完整word版初二等腰三角形总复习.docx

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完整word版初二等腰三角形总复习

13.3等腰三角形

13.3.1等腰三角形

1．

（1）已知一个等腰三角形的底为4，腰为7，则该三角形的周长是多少？

（2）已知一个等腰三角形有一条边长度为4，还有一条边长度为7，则该三角形的周长是多少？

（3）已知一个等腰三角形有一条边长度为3，还有一条边长度为7，则该三角形的周长是多少？

2．已知一个等腰三角形的顶角为50°，则它的底角是多少度？

已知一个等腰三角形的底角为50°，则它的顶角是多少度？

已知一个等腰三角形有一个内角为70°，则它的底角是多少度？

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有（）

A、2对B、3对

C、4对D、5对

4．等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的腰的长．

5．如图，△ABC中，AB=AD=DC，

∠BAD=50°，求∠B、∠C的度数．

6．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F．

求证：

EF=ED．

7．△ABC中，∠B=∠C，求证：

AB=AC

8．如图，AD和BC交于点O，AB∥DC，OA=OB，试说明△OCD是等腰三角形.

9如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=3cm，则CD等于（　　）

A．3cmB．4cm

C．1.5cmD．2cm

10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（　　）

A．BD平分∠ABC

B．△BCD的周长等于AB+BC

C．AD=BD=BC

D．点D是线段AC的中点

11．下列说法正确的是（）

A.两腰相等的三角形是等腰三角形

B.等腰三角形的中线、高、角分线三线合一

C.“等边对等角”和“等角对等边”都是等腰三角形的性质

D.等腰三角形的外角中一定有钝角

12．已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证：

AD=CD．

13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，求三角形三个内角的度数．

14．已知：

如图，AB=AC，CE⊥BC，BD⊥BC.过点A的直线DE交BD于D，交CE于E.

求证：

AD=AE.

15．如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠BAC的平分线于点D，求证：

MD=MA．

16．如图，∠AOB是一钢架，且∠AOB＝15°，为了使钢架更加坚固，需要其内部添加一些钢管EF、FG、GH，···，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管根．

17．已知：

BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，AF⊥CD于点F，求证：

∠1=∠2.

18．已知：

平面坐标系内点A坐标为（1,1），点B在坐标轴上.若△OAB为等腰三角形，则点B的位置有多少种可能？

13.3.2等边三角形

1．已知：

如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：

BD=DE．

2．已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=

∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：

CD=

DB．

3．如图，在一场足球比赛中，球员A欲传球给同伴B，对方球员C意图抢断传球，已知球速为16m/s，球员速度为8m/s．当球由A传出的同时，球员C选择与AC垂直的方向出击，恰好在点D处将球成功抢断，则角α=。

（球员反应速度、天气等其他因素均不予考虑）

4．如图，等边三角形ABC内有一点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，垂足分别为E，F，D，且AH⊥BC于H，试用三角形面积公式证明：

PE+PF+PD=AH．

5．如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，求证：

△ABD≌△CAE

6．下列三角形：

①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　）

A．①②③B．①②④

C．①③D．①②③④

7．如图，等边△ABC中，D、E分别为AB、AC上两点，下列结论：

①若AD=AE，则△ADE是等边三角形；

②若DE∥BC，则△ADE是等边三角形，

其中正确的有（　　）

A．①B．②

C．①②D．都不对

8．如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，求证：

△DEF是等边三角形.

9．如图，D为等边三角形ABC内一点，将△BDC绕着点C旋转成△AEC，则△CDE是怎样的三角形？

请说明理由.

10．如图，△ABC为等边三角形，

∠BAD=∠CBE=∠ACF．

（1）求∠EDF的度数；

（2）求证：

△DEF为等边三角形．

11．已知，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，请证明：

AB=2BC.

12．已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点.

（1）若AD=BE=CF．试证明△DEF是等边三角形．

（2）若△DEF是等边三角形，那么AD=BE=CF成立吗？

若成立，请证明；若不成立，请说明原因.

13．如图，等边△ABC与等边△DEC共顶点于C点．求证：

AE=BD．

14．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于E，DB=8，求AC的长．

15．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC=α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．

（1）请证明：

OB=AD．

（2）△AOD能否成为等边三角形？

如能，请求出α的值；如不能，请说明理由．

16．等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则该等腰三角形的面积是.

17．如图，点D、E是等边△ABC的边BC、

AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：

BP=2PQ．

18．如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形．请你证明：

（1）AN=BM；

（2）DE∥AB；

（3）CF平分∠AFB．

13.3等腰三角形

13.3.1等腰三角形

1．18，15或18，17.

2．65°，80°，70°或55°.

3．B.

4．8cm或10cm.

5．65°,32.5°.

6．证明：

∵AD是BC边上的中线，

∴ED⊥BC（等腰三角形三线合一），

又∵BG是∠ABC的平分线，EF⊥AB，

∴EF=ED（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

7．证明：

方法一：

如图，作△ABC中BC边上的高线，垂足为D，

在Rt△ADB和Rt△ADC中，

∵

∴Rt△ADB≌Rt△ADC（AAS）

∴AB=AC．

方法二：

如图，作△ABC中∠BAC的角平分线AD，

在△ADB和△ADC中，

∵

∴△ADB≌△ADC（AAS），

∴AB=AC．

方法三：

将△ABC视为△ABC和△ACB两个三角形，

在△ABC和△ACB中，

∵

∴△ABC≌△ACB（ASA），

∴AB=AC．

8．证明：

∵OA=OB，

∴∠A=∠B，

又∵AB∥DC，

∴∠C=∠B，∠D=∠A，

∴∠C=∠D，

∴△OCD是等腰三角形.

9．A.

10．D.

11．D.

12．如图，连接AC，

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∵∠BAD=∠BCD，

∴∠BAD∠BAC=∠BCD∠BCA，

即∠DAC=∠DCA，

∴AD=CD（等角对等边）.

13．30°，75°，75°或150°，15°，15°

14．如图，过点A作AM⊥EC于点M，过点A作AN⊥BD交DB延长线于点N，

∵AM⊥ECAN⊥BD，

∴∠AMC=∠ANB=90°，

∵∠NBC=∠MCB=90°，∠ABC=∠ACB，

∴∠NBA=∠MCA，

又∵AB=AC，

∴△ABN≌△ACM（AAS），

∴AN=AM，

又∵∠AND=∠AME=90°，∠D=∠E，

∴△ADN≌△AEM（AAS），

∴AD=AE.

15．∵MD⊥BC，且∠B=90°，

∴AB∥MD，

∴∠BAD=∠D，

又∵AD为∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠MAD，

∴∠D=∠MAD，

∴MA=MD.

16．5.

17．如图，分别延长AB、AE交CD延长线于点M、N，

∵∠ABC=∠AED，∠BCD=∠EDC，

∴∠MBC=∠NED，∠BCM=∠EDN（同补角相等），

又∵BC=DE，

∴△BCM≌△EDN（ASA），

∴∠M=∠N，

∴AM=AN，

∴△AMN为等腰三角形，

又∵AF⊥CD，

∴∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.

18．8.

13.3.2等边三角形

1．证明：

∵D是等边三角形ABC的AC边上的中点，

∴BD平分∠ABC（等腰三角形三线合一），

∴∠CBD=

∠ABC=30°，

又∵CE=CD，

∴∠CDE=∠E，

又∵∠BCD=∠CDE+∠E=2∠E，

∴∠E=30°=∠CBD，

∴BD=DE（等角对等边）．

2．证明：

∵∠BAD=

∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DC=DE（垂直平分线上的点到角两边的距离相等），

∴在△ADE和△BDE中，

∵

∴△ADE≌△BDE（ASA），

∴∠B=∠DAE=∠CAD，

∴∠B=30°，

∴DE=

DB，

又∵CD=DE，

∴CD=

DB．

3．30°.

4．证明：

如图，连接PA，PB，PC，

则S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC，

∴S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC=

PE×AB+

PD×BC+

PF×AC，

又∵AB=BC=AC，

∴S△ABC=

（PE+PF+PD）×BC，

又∵S△ABC=

AH×BC，

∴PE+PF+PD=AH．

5．证明：

在△ABD和△CAE中，

∵

∴△ABD≌△CAE（SAS）.

6．D.

7．C.

8．证明：

∵△ABC是等边三角形，且AD=BE=CF，

∴AF=BD=CE，

在△ADF、△BED和△CFE中，

∵

∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），

∴DF=ED=FE，

∴△DEF是等边三角形.

9．△CDE是等边三角形

证明：

∵△AEC由△BDC绕着点C旋转而成，

∴△AEC≌△BDC，

∴CD=CE，

∴△CDE是等腰三角形，

又∵∠BCD=∠ACE，

∴∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD，即∠ACB=∠ECD，

∴∠ECD=60°，

∴△CDE是等边三角形.

10．⑴∵ΔABC是等边三角形,

∴∠ABC=60°,

∵∠BAD=∠CBE,

∴∠EDF=∠BAD+∠ABD=∠CBE+∠ABD=∠ABC=60°.

⑵∵ΔABC是等边三角形,

∴∠ACB=60°,

∵∠CBE=∠ACF,

∴∠FED=∠CBE+∠ECB=∠ACF+∠ECB=60°,

又∵∠EDF=60°,

∴∠FED=∠EDF=∠DFE=60°,

∴ΔDEF是等边三角形.

11．如图，延长BC至点D，使CB=DC，连接AD，

∵∠ACB=∠ACD=90°，CB=DC，

∴△ABC≌△ADC（SAS），

∴∠B=∠D，

∵∠A=30°，

∴∠B=∠D=∠BAD=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴AB=BD=BC+CD=2BC.

12．

（1）∵△ABC为等边三角形 ，

∴∠A=∠B=∠C，AB=AC=BC ，

又∵AD=BE=CF ，

∴CD=AE=BF ，

∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），

∴DE=DF=EF ，

∴△DEF为等边三角形；

（2）∵△ABC、△DEF是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，∠DEF=∠EDF=∠DFE=60°，

又∵∠AED+∠ADE=120°，∠ADE+∠CDF=120°，

∴∠AED=∠CDF，

同理可证∠AED=∠BFE，

∴∠AED=∠CDF=∠BFE，

又∵∠A=∠B=∠C，DE=FD=EF ，

∴△ADE≌△CFD≌△BEF（AAS），

∴AD=CF=BE.

13．∵△ABC、△DEC为等边三角形，

∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠BCD+∠ACD=60°，∠DCE=∠ACE+∠ACD=60°，

∴∠BCD=∠ACE，

∴△AEC≌△BDC（SAS），

∴AE=BD.

14．4.

15．

（1）∵△ABC、△OCD为等边三角形，

∴BC=AC,CD=CO，∠ACB=∠BCO+∠ACO=60°，∠DCO=∠ACD+∠ACO=60°，

∴∠BCO=∠ACD，

∴△ADC≌△BOC（SAS），

∴OB=DA.

（2）不能，设△AOD是等边三角形

由题意得

∵AD=OD=AODC=OC=ODOB=AD

∴AO=OB=OC

∴∠AOB=120º这与已知∠AOB=105º矛盾，所以△AOD不能成为等边三角形.

16．1.

17．证明:

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，

又∵在△ABE和△CAD中，AB=CA，∠BAE=∠C，AE=CD，

∴△ABE≌△CAD（SAS），

∴∠ABE=∠CAD，

又∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=60°，

又∵BQ⊥AD，

∴在Rt△BPQ中，∠QBP=30°，

∴BP=2PQ.

18．

（1）∵△ACM、△CBN是等边三角形，

∴CM=CA，CN=CB，∠MCA=∠NCB=60°，

∴∠MCA+∠MCN=∠NCB+∠MCN，

∴∠MCB=∠ACN，

又∵在△BCM和△NCA中，CB=CN，∠BCM=∠NCA，CM=CA，

∴△BCM≌△NCA（SAS），

∴AN=BM；

（2）∵△ACM、△CBN是等边三角形，

∴CM=CA，∠MCA=∠NCB=60°，

∴∠MCN=60°，

又∵在△ACD和△MEC中，∠CAD=∠CME，AC=MC，∠ACD=∠MCE，

∴△ACD≌△MCE（ASA），

∴CD=EC，

又∵∠MCN=60°，

∴△DCE为等边三角形，

∴∠EDC=60°，

∴∠EDC=∠ACD=60°，

∴DE∥AB；

（3）如图，过点C作CP⊥AF于点P，过点C作CQ⊥BF于点Q，

∵在△CAP和△CMQ中，

∠CAD=∠CME，∠CPA=∠CQM=90°，AC=MC，

∴△CAP≌△CMQ（AAS），

∴CP=CQ，CF为∠AFB的角平分线，

∴CF平分∠AFB.

13.3.2等边三角形

1．已知：

如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE=CD．求证：

BD=DE．

2．已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAD=

∠BAC，过点D作DE⊥AB，DE恰好是∠ADB的平分线，求证：

CD=

DB．

3．如图，在一场足球比赛中，球员A欲传球给同伴B，对方球员C意图抢断传球，已知球速为16m/s，球员速度为8m/s．当球由A传出的同时，球员C选择与AC垂直的方向出击，恰好在点D处将球成功抢断，则角α=。

（球员反应速度、天气等其他因素均不予考虑）

4．如图，等边三角形ABC内有一点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PD⊥BC，垂足分别为E，F，D，且AH⊥BC于H，试用三角形面积公式证明：

PE+PF+PD=AH．

5．如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，求证：

△ABD≌△CAE

6．下列三角形：

①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（　　）

A．①②③B．①②④

C．①③D．①②③④

7．如图，等边△ABC中，D、E分别为AB、AC上两点，下列结论：

①若AD=AE，则△ADE是等边三角形；

②若DE∥BC，则△ADE是等边三角形，

其中正确的有（　　）

A．①B．②

C．①②D．都不对

8．如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，求证：

△DEF是等边三角形.

9．如图，D为等边三角形ABC内一点，将△BDC绕着点C旋转成△AEC，则△CDE是怎样的三角形？

请说明理由.

10．如图，△ABC为等边三角形，

∠BAD=∠CBE=∠ACF．

（1）求∠EDF的度数；

（2）求证：

△DEF为等边三角形．

11．已知，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，请证明：

AB=2BC.

12．已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点.

（1）若AD=BE=CF．试证明△DEF是等边三角形．

（2）若△DEF是等边三角形，那么AD=BE=CF成立吗？

若成立，请证明；若不成立，请说明原因.

13．如图，等边△ABC与等边△DEC共顶点于C点．求证：

AE=BD．

14．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于E，DB=8，求AC的长．

15．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC=α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．

（1）请证明：

OB=AD．

（2）△AOD能否成为等边三角形？

如能，请求出α的值；如不能，请说明理由．

16．等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则该等腰三角形的面积是.

17．如图，点D、E是等边△ABC的边BC、

AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．求证：

BP=2PQ．

18．如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形．请你证明：

（1）AN=BM；

（2）DE∥AB；

（3）CF平分∠AFB．

13.3等腰三角形

13.3.1等腰三角形

1．18，15或18，17.

2．65°，80°，70°或55°.

3．B.

4．8cm或10cm.

5．65°,32.5°.

6．证明：

∵AD是BC边上的中线，

∴ED⊥BC（等腰三角形三线合一），

又∵BG是∠ABC的平分线，EF⊥AB，

∴EF=ED（角平分线上的点到角两边的距离相等）．

7．证明：

方法一：

如图，作△ABC中BC边上的高线，垂足为D，

在Rt△ADB和Rt△ADC中，

∵

∴Rt△ADB≌Rt△ADC（AAS）

∴AB=AC．

方法二：

如图，作△ABC中∠BAC的角平分线AD，

在△ADB和△ADC中，

∵

∴△ADB≌△ADC（AAS），

∴AB=AC．

方法三：

将△ABC视为△ABC和△ACB两个三角形，

在△ABC和△ACB中，

∵

∴△ABC≌△ACB（ASA），

∴AB=AC．

8．证明：

∵OA=OB，

∴∠A=∠B，

又∵AB∥DC，

∴∠C=∠B，∠D=∠A，

∴∠C=∠D，

∴△OCD是等腰三角形.

9．A.

10．D.

11．D.

12．如图，连接AC，

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∵∠BAD=∠BCD，

∴∠BAD∠BAC=∠BCD∠BCA，

即∠DAC=∠DCA，

∴AD=CD（等角对等边）.

13．30°，75°，75°或150°，15°，15°

14．如图，过点A作AM⊥EC于点M，过点A作AN⊥BD交DB延长线于点N，

∵AM⊥ECAN⊥BD，

∴∠AMC=∠ANB=90°，

∵∠NBC=∠MCB=90°，∠ABC=∠ACB，

∴∠NBA=∠MCA，

又∵AB=AC，

∴△ABN≌△ACM（AAS），

∴AN=AM，

又∵∠AND=∠AME=90°，∠D=∠E，

∴△ADN≌△AEM（AAS），

∴AD=AE.

15．∵MD⊥BC，且∠B=90°，

∴AB∥MD，

∴∠BAD=∠D，

又∵AD为∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠MAD，

∴∠D=∠MAD，

∴MA=MD.

16．5.

17．如图，分别延长AB、AE交CD延长线于点M、N，

∵∠ABC=∠AED，∠BCD=∠EDC，

∴∠MBC=∠NED，∠BCM=∠EDN（同补角相等），

又∵BC=DE，

∴△BCM≌△EDN（ASA），

∴∠M=∠N，

∴AM=AN，

∴△AMN为等腰三角形，

又∵AF⊥CD，

∴∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.

18．8.

13.3.2等边三角形

1．证明：

∵D是等边三角形ABC的AC边上的中点，

∴BD平分∠ABC（等腰三角形三线合一），

∴∠CBD=

∠ABC=30°，

又∵CE=CD，

∴∠CDE=∠E，

又∵∠BCD=∠CDE+∠E=2∠E，

∴∠E=30°=∠CBD，

∴BD=DE（等角对等边）．

2．证明：

∵∠BAD=

∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，

∴DC=DE（垂直平分线上的点到角两边的距离相等），

∴在△ADE和△BDE中，

∵

∴△ADE≌△BDE（ASA），

∴∠B=∠DAE=∠CAD，

∴∠B=30°，

∴DE=

DB，

又∵CD=DE，

∴CD=

DB．

3．30°.

4．证明：

如图，连接PA，PB，PC，

则S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC，

∴S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC=

PE×AB+

PD×BC+

PF×AC，

又∵AB=BC=AC，

∴S△ABC=

（PE+PF+PD）×BC，

又∵S△ABC=

AH×BC，

∴PE+PF+PD=AH．

5．证明：

在△ABD和△CAE中，

∵

∴△ABD≌△CAE（SAS）.

6．D.

7．C.

8．证明：

∵△ABC是等边三角形，且AD=BE=CF，

∴AF=BD=CE，

在△ADF、△BED和△CFE中，

∵

∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），

∴DF=ED=FE，

∴△DEF是等边三角形.

9．△CDE是等边三角形

证明：

∵△AEC由△BDC绕着点C旋转而成，

∴△AEC≌△BDC，

∴CD=CE，

∴△CDE是等腰三角形，

又∵∠BCD=∠ACE，

∴∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD，即∠ACB=∠ECD，

∴∠ECD=60°，

∴△CDE是等边三角形.

10．⑴∵ΔABC是等边三角形,

∴∠ABC=60°,

∵∠BAD=∠CBE,

∴∠EDF=∠BAD+∠ABD=∠CBE+∠ABD=∠ABC=60°.