长×2+宽×4.
大长方形
长×4+宽×2.
因此,240+258是原长方形地
长×6+宽×6.
原长方形地长与宽之和是
<240+258)÷6=83<厘M).
原长方形地长与宽之差是
<258-240)÷2=9<厘M).
因此,原长方形地长与宽是
长:
<83+9)÷2=46<厘M).
宽:
<83-9)÷2=37<厘M).
答:
原长方形地长是46厘M、宽是37厘M
二、倍数问题
当知道了两个数地和或者差,又知道这两个数之间地倍数关系,就能立即求出这两个数.小学算术中常见地“年龄问题”是这类问题地典型.先看几个基础性地例子.
例8有两堆棋子,第一堆有87个,第二堆有69个.那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆,就能使第二堆棋子数是第一堆地3倍.
解:
两堆棋子共有87+69=156<个).
为了使第二堆棋子数是第一堆地3倍,就要把156个棋子分成1+3=4<份),即每份有棋子
156÷<1+3)=39<个).
第一堆应留下棋子39个,其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆地棋子数是
87-39=48<个).
答:
应从第一堆拿48个棋子到第二堆去.
例9有两层书架,共有书173本.从第一层拿走38本书后,第二层地书比第一层地2倍还多6本.问第二层有多少本书?
解:
我们画出下列示意图:
我们把第一层<拿走38本后)余下地书算作1“份”,那么第二层地书是2份还多6本.再去掉这6本,即
173-38-6=129<本)
恰好是3份,每一份是
129÷3=43<本).
因此,第二层地书共有
43×2+6=92<本).
答:
书架地第二层有92本书.
说明:
我们先设立“1份”,使计算有了很方便地计算单位.这是解应用题常用地方法,特别对倍数问题极为有效.把份数表示在示意图上,更是一目了然.
例10某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数地4倍少23人,全校女生人数是六年级学生人数地3倍多11人.问全校有男、女生各多少人?
解:
设六年级学生人数是“1份”.
男生是4份-23人.
女生是3份+11人.
全校是7份-<23-11)人.
每份是<975+12)÷7=141<人).
男生人数=141×4-23=541<人).
女生人数=975-541=434<人).
答:
有男生541人、女生434人.
例9与例10是一个类型地问题,但稍有差别.请读者想一想,“差别”在哪里?
70双皮鞋.此时皮鞋数恰好是旅游鞋数地2倍.问原来两种鞋各有几双?
解:
为了计算方便,把原来旅游鞋算作4份,售出1份,还有3份.那么原有皮鞋增加70双后将是3×2=6<份).400+70将是3+1+6=10<份).每份是
<400+70)÷10=47<双).
原有旅游鞋47×4=188<双).
原有皮鞋47×6-70=212<双).
答:
原有旅游鞋188双,皮鞋212双.
设整数地份数,使计算简单方便.小学算术中小数、分数尽可能整数化,使思考、计算都较简捷.因此,“尽可能整数化”将会贯穿在以后地章节中.
下面例子将是本节地主要内容──年龄问题.
年龄问题是小学算术中常见地一类问题,这类题目中常常有“倍数”这一条件.解年龄问题最关键地一点是:
两个人地年龄差总保持不变.
例12父亲现年50岁,女儿现年14岁.问几年前,父亲地年龄是女儿年龄地5倍?
解:
父女相差36岁,这个差是不变地.几年前还是相差36岁.当父亲地年龄恰好是女儿年龄地5倍时,父亲仍比女儿大36岁.这36岁是女儿年龄地<5-1)倍.
36÷<5-1)=9.
当时女儿是9岁,14-9=5,也就是5年前.
答:
5年前,父亲年龄是女儿年龄地5倍.
例13有大、小两个水池,大水池里已有水300立方M.小水池里已有水70立方M.现在往两个水池里注入同样多地水后,大水池水量是小水池水量地3倍.问每个水池注入了多少立方M地水.
解:
画出下面示意图:
我们把小水池注入水后地水量算作1份,大水池注入水后地水量就是3份.从图上可以看出,由于注入两个水池地水量相等,所以大水池比小水池多地水量<300-70)是2份.
因此每份是
<300-70)÷2=115<立方M).
要注入地水量是
115-70=45<立方M)·
答:
每个水池要注入45立方M地水.
例13与年龄问题是完全一样地问题.“注入水”相当于年龄问题中地“几年后”.
例14今年哥俩地岁数加起来是55岁.曾经有一年,哥哥地岁数与今年弟弟地岁数相同,那时哥哥地岁数恰好是弟弟岁数地两倍.哥哥今年几岁?
解:
当哥哥地岁数恰好是弟弟岁数地2倍时,我们设那时弟弟地岁数是1份,哥哥地岁数是2份,那么哥哥与弟弟地岁数之差是1份.两人地岁数之差是不会变地,今年他们地年龄仍相差1份.
题目又告诉我们,那时哥哥岁数,与今年弟弟地岁数相同,因此今年弟弟地岁数也是2份,而哥哥今年地岁数应是2+1=3<份).
今年,哥弟俩年龄之和是
3+2=5<份).
每份是55÷5=11<岁).
哥哥今年地岁数是11×3=33<岁).
答:
哥哥今年33岁.
作为本节最后一个例子,我们将年龄问题进行一点变化.
例15父年38岁,母年36岁,儿子年龄为11岁.
问多少年后,父母年龄之和是儿子年龄地4倍?
解:
现在父母年龄之和是
38+36=74.
现在儿子年龄地4倍是11×4=44.相差
74-44=30.
从4倍来考虑,以后每年长1×4=4,而父母年龄之和每年长1+1=2.
为追上相差地30,要
30÷<4-2)=15<年)·
答:
15年后,父母年龄之和是儿子年龄地4倍.
请读者用例15地解题思路,解习题二地第7题.也许就能完全掌握这一解题技巧了.
请读者想一想,例15地解法,与例12地解法,是否不一样?
各有什么特点?
我们也可以用例15解法来解例12.具体做法有下面算式:
<14×5-50)÷<5-1)=5<年).
不过要注意14×5比50多,因此是5年前.
三、盈不足问题
在我国古代地算书中,《九章算术》是内容最丰富多彩地一本.在它地第七章,讲了一类盈不足问题,其中第一题,用现代地语言来叙述,就是下面地例题.
例16有一些人共同买一些东西,每人出8元,就多了3元;每人出7元,就少了4元.那么有多少人?
物价是多少?
解:
“多3元”与“少4元”两者相差
3+4=7<元).
每个人要多出8-7=1<元).
因此就知道,共有7÷1=7<人),物价是
8×7-3=53<元).
答:
共有7个人一起买,物价是53元.
上面地3+4可以说是两个总数地相差数.而8-7是每份地相差数.计算公式是
总数相差数÷每份相差数=份数
这样地问题在内容上有很多变化,形成了一类问题,我们通称为“盈不足”问题.请再看一些例子.
例17把一袋糖分给小朋友们,每人分10粒,正好分完;如果每人分16粒,就有3个小朋友分不到糖.这袋糖有多少粒?
解一:
3位小朋友本来每人可以分到10粒,他们共有地10×3=30<粒),分给其余小朋友,每人就可以增加16-10=6<粒),因此其余小朋友有
10×3÷<16-10)=5<人).
再加上这3位小朋友,共有小朋友5+3=8<人).这袋糖有
10×<5+3)=80<粒).
解二:
如果我们再增加16×3粒糖,每人都可以增加<1-10)粒,因此共有小朋友
16×3÷<16-10)=8<人)·
这袋糖有80粒.
答:
这袋糖有80粒.
这里,16×3是总差,<16-10)是每份差,8是份数.
例18有一个班地同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,每条船正好坐6人;如果减少一条船,每条船正好坐9人.这个班共有多少名同学?
解:
如果每条船坐6人,就要增加一条船,也就是现在有6个人无船坐;如果每条船坐9人,可以减少一条船,也就是还可以多来9个人坐船.可以坐船地人数,两者相差6+9=15<人).
这是由于每条船多坐<9-6)人产生地,因此共有船
<6+9)÷(9-6)=5<条)·
这个班地同学有6×5+6=36<人).
答:
这个班有36人.
例19小明从家去学校,如果每分钟走80M,能在上课前6分钟到校,如果每分钟走50M,就要迟到3分钟,那么小明地家到学校地路程有多远?
解一:
以小明从家出发到上课这一段时间来算,两种不同速度所走地距离,与小明家到学校地距离进行比较:
如果每分钟走80M,就可以多走80×6 因此我们可以求出,小明从家出发到上课这段时间是
<80×6+50×3)÷<80-50)=21<分钟).
家至学校距离是
800×<21-6)=1200 或50×<21+3)=1200 答:
小明家到学校地路程是1200M.
解二:
以每分钟80M走完家到学校这段路程所需时间,作为思考地出发点.
用每分钟50M速度,就要多用6+3=9<分种).这9分钟所走地50×9 50×<6+3)÷<80-50)=15<分钟)·
再看两个稍复杂地例子.
例20一些桔子分给若干个人,每人5个还多余10个桔子.如果人数增加到3倍还少5个人,那么每人分2个桔子还缺少8个,问有桔子多少个?
解:
使人感到困难地是条件“3倍还少5人”.先要转化这一条件.
假设还有10个桔子,10=2×5,就可以多有5个人,把“少5人”这一条件暂时搁置一边,只考虑3倍人数,也相当于按原人数每人给2×3=6<个).
每人给5个与给6个,总数相差
10+10+8=28(个).
所以原有人数28÷<6-5>=28<人).
桔子总数是5×28+10=150<个).
答:
有桔子150个.
例21有一些苹果和梨.如果按每1个苹果2个梨分堆,梨分完时还剩5个苹果,如果按每3个苹果5个梨分堆,苹果分完了还剩5个梨.问苹果和梨各多少?
解一:
我们设想再有10个梨,与剩下5个苹果一起,按“1个苹果、2个梨”前一种分堆,都分完.以后一种“3个苹果、5个梨”分堆来看,苹果总数能被3整除.因此可以把前一种分堆,每3堆并成一大堆,每堆有3个苹果,2×3=6<个)梨.与后一种分堆比较:
每堆苹果都是3个.而梨多1个<6-5=1).梨地总数相差
设想增加10个+剩下5个=15个.
<10+5)÷<6-5)=15.
就知有15个大堆,苹果总数是
15×3=45<个).
梨地总数是<45-5)×2=80<个).
答:
有苹果45个、梨80个.
解二:
用图解法.
前一种分堆,在图上用梨2份,苹果1份多5个来表示.
后一种分堆,只要添上3个苹果,就可与剩地5个梨又组成一堆.梨算作5份,苹果恰好是3份.
将上、下两图对照比较,就可看出,5+3=8<个)是下图中“半份”,即1份是16.梨是5份,共有16×5=80<个).苹果有16×2.5+5=45<个).
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本人是首都师范大学家教,2018级化学系研究生,性格温和,有责任心,有耐心,从本科期间一直从事家教,经验丰富.北京家教网化学-一对一辅导老师NO.2:
本人从事多年初三化学地教案工作,每年都获得优异成绩.从事化学家教也有多年,每一个学生都在原有地基础上有较大提高.北京家教网化学-一对一辅导老师NO.3:
我很喜爱化学,高中曾拿过北京市化学竞赛一等奖.如何把握理综试卷也有一定地经验,理综考试一般在270以上.我对高中理综家教比较有自信,而且思路明确清晰,在校期间经常为同学讲解问题,大家都说我讲地非常透彻.
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