等价无穷小替换极限的计算.docx
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等价无穷小替换极限的计算
无穷小极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念；
2、掌握无穷小的性质与比较会用等价无穷小求极限；
3、不同类型的未定式的不同解法。
【教学内容】
1、无穷小与无穷大；
2、无穷小的比较；
3、几个常用的等价无穷小等价无穷小替换；
4、求极限的方法。
【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。
难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。
最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。
【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了n数列xn的极限、x（x、x）函数fx的
极限、x
x0（x
x0、x
x0）函数
f（x）
的极限这七种趋近方式。
下面我们用
x＊表示上述七种的某一种趋近方式，即
＊nxx
xxx0xx0xx0
定义：
当在给定的x＊下，
f（x）
以零为极限，则称
f（x）
是x＊下的无穷小，即
limfx0。
x＊
例如,
lim
sinx0,
函数sin
x是当x
0时的无穷小.
x0
lim10,
xx
函数1是当xx
时的无穷小.
lim（
n
1）n
0,
n
数列{（
1）n
n
}是当n
时的无穷小.
【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都
不是无穷小。
定义：
当在给定的x＊下，
fx无限增大，则称
fx是x＊下的无穷大，即
limfx
x＊
。
显然，n时，
n、n2、n3、
都是无穷大量，
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。
无穷小与无穷大
是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如
limex0，
x
limex，
x
所以ex当x时为无穷小，当x时为无穷大。
2.无穷小与无穷大的关系：
在自变量的同一变化过程中，如果
fx为无穷大，
1
则为无穷小；反之，如果
fx
fx为无穷小，且fx
0，则
1
为无穷大。
fx
小结：
无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，
任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系:
定理1
lim
f（x）=A?
f（x）
A+（x）,其中
（x）
是自变量在同一变化过程
x?
x0
x
xx0（或x）中的无穷小.
证：
（必要性）设
limf（x）=A,令（x）=f（x）-A,则有lim（x）=0,
x?
x0x?
x0
f（x）A（x）.
（充分性）设
f（x）=A+
（x）,其中（x）是当x?
x0时的无穷小，则
lim
f（x）=
lim（A+
（x））
Alim
（x）A.
xx0
xx0
xx0
【意义】
（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题（无穷小）;
（2）给出了函数
f（x）在x0附近的近似表达式
f（x）?
A,误差为
（x）.
3.无穷小的运算性质
定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
例如,n
时,1是无穷小，
n
但n个
1之和为1不是无穷小.n
定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
如：
lim
（1）n10，limxsin10，lim1sinx0
nnx0xxx
推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
221
例如，当x?
0时,x,x,sin
x2
x,x
sin
x
都是无穷小，观察各极限：
lim
0,x2比3x要快得多;
x03x
lim
sinx
1,sinx与x大致相同;
x0x
lim
x2sin1
x
lim
sin1
不存在
.不可比.
x0x2
x0x
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
1.定义:
设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且10.
（1）如果lim
=0,就说是比高阶的无穷小
记作
=o（）;
（2））如果
lim
C（C
0）,就说与
是同阶的无穷小;
特殊地如果
lim
=1,则称与是等价的无穷小，记作~;
（3）（3）
如果lim
k=C（C?
0,k
0）,就说是的k阶的无穷小.
例1证明:
当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.
证：
lim
4xtan3x
4lim（
tanx3
）
4,故当x
0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.
x0x4
x0x
例2当x
0时,求tanx
sinx关于x的阶数.
解lim
tanx
sinx
3
lim（
tanx1
cosx
2）
1
tanx
sinx为x的三阶无穷小.
x0x
x0xx2
2.常用等价无穷小:
当x0时,
x
（1）sinx～x；
（2）arcsinx～x；（3）tanx～x；
（4）
arctanx～x；（5）ln（1
x）～x；（6）e
1～x
（7）1
cosx～x
2
2
（8）（1x）
1～x（9）ax-
1～lna*x
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim
1,lim
0,即
12
o（）,
2
于是有
o（）.
例如sinx
xo（x）,
cosx1x2
o（x）.
3.等价无穷小替换
定理：
设
~,~
且lim
存在,
则lim
lim.
证：
lim
lim（
）lim
lim
lim
lim.
例3
（1）求
lim
tan22x
x2
.；
（2）lime1
x01
cosx
x0cosx1
解:
（1）当x
0时,1
cosx~
1x2,
tan2x~
2x.
故原极限
=lim
（2x）2
=8
2x?
0
1x2
2
x21
（2）原极限=lim2=
x0x2
2
例4求
limtanx
sinx.
x
3
错解:
当x
0sin
0时,
2x
tanx~x,
sinx~
x.
原式
limxx=0
x0（2x）3
13
正解:
当x0时,sin2x
1x3
~2x,
tanx
sinx
tanx（1
cosx）~x,2
故原极限=lim21.
x?
0（2x）316
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷
小替换。
例5
求lim
tan5x
cosx1.
x0sin3x
122
解:
tanx
5xo（x）,
sin3x
3xo（x）,1
cosxx2
o（x）.
原式=
lim
5x+
o（x）+
1x2+
2
o（x2）
5
lim
o（x）x
1o（x2）
x
2x5.
x?
0
3x+
o（x）
x03o（x）3
x
三、极限的简单计算
1.代入法：
直接将x
x0的
x0代入所求极限的函数中去，若
fx0
存在，即为其极
2x53x4
2x12
限，例如
lim3
；若fx0
不存在，我们也能知道属于哪种未定式，
x13x
2x49
便于我们选择不同的方法。
例如，
limx9就代不进去了，但我们看出了这是一个0型
2
x3x30
未定式，我们可以用以下的方法来求解。
2.分解因式，消去零因子法
例如，
x29
lim
limx36。
x3x3x3
3.分子（分母）有理化法
例如，
lim
x253
lim
x253
x253
2x15
x22x1
5x2
2x1
52x1
5x253
x24
lim
x22x4
limx2x2
x22x2
2
21
又如，
limx
x
1xlim
x
0
x21x
4.化无穷大为无穷小法
17
3x2+x-7
3+-23
例如，
lim
x
2x2-
=
x+4
lim
x
xx=
14
，实际上就是分子分母同时除以
2
x2这个
2-+2
xx
无穷大量。
由此不难得出
lim
axm
1
axm1
a0，nm
ab0
m0，nm
1
0
n
xb0x
bxn1
bn，nm
又如，
1x
lim
xx2
11
limx
x2
1
x
1，（分子分母同除x）。
再如，
lim25
n
n
n3n5n
2
n
1
n
lim5
n3
1
5
1，（分子分母同除
5n）。
5.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
例如，
limxarctanx1
0，（无穷小量乘以有界量）。
2
x
又如，求
3xx1
4x1
lim2.
x1x2x3
解：
lim（x2
2x3）
0,商的法则不能用
x1
2
又lim（4x1）30,limx
2x300.
x1x1
4x13
4x1
由无穷小与无穷大的关系,得lim2.
x1x2x3
再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。
6.利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）
7.分段函数、复合函数求极限
例如，设
f（x）
1x,
2
x0
求lim
f（x）.
x1,x0x0
解:
x0是函数的分段点,两个单侧极限为
limf（x）lim（1x）1,limf（x）lim
（x21）1,
x0x0x0x0
左右极限存在且相等,
故lim
f（x）1.
x0
【启发与讨论】思考题1：
当x?
0时,y
1sin1xx
是无界变量吗？
是无穷大吗？
解：
（1）
1
取x0
2k
2
（k0,1,2,3,）
y（x0）2k
当k充分大时
2
y（x0）
M.无界，
（2）
1
取x0
2k
（k0,1,2,3,）
当k充分大时
xk
但y（xk）
2ksin2k
0M.不是无穷大．
结论：
无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
思考题2：
若
f（x）
0，且
lim
x
f（x）
A，问：
能否保证有
A0的结论？
试举例说明.
解：
不能保证.例
f（x）1x0,f（x）10limf（x）lim1A0.
xxxxx
思考题3：
任何两个无穷小量都可以比较吗？
1
sinx
解：
不能．例如当x时
g（x）
f（x）
g（x）
x
都是无穷小量
x
但lim
x
f（x）
lim
x
sinx不存在且不为无穷大，故当x时
f（x）
和g（x）
不能比较.
【课堂练习】求下列函数的极限
ex
（1）lim
cosx
；
x0x
ex
解：
原极限=lim
cosx
ex
lim
11
lim
cosx
1
x0x
x0x
x0x
（2）求
3sinx
lim
x2cos1
x
x0（1
cosx）ln（1x）
0
【分析】“
0
”型，拆项。
3sinx
x2cos1
x2cos1
解：
原极限=lim
x=lim
3sinx
x=3
x02x
x02x
2x2
5x5
（3）lim5
4x4
3x2
；
x2x4x1
【分析】“抓大头法”，用于型
54x
解：
原极限=lim
3
3
x=5
，或原极限
5x55
==
x244
x
152
x
lim
x
2x52
（4）lim（x2x
x
x）；
【分析】分子有理化
解：
原极限=
limx=lim1=1
xx2xxx
11x12
x21
（5）lim
（2）
x2x4x2
【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。
2x13
=lim=
x2x
4x2
x2
x2x4
x2x24
（6）lim
x0x293
0
【分析】“
0
”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因子。
2
解：
原极限=limx
x293
2=6
x0x
（7）求
lim（12
nn2n2
n）.n2
解:
n
时,是无穷小之和．先变形再求极限.
1n（n1）
lim
n
12
（n2n2
n12
2
）lim2
nnn
nlim2
nn2
111
lim
（1）.
n2n2
【内容小结】
一、无穷小（大）的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容:
两个定义;四个定理;三个推论.
2、几点注意:
（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；
（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.
（3）无界变量未必是无穷大.
二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较。
高（低）阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶。
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法,注意适用条件.
三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;
a.多项式与分式函数代入法求极限;
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限.
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