矩形的判定练习题.docx

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矩形的判定练习题

18.2.1.2矩形的判定练习题（总10页）

矩形的判定

【基础诊断】

1．如图18－2－16，在平行四边形ABCD中，请添加一个条件：

________（不再添加其他字母和辅助线），使得平行四边形ABCD成为矩形．

图18－2－16

2．②如图18－2－17，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求（即门框是不是矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了．

图18－2－17

（1）当AC________（填“等于”或“不等于”）BD时，门框符合要求；

（2）这种做法的根据是________________________．

3．已知：

如图18－2－18，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠1＝∠2.求证：

平行四边形ABCD是矩形．

图18－2－18

命题点1　有一个角是直角的平行四边形是矩形

4．如图18－2－19，在△ABC中，AC＝BC，CD平分∠ACB交AB于点D，CE∥AB，且CE＝

AB.求证：

四边形CDBE是矩形．

图18－2－19

命题点2　有三个角是直角的四边形是矩形　

5．如图18－2－20，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：

四边形ABCD是矩形．

图18－2－20

6．已知：

如图18－2－21所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，猜想四边形ADCE的形状，并给予证明．

图18－2－21

命题点3　对角线相等的平行四边形是矩形　

7．如图18－2－22，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么可以添加的条件是（　　）

图18－2－22

A．AB＝CDB．AD＝BC

C．AB＝BCD．AC＝BD

8．如图8－2－23，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件：

________，使四边形ABCD为矩形．

图18－2－23

9．如图18－2－24，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：

四边形ABFC是矩形．

图18－2－24

10．如图18－2－25，平行四边形ABCD中，延长边AB到点E，使BE＝AB，连接DE，BD和EC，设DE交BC于点O，∠BOD＝2∠A.求证：

四边形BECD是矩形．

图18－2－25

命题点4　矩形的性质与判定　

11．如图18－2－26，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值为（　　）

图18－2－26

12．矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝5cm，P，Q分别为AD，BC上的动点，点P从点D出发向点A运动，运动到点A时停止，点Q同时从点B出发向点C运动，运动到点C时停止，点P，Q的速度都是1cm/s，设点P，Q运动的时间为ts.

（1）如图18－2－27①，连接PQ，AQ，CP，当t＝________时，四边形ABQP是矩形；

⑧

（2）如图18－2－27②，当点P，Q运动1s时，连接AQ，CP，BP，DQ，AQ交BP于点H，CP交DQ于点F，得到四边形HPFQ.求证：

四边形HPFQ是矩形．

图18－2－27

13．如图18－2－28，以△ABC（∠BAC≠60°）的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，请回答下列问题：

（1）四边形ADEF是什么特殊形状的四边形

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形

（3）为什么题中有条件∠BAC≠60°

图18－2－28

答案

1．答案不唯一，如∠A＝90°

2．

（1）等于　

（2）对角线相等的平行四边形是矩形

3．证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD.

∵∠1＝∠2，

∴OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，即AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．

4．证明：

∵AC＝BC，CD平分∠ACB交AB于点D，

∴CD⊥AB，AD＝BD＝

AB，∴∠CDB＝90°.

∵CE＝

AB，∴CE＝BD.

∵CE∥AB，∴CE∥BD，

∴四边形CDBE是平行四边形．

又∵∠CDB＝90°，

∴四边形CDBE是矩形．

5．证明：

∵四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°.

又∵△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，满足132＝52＋122，

∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，

∴四边形ABCD是矩形．

6．解：

四边形ADCE是矩形．

证明：

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC，即∠BAD＝∠CAD.

∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，

∴∠MAN＝∠CAN，

∴∠DAN＝

∠BAC＋

∠CAM＝90°.

又∵CE⊥AN，AD⊥BC，∴∠ADC＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．

7．D　[解析]因为四边形ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD是平行四边形，所以只需添加对角线相等即AC＝BD，即可得四边形ABCD是矩形．

8．答案不唯一，如AD＝BC等　[解析]四边形ABCD的对角线AC＝BD，所以只需添加条件使四边形ABCD是平行四边形即可．因为AD∥BC，所以可以添加AD＝BC，即一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

9．证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD＝BC，

∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE.

∵E为BC的中点，

∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE，∴AB＝CF.

∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形．

∵AF＝AD，∴BC＝AF，

∴四边形ABFC是矩形．

10．证明：

在平行四边形ABCD中，∠A＝∠BCD，

AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD.

又∵AB＝BE，∴BE＝CD，∴四边形BECD为平行四边形，∴OD＝OE，OC＝OB.

∵∠BOD＝2∠A，∠A＝∠BCD，∠BOD＝∠OCD＋∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，

∴OC＝OD，

∴OC＋OB＝OD＋OE，即BC＝ED，

∴四边形BECD是矩形．

11．D　[解析]连接AP.∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2＋AC2＝BC2，

∴∠BAC＝90°.又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP.

∵M是EF的中点，∴AM＝

EF＝

AP.

∵AP的最小值为直角三角形ABC斜边上的高，等于

，

∴AM的最小值是

.

12．解：

（1）

[解析]∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝5cm，AD∥BC，∠B＝90°.当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，即5－t＝t，解得t＝

.

（2）证明：

在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC.∵当t＝1时，PD＝BQ＝1cm，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴BP∥DQ.∵AD＝BC，AD∥BC，DP＝BQ，∴AP＝CQ，AP∥CQ，∴四边形APCQ是平行四边形，∴AQ∥CP，∴四边形HPFQ是平行四边形．∵在矩形ABCD中，

∠ADC＝∠ABQ＝90°，AD＝BC＝5cm，AB＝CD＝2cm，由勾股定理得：

CP＝

cm，BP＝2

cm，∴BP2＋CP2＝BC2，∴∠BPC＝90°，

∴四边形HPFQ是矩形．

13．解：

（1）四边形ADEF是平行四边形．

理由：

∵△ABD，△EBC都是等边三角形，

∴AD＝BD＝BA，BC＝BE＝EC，

∠DBA＝∠EBC＝60°，∴∠DBE＋∠EBA＝∠ABC＋∠EBA，∴∠DBE＝∠ABC.

在△DBE和△ABC中，∵BD＝BA，∠DBE＝∠ABC，BE＝BC，∴△DBE≌△ABC，

∴DE＝AC.

又∵△ACF是等边三角形，

∴AC＝AF，∴DE＝AF.

同理可证：

AD＝EF，

∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是矩形，∴∠DAF＝90°，

∴∠BAC＝360°－∠DAF－∠DAB－∠FAC＝360°－90°－60°－60°＝150°，

∴当∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形．

（3）当∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．

理由如下：

若∠BAC＝60°，则∠DAF＝360°－∠BAC－∠DAB－∠FAC＝360°－60°－60°－60°＝180°.

此时，A，D，E，F四点共线，∴此时以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．