

实例:

机械转动系统,2.2.2机械系统的微分方程,以角位移隔离两个惯性体，（输出设两个变量分别为，列写力矩平衡方程为：

2.2.2机械系统的微分方程,2.2.2机械系统的微分方程,机械系统中基本物理量的折算,图（a）为丝杠螺母传动机构，（b）为齿轮齿条传动机构，（c）为同步齿形带传动机构，求三种传动方式下，负载m折算到驱动电机轴上的等效转动惯量J,实例:

电机驱动进给装置,按等功原理，工作台等直线运动部件质量m的等效转动惯量为：

L丝杠螺距，即丝杠每转一周工作台移动的直线距离。

2.2.2机械系统的微分方程,2.2.2机械系统的微分方程,2.2.2机械系统的微分方程,解：

对图2-4（b）和（c）所示的情况，设齿轮或皮带轮的分度圆半径为r，负载m可以看作一个质点绕齿轮或带轮转动，则负载折算到电机轴上的等效转动惯量为,齿轮传动装置,假设齿轮传动中无功率损耗，且忽略齿轮转动惯量、啮合间隙与变形，则：

2.2.2机械系统的微分方程,2.2.2机械系统的微分方程,齿轮1：

齿轮2：

利用：

有：

2.2.2机械系统的微分方程,式中：

等效折算到输入端的转动惯量,2.2.2机械系统的微分方程,等效折算到输入端的粘性阻尼系数,2.2.2机械系统的微分方程,即若K1、K2分别为齿轮1和2的扭转刚度系数，则齿轮1一侧的等效刚度KI为：

2.2.2机械系统的微分方程,当折合到主动轴上时，从动轴上的转动惯量和阻尼系数都要除以传动比的平方，负载转矩除以传动比。

因此，减速传动时，相当于电动机带的负载变小了，也可以说电动机带负载的力矩增大了。

反之，当折合到从动轴上时，主动轴上的转动惯量和阻尼系数都要乘以传动比的平方，输入转矩乘以传动比。

结论：

2.2.2机械系统的微分方程,机床进给传动链,2.2.2机械系统的微分方程,m（t）为工作台位移xo（t）折算到I轴上的等效当量转角：

空载时，I轴转矩平衡方程为：

其中，xi（t）为I轴输入转角；,L为丝杠螺距,2.2.2机械系统的微分方程,分别为工作台及各轴折算到I轴上的等效总转动惯量、等效总粘性阻尼系数及等效总刚度系数。

2.2.2机械系统的微分方程,根据上述关系，可求得系统微分方程为：

2.2.2机械系统的微分方程,非线性微分方程的线性化,控制系统中非线性问题普遍存在，理论和分析方法又不成熟，怎么办？

在一定条件下，将非线性问题通过线性问题求解方法来处理，可有效解决！

系统通常都有一个预定工作点，即系统处于某一平衡位置。

对于自动调节系统或随动系统，只要系统的工作状态稍微偏离此平衡位置，整个系统就会立即作出反应，并力图恢复原来的平衡位置。

系统各变量偏离预定工作点的偏差一般很小。

因此，只要作为非线性函数的各变量在预定工作点有导数或偏导数存在，那么就可在预定工作点处将系统的这一非线性函数以其自变量的偏差形式展开成Taylor级数。

若偏差很小，则级数中此偏差的高次项可以忽略，只剩一次项，最后获得系统的线性函数。

非线性微分方程的线性化,泰勒级数展开法,函数y=f（x）在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：

略去含有增量x=x-x0的高次项，则：

或：

y-y0=K（x-x0）=Kx，其中：

上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程;y0=f（x0）称为系统的静态方程.,非线性微分方程的线性化,对多变量系统，如：

y=f（x1,x2），同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。

增量方程：

静态方程：

其中：

非线性微分方程的线性化,滑动线性化切线法,线性化增量增量方程为：

yy=xtg,切线法是泰勒级数法的特例。

非线性微分方程的线性化,实例液压伺服机构,系统分析：

根据液体流经微小缝隙的流量特性，流量q、压力p以及阀口x是非线性关系：

非线性微分方程的线性化,小偏差线性化分析：

1）在工作点（x0,y0）邻域进行小偏差线性化：

2）假定偏差很小，略去偏差的高阶项，并取增量关系：

3）取坐标原点为工作点，略去增量符号：

代入动力学方程：

非线性微分方程的线性化,小偏差线性化要点：

明确系统工作点；本例q,x,p在预定工作点值均为零。

变量偏离工作点位置应足够小；,本质非线性函数不能线性化；,线性化后的方程是以增量为基础的增量方程。

非线性微分方程的线性化,任何电气系统的数学模型都可以用克希霍夫电流和电压定律来建立。

电气系统三个基本元件：

电阻、电容和电感。

电路分析主要对象：

感抗、电压、电流,电气系统建模：

列写各元件的感抗、电压与电流之间关系,2.2.4电气系统的微分方程,电感：

电容：

电容：

电压=电流的积分，电容值的倒数是常系数,电感：

电压=电流的微分，电感值是常系数,电阻：

2.2.4电气系统的微分方程,克希霍夫电流定律：

流进节点的电流之和，等于流出同一节点的电流之和。

克希霍夫电压定律：

在任意瞬间，在电路中任意环路的电压的代数和等于零，或者可以描述为：

沿某一环路的电压降之和，等于沿该环路的电压升高之和。

2.2.4电气系统的微分方程,把代入，并进行整理得：

解：

（1）确定输入输出量,这是一个线性定常二阶微分方程。

（2）列写微分方程,（3）消去中间变量,实例：

建立图所示的LRC电路的数学模型。

2.2.4电气系统的微分方程,实例：

电枢控制直流电动机的微分方程,试列写下图所示电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压为输入量，电动机转速为输出量。

图中、分别是电枢电路的电阻和电感，是折合到电动机轴上的总负载转矩。

激磁磁通为常值。

2.2.5机电系统的微分