第五单元鸽巢问题教学设计.docx
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第五单元鸽巢问题教学设计
第五单元鸽巢问题教学设计
备课人:
耿启凤
第一课时
一、教学内容:
教材68页和69页例1和例2.
二、教学目标
(一)知识与技能
通过数学活动让学生了解鸽巢原理,学会简单的鸽巢原理分析方法。
(二)过程与方法
结合具体的实际问题,通过实验、观察、分析、归纳等数学活动,让学生通过独立思考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力。
(三)情感态度和价值观
在主动参与数学活动的过程中,让学生切实体会到探索的乐趣,让学生切实体会到数学与生活的紧密结合。
三、教学重难点
教学重点:
理解鸽巢原理,掌握先“平均分”,再调整的方法。
教学难点:
理解“总有”“至少”的意义,理解“至少数=商数+1”。
四、教学准备
多媒体课件。
五、教学过程
(一)游戏引入
出示一副扑克牌。
教师:
今天老师要给大家表演一个“魔术”。
取出大王和小王,还剩下52张牌,下面请5位同学上来,每人随意抽一张,不管怎么抽,至少有2张牌是同花色的。
同学们相信吗?
5位同学上台,抽牌,亮牌,统计。
教师:
这类问题在数学上称为鸽巢问题(板书)。
因为52张扑克牌数量较大,为了方便研究,我们先来研究几个数量较小的同类问题。
(二)探索新知
1.教学例1。
(1)教师:
把3支铅笔放到2个铅笔盒里,有哪些放法?
请同桌二人为一组动手试一试。
教师:
谁来说一说结果?
预设:
一个放3支,另一个不放;一个放2支,另一个放1支。
(教师根据学生回答在黑板上画图表示两种结果)
教师:
“不管怎么放,总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔”,这句话说得对吗?
教师:
这句话里“总有”是什么意思?
预设:
一定有。
教师:
这句话里“至少有2支”是什么意思?
预设:
最少有2支,不少于2支,包括2支及2支以上。
(2)教师:
把4支铅笔放到3个铅笔盒里,有哪些放法?
请4人为一组动手试一试。
教师:
谁来说一说结果?
学生:
可以放(4,0,0);(3,1,0);(2,2,0);(2,1,1)。
(教师根据学生回答在黑板上画图表示四种结果)
引导学生仿照上例得出“不管怎么放,总有一个铅笔盒里至少有2支铅笔”。
假设法(反证法):
教师:
前面我们是通过动手操作得出这一结论的,想一想,能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢?
小组讨论一下。
学生进行组内交流,再汇报,教师进行总结:
如果每个盒子里放1支铅笔,最多放3支,剩下的1支不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2支铅笔。
首先通过平均分,余下1支,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。
这就是平均分的方法。
【设计意图】从另一方面入手,逐步引入假设法来说理,从实际操作上升为理论水平,进一步加深理解。
教师:
把5支铅笔放到4个铅笔盒里呢?
引导学生分析“如果每个盒子里放1支铅笔,最多放4支,剩下的1支不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2支铅笔。
首先通过平均分,余下1支,不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里至少有2支铅笔”。
教师:
把6支铅笔放到5个铅笔盒里呢?
把7支铅笔放到6个铅笔盒里呢?
……你发现了什么?
引导学生得出“只要铅笔数比铅笔盒数多1,总有一个盒子里至少有2支铅笔”。
教师:
上面各个问题,我们都采用了什么方法?
引导学生通过观察比较得出“平均分”的方法。
【设计意图】让学生自己通过观察比较得出“平均分”的方法,将解题经验上升为理论水平,进一步强化方法、理清思路。
(3)教师:
现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果,你能来说一说这个魔术的道理吗?
引导学生分析“如果4人选中了4种不同的花色,剩下的1人不管选那种花色,总会和其他4人里的一人相同。
总有一种花色,至少有2人选”。
(4)练习教材第68页“做一做”第1题(进一步练习“平均分”的方法)。
5只鸽子飞进了3个鸽笼,总有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。
为什么?
2.教学例2。
(1)课件出示例2。
把7本书放进3个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本书。
为什么?
先小组讨论,再汇报。
引导学生得出仿照例1“平均分”的方法得出“如果每个抽屉放2本,剩下1本不管放在哪个抽屉里,都会变成3本,所以总有一个抽屉里至少放进3本书。
”
(2)教师:
如果把8本书放进3个抽屉,会出现怎样的结论呢?
10本呢?
11本呢?
16本呢?
教师根据学生的回答板书:
7÷3=2……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本;
8÷3=2……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进3本;
10÷3=3……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本;
11÷3=3……2 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进4本;
16÷3=5……1 不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进6本。
教师:
观察上述算式和结论,你发现了什么?
引导学生得出“物体数÷抽屉数=商数……余数”“至少数=商数+1”。
(三)巩固练习
1.11只鸽子飞进了4个鸽笼,总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。
为什么?
2.5个人坐4把椅子,总有一把椅子上至少坐2人。
为什么?
(四)课堂小结
教师:
通过这节课的学习,你有哪些新的收获呢?
我们学会了简单的鸽巢问题。
可以用画图的方法来帮助我们分析,也可以用除法的意义来解答。
板书设计:
鸽巢问题
思考方法:
枚举法、分解法、假设法
鸽巢原理
(一):
如果把m个物体任意放进n个抽屉里(m>n,且n是非零自然数),m是n的 一倍多时,那么总有一个抽屉里至少放进了2个物体。
鸽巢原理
(二):
如果把多于kn个的物体任意分别放进n个空抽屉(k是正整数,n是非0的自然数),那么一定有一个抽屉中至少放进了(k+1)个物体。
教学反思:
兴趣是学习最好的老师。
所以在本节课我就设计了“抢凳子”游戏来导入新课,在上课伊始我就说:
“同学们:
在上新课之前,我们来做个“抢凳子”游戏怎么样?
想参与这个游戏的请举手。
叫举手的一男一女两个同学上台,然后问,老师想叫三位同学玩这个游戏,但是现在已有两个,你们说最后一个是叫男生还是女生呢?
”同学们回答后,老师就说:
“不管是男生还是女生,总有二个同学的性别是一样的,你们同意吗?
”并通过三人“抢凳子”游戏得出不管怎样抢“总有一根凳子至少有两个同学”。
相机引入本节课的重点“总有……至少……”。
这样设计使学生在生动、活泼的数学活动中主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造;使学生的数学知识、数学能力、数学思想、数学情感得到充分的发展,从而达到动智与动情的完美结合,全面提高学生的整体素质。
只有学生主动参与到学习活动中,才是有效的教学。
在教学过程中,充分利用学具操作,如把4支笔放入3个杯子学习中,把5支笔放入2个杯子学习中等,都是让学生自己操作,这为学生提供主动参与的机会,让学生想一想、圈一圈,把抽象的数学知识同具体的实物结合起来,化难为易,化抽象为具体,让学生体验和感悟数学。
通过直观例子,借助实际操作,引导学生探究“鸽巢问题”,初步经历“数学证明“的过程,并有意识的培养学生的“模型思想。
为学生营造宽松自由的学习氛围和学习空间,能让学生自己动脑解决一些实际问题,从而更好的理解鸽巢问题。
在教学过程中能够及时地去发现并认可学生思维中闪亮的火花。
不足之处在于教学过程中所设置的问题应具有针对性,应更多的关注学生的思维活动,及时的给予认可和指导,使教学能够面向全体学生。
第二课时
教学内容
《义务教育课程标准实验教科书 数学》(人教版)六年级下册第70、72页。
学情与教材分析
例题3是“抽屉原理”的具体应用,也是运用“抽屉原理”进行逆向思维的一个典型例子。
应该把什么看成抽屉,要分放的东西是什么。
学生在思考这些问题的时候,一开始可能会缺乏思考的方向,很难找到切入点。
而且,题中不同颜色球的个数,很容易给学生造成干扰。
因此教学时,教师要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
并在此基础上,逐步引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”,找出这里的“抽屉”是什么,“抽屉”有几个,再应用前面所学的“抽屉原理”进行反向推理。
教学目标
1. 通过观察、猜测、实验、推理等活动,寻找隐藏在实际问题背后的“抽屉问题”的一般模型。
体会如何对一些简单的实际问题“模型化”,用“抽屉原理”加以解决。
2.在经历将具体问题“数学化”的过程中,发展数学思维能力和解决问题的能力,感受数学的魅力。
同时积累数学活动的经验与方法,在灵活应用中,进一步理解“抽屉原理”。
教学准备
一个盒子、4个红球和4个蓝球为一份,准备这样的教、学具若干份。
教学过程
一、创设情境,猜想验证
1.猜一猜,摸一摸。
(出示一个装了4个红球和4个蓝球的不透明盒子,晃动几下)
师:
同学们,猜一猜老师在盒子里放了什么?
(请一个同学到盒子里摸一摸,并摸出一个给大家看)
师:
老师的盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个,如果这位同学再摸一个,可能是什么颜色的?
师:
如果老师想这位同学摸出的球,一定有2个同色的,最少要摸出几个球?
【设计意图:
利用学生的好奇心理,创设摸物体的活动,激发学生的学习兴趣,为他们投入探究学习的活动做好情感铺垫。
】
2.想一想,摸一摸。
请学生独立思考后,先在小组内交流自己的想法,再动手操作试一试,验证各自的猜想。
在这个过程中,教师要加强巡视,要注意引导学生思考本题与前面所讲的抽屉原理有没有联系,如果有联系,有什么样的联系,应该把什么看成抽屉,要分放的东西是什么。
【学情预设:
学生有的可能会猜测“只摸2个球能保证这2个球同色”;有的由于受到题目中“4个红球和4个蓝球”这个条件的干扰,可能会猜测要摸的球数只要比其中一种颜色的个数多1就可以了,即“至少要摸出5个球才能保证一定有2个是同色的”…对于前一种想法,只要举出一个反例就可以推翻这种猜测,如两个球正好是一红一蓝时,就不能满足条件。
对于后一种想法,学生虽然找错了“抽屉”和“抽屉”的个数,但是教师还是应给予一定的鼓励。
因为这种想法说明学生已自觉地把“摸球问题”与“抽屉问题”联系起来了,这对后面找出摸球的规律以及弄清本题与“抽屉问题”的联系非常有帮助。
】
二、观察比较,分析推理
1.说一说,在比较中初步感知。
请一个小组派代表概括地汇报探究的过程与结果。
其他小组有不同想法可以补充汇报。
汇报时可以借助演示来帮助说明。
如果汇报中出现不同的想法,师生可以共同梳理,比较各种想法,寻找能保证摸出2个同色球的最少次数,达成统一认识。
即:
本题中,要想摸出的球一定有2个同色的,最少要摸出3个球。
【学情预设:
虽然猜测之初,学生中可能会有这样那样的想法,但经过动手操作及同伴交流,学生对于本题“要想摸出的球一定有2个同色的,最少要摸出3个球”这个结论不难达成共识。
】
2.想一想,在反思中学习推理。
师:
同学们,为什么至少摸出3个球就一定能保证摸出的球中有两个是同色的?
请学生先想一想,再和同桌说一说,最后全班交流。
【学情预设:
如果学生在理解时出现比较大的困难,可以引导他们这样思考:
球的颜色一共有两种,如果只取两个球,会出现三种情况:
两个红球、一个红球一个蓝球、两个蓝球。
如果再取一个球,不管是红球还是蓝球,都能保证三个球中一定有两个同色的。
】
三、深入探究,沟通联系
师:
为什么前面有些同学会认为在4个蓝球和4个红球中,要想一定摸出2个同色的球,最少要摸出5个来?
请大家猜一猜,他们是怎样想的?
(如果没人猜出来,可以请先前这样想的同学说一说当时的想法。
)
师:
这种想法实际上是把今天学习的例题3和我们前面学过的“抽屉问题”联系起来了,把4看成了“抽屉数”,也就是把每种颜色球的个数当成了“抽屉数”。
这种想法有没有一点道理?
例题3和“抽屉问题”有联系吗?
请学生先独立思考一会,再在小组内讨论,最后全班交流。
【设计意图:
在实际问题和“抽屉问题”之间架起一座桥梁并不是一件容易的事。
因此,教师应有意识地引导学生朝这个方向思考,慢慢去感悟。
逐步引导学生把具体问题转化为“抽屉问题”,并找出这里的“抽屉”是什么,“抽屉”有几个。
例如,在本题中,“同色”就意味着“同一抽屉”,一共有红、蓝两种颜色的球,就可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”。
】
师:
既然例题3和“抽屉问题”有联系,那么,解决例题3的问题,有没有其它的方法?
能否用前面学过的“抽屉问题”的规律来帮忙解决?
请学生先和同桌讨论,再全班交流。
【设计意图:
应用前面所学的“抽屉原理”进行反向推理。
根据例1中的结论“只要分的物体个数比抽屉数多,就能保证一定有一个抽屉至少有2个球”,就能推断“要保证有一个抽屉至少有2个球,分的物体个数至少要比抽屉数多 1” 。
现在,“抽屉数”就是“颜色数”,结论就变成了:
“要保证摸出两个同色的球,摸出的球的数量至少要比颜色种数多1。
”】
师:
请同学们反过来思考一下,至少摸出5个球,就一定能保证摸出的球中有几个是同色的?
四、对比练习,感悟新知
1.说一说。
把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。
至少取多少个球,可以保证取到两个颜色相同的球?
(完成课本第70页“做一做”第2题。
)
教师可以引导学生应用例题3的结论,直接解决“做一做”第2题的问题。
2.算一算。
向东小学六年级共有370名学生,其中六
(2)班有49名学生。
请问下面两人说的对吗?
为什么?
生1:
“六年级里一定有两人的生日是同一天。
”
生2:
“六
(2)班中至少有5人是同一个月出生的。
”
(完成课本第70页“做一做”第1题。
)
“做一做”第1题是“抽屉原理”的典型例子。
其中“370名学生中一定有两人的生日是同一天”与例1中的“抽屉原理”是一类,“49名学生中一定有5人的出生月份相同”则与例2的类型相同。
教师要引导学生把“生日问题”转化成“抽屉问题”。
因为一年中最多有366天,如果把这366天看作366个抽屉,把370个学生放进366个抽屉,人数大于抽屉数,因此总有一个抽屉里至少有两个人,即他们的生日是同一天。
而一年中有12个月,如果把这12个月看作12个抽屉,把49个学生放进12个抽屉,49÷12=4……1,因此,总有一个抽屉里至少有5(即4+1)个人,也就是他们的生日在同一个月。
五、总结评价
师:
这节课你有哪些收获或感想?
六、布置作业
1.做一做。
把红、黄、蓝三种颜色的小棒各10根混在一起。
如果让你闭上眼睛,每次最少拿出几根才能保证一定有2根同色的小棒?
保证有2对同色的小棒呢?
(完成课本第72页第5题。
)
2.试一试。
给下面每个格子涂上红色或蓝色。
观察每一列,你有什么发现?
如果只涂两列的话,结论有什么变化呢?
(完成课本第72页第6题。
)
七、拓展练习(选做)
1、任意给出5个非0的自然数。
有人说一定能找到3个数,让这3个数的和是3的倍数。
你信不信?
(课本第72页第7题。
)
2、把1~8这8个数任意围成一个圆圈。
在这个圈上,一定有3个相邻的数之和大于13。
你知道其中的奥秘吗?
(课本第72页思考题。
)
教学反思:
本节课的教学中,我努力让学生经历将具体问题“数学化”的过程,帮助学生从现实素材中找出最本质的数学模型,发展学生的数学思维和能力,帮助他们积累数学活动的经验与方法。
需要指出的是,教学中要适当地把握教学要求。
“抽屉原理”本身或许并不复杂,但它的应用广泛且灵活多变,因此,用“抽屉原理”来解决实际问题时,经常会遇到一些困难。
例如,有时要找到实际问题与“抽屉问题”之间的联系并不容易,即使找到了,也很难确定用什么作为“抽屉”,要用几个“抽屉”。
因此,教学时,不必过于追求学生“说理”的严密性,只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了,更要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。