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离散数学
离散数学复习题二
一、简要回答下列问题：
1．请给出P，PQ，PQ的真值表。
2．请给出公式蕴涵的定义。
举一个例子。
3.请给出命题"xG（x）的真值规定。
4.什么是谓词逻辑公式的解释？
5.叙述谓词逻辑公式G与它的Skolem范式之间的区别与联系。
6.什么是图的关联矩阵？
7.什么是简单路？
举一例。
8.什么是有向树？
举一例
9.设G为整数加群，H为5的所有倍数组成的加法群，给出H的所有陪集。
10．设Z7={0，1，2，3，4，5，6}，为其上的模7加运算，请给出每个元素的周期。
11．什么是交换环？
请举一例
二、判断下列公式是恒真？
恒假？
可满足？
a）（P（QR））（P（QR））；
b）P（P（QP））；
c）（QP）（PQ）；
d）（PQ）（PQ）。
二、R，S是集合A上的两个关系。
试证明下列等式：
（1）（R•S）-1=S-1•R-1
（2）（R-1）-1=R
（20分）给P和Q指派真值1，给R和S指派真值0，求出下面命题的真值：
a）（P（QR））（（PQ）（RS））
b）（（PQ）R）（（（PQ）R）S）
c）（（PQ）R）（（QP）（RS））
d）（P（Q（RP）））（QS）
四、（18分）设下面所有谓词的定义域都是{a，b，c}。
试将下面谓词公式中的量词消除，写成与之等价的命题公式。
（1）xR（x）xS（x）
（2）x（P（x）Q（x））
（3）xP（x）xP（x）
五、证明：
连通图中任意两条最长的简单路必有公共点。
六、设S={G1，…，Gn}是命题公式集合。
试求出在不增加新原子的情况下从S出发演绎出的所有命题公式。
提示：
考虑G1…Gn的主合取范式。
离散数学复习题二答案
一、简要回答下列问题：
1．请给出P，PQ，PQ的真值表。
PQPPQPQ
01101
10001
11011
00100
2．请给出公式蕴涵的定义。
举一个例子。
答：
设G，H是两个公式，如果解释I满足G，I也满足S，称G蕴涵H。
例如：
PQ蕴涵P。
3．请给出命题xG（x）的真值规定。
答：
"xG（x）取1值Û对任意xÎD，G（x）都取1值；
"xG（x）取0值Û有一个x0ÎD，使G（x0）取0值。
4．什么是谓词逻辑公式的解释？
答：
词逻辑中公式G的一个解释I，是由非空区域D和对G中常量符号，函数符号，谓词符号以下列规则进行的一组指定组成：
1.对每个常量符号，指定D中一个元素；
2.对每个n元函数符号，指定一个函数，即指定Dn到D的一个映射；
3.对每个n元谓词符号，指定一个谓词，即指定Dn到{0，1}的一个映射。
5叙述谓词逻辑公式G与它的Skolem范式之间的区别与联系。
答：
区别：
二者之间不一定等价；联系：
二者之间恒假性是等价的。
6．什么是图的关联矩阵？
答：
设G＝（P，L）是有限图，集合P的元数为m，集合L的元数为n，不妨设P（G）＝{v1，…，vm}，L（G）＝{l1，…，ln}。
矩阵M（G）＝[aij]称为G的关联矩阵，其中
0，当vi不是lj的端点；
aij=
1，当vi是lj的端点。
显然，M（G）是m×n阶矩阵。
7．什么是简单路？
举一例。
答：
设G＝（P，L）是图，（v0,v1,…,vn）是G中从v0到vn的路，称此路为简单路，如果
1）v0,…,vn－1互不相同；
2）v1,…,vn互不相同。
8．什么是有向树？
举一例。
答：
有向图G称为有向树（或有根树），如果G中有一点r，并且满足：
1）G中每一点v（v¹r）都恰是一条弧e的起点。
2）r不是任一条弧的起点。
3）r是根。
9．设G为整数加群，H为5的所有倍数组成的加法群，给出H的所有陪集。
答：
5G+1；5G+2；5G+3；5G+4；5G
10.设Z7={0，1，2，3，4，5，6}，为其上的模7加运算，请给出每个元素的周期。
答：
0的周期是1，其他元素周期是7.
11．什么是交换环？
请举一例。
答：
乘法满足交换律的环是交换环，如整数环。
二、判断下列公式是恒真？
恒假？
可满足？
a）（P（QR））（P（QR））；
b）P（P（QP））；
c）（QP）（PQ）；
d）（PQ）（PQ）。
解：
（1）设G=（P®（QÙR））Ù（ØP®（ØQÙØR））
=（ØPÚ（QÙR））Ù（PÚ（ØQÙØR））
=（（（ØPÚ（QÙR））ÙP）Ú（（ØPÚ（QÙR））ÙØQÙØR）
=（（ØPÙP）Ú（PÙQÙR））Ú（（ØPÚ（QÙR））ÙØQÙØR）
=（（ØPÙP）Ú（PÙQÙR））Ú（（ØPÚQ）Ù（ØPÚR）ÙØQÙØR）
=（（ØPÙP）Ú（PÙQÙR））Ú（（（ØPÚQ）ÙØQ）Ù（（ØPÚR）Ù
ØR））
=（PÙQÙR）Ú（ØPÙØQÙØR），其真值表如下：
P
Q
R
G
P
Q
R
G
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
因此G是可满足的。
（2）设G=P®（PÙ（Q®P））
=ØPÚ（PÙ（ØQÚP））
=ØPÚP
=T
其真值表如下：
P
Q
G
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
因此G是恒真的。
G=（Q®P）Ù（ØPÙQ）
=（ØQÚP）Ù（ØPÙQ）
=Ø（ØPÙQ）Ù（ØPÙQ）
=F
其真值表如下：
P
Q
G
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
因此G是恒假的。
G=（ØPÚØQ）®（P«ØQ）
=（PÙQ）Ú（（P®ØQ）Ù（ØQ®P））
=（PÙQ）Ú（（ØPÚØQ）Ù（QÚP））
=（PÙQ）Ú（ØPÙQ）Ú（PÙØQ）
其真值表如下：
P
Q
G
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
因此G是可满足的。
三、给P和Q指派真值1，给R和S指派真值0，求出下面命题的真值：
a）（P（QR））（（PQ）（RS））
b）（（PQ）R）（（（PQ）R）S）
c）（（PQ）R）（（QP）（RS））
d）（P（Q（RP）））（QS）
解：
a）令G=（P（QR））（（PQ）（RS））
则：
TI（G）=（1（10））（（11）（00））
=00=1
b）令G=（（PQ）R）（（（PQ）R）S）
则：
TI（G）=（（11）0）（（（11）0）0）
=10=1
c）令G=（（PQ）R）（（QP）（RS））
=（（PQ）R）（（（QP）（PQ））（RS））
=（PQR）（（QP）（PQ）（RS））
则：
TI（G）=（110）（（11）（11）（00））=11=1
d）令G=（P（Q（RP）））（QS）
=（P（Q（RP）））（QS）
=（P（Q（RP）））（QS）
=（（P（Q（RP）））（QS））（（QS）（P（Q（RP））））
=（P（Q（RP）））（QS））（（QS）（P（Q（RP））））
TI（G）=（1（1（01）））（10））（（10）
（1（1（01））））
=11=1
四、设下面所有谓词的定义域都是{a，b，c}。
试将下面谓词公式中的量词消除，写成与之等价的命题公式。
（1）xR（x）xS（x）
（2）x（P（x）Q（x））
（3）xP（x）xP（x）
解：
（1）xR（x）xS（x）等价的命题公式为：
R（a）R（b）R（c）（S（a）S（b）S（c））
（2）x（P（x）Q（x））等价的命题公式为：
（P（a）Q（a））（P（b）Q（b））（P（c）Q（c））
（3）xP（x）xP（x）等价的命题公式为：
（P（a）P（b）P（b））（P（a）P（b）P（b））
五、证明：
连通图中任意两条最长的简单路必有公共点。
证明：
设有限图G=（P，L）是连通的，且有两条最长的简单路：
l1：
（v1,v2,……vn）
l2：
（v1’,v2’,……vm’）
假设l1和l2无公共点，取l1中一点v1，l2中一点v1’，则由于G连通知必然有一条简单路l3:
（x1,x2,……,xk），其中x1=v1，xk=v1’。
设xj是l3中从左往右看第一个l2中的点vh’，得一简单路l4：
（x1,x2,……,xj），设xi是l4中从右往左看第一个l1中的点vg，则又得到一个简单路l5：
（xi,xi+1,……,xj），|l5|1，且l5中除了xi和xj外，没有l1，l2中的点，不妨设|（v1,v2,……xi）||（xi,vg+1,……vn）|,|（v1’,v2’,……xj）||（xj,vh+1’,……vm’）|,则可以取到简单路l6：
（v1,v2,……xi,xi+1,……,xj,vh-1’,……v1’）,因为|l5|1，所以|l6|>min{|l1|,|l2|},这样我们就可以得到一条更长的路，矛盾。
因此，命题得证。
六、提示：
考虑G1…Gn的主合取范式。
解：
任设一公式G’为从S出发演绎出来的公式。
则可知G’
为G=G1…Gn的一个逻辑结果。
而G有唯一一个与其等价的主合取范式，设为G’’。
可设G’’共有m个极大项，则可以知道令G’’取1的解释使这m个极大项也取1。
则从S出发的演绎出来的的所有命题公式正是从这m个极大项中任取n（0≤n≤m）个合取组成，共有2m个，其中包括恒真公式这里用1表示。
设H为由若干极大项构成的合取公式。
现在证明：
1）S=>H，即G=>H。
从定义出发，设有一解释I使G=G1…Gn取1值，必使G的主合取范式也取1值。
即使每一个极大项都取1值。
从而使由若干极大项合取组成的公式H也取1值，则有S=>H。
2）任意设公式H是S的一个逻辑结果，H是一些极大项的合取。
现在要证组成H的极大项都在G的主合取范式G”中。
反证法：
若不然，假设H中有一个极大项mk不在G的主合取范式中。
则取使mk为0的解释I，可有解释I使H取0值。
而I使所有不等于mk的极大项都为1，则可有G的主合取范式G’’在I下取1值，即G在I下取1值，这与G=>H矛盾。
离散数学复习题三
一、简要回答下列问题：
1．Skolem范式中的母式有什么特点
2．设A={1，2，3}，请给出A上的相等关系和全域关系。
3．设A={1，2，3，4}，R=IAÈ{（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2）}，请给出在等价关系R下的所有等价类。
4．请给出P®Q，P«Q的真值表。
5．什么是谓词逻辑公式的解释？
6．给出有向树的定义，请举一例
7．设R*为非零实数乘法群，请给出R*的单位元及每个元素的逆元。
8．设G是3次对称群，H是{I，（12）}做成的子群，求H的三个右陪集。
9．设R={0，1，2，3，4，5}是模6环，请给出R中两个不同的零因子
10．什么是半序格？
请举一例。
二、R，S是集合A上的两个关系。
试证明下列等式：
（1）（R•S）-1=S-1•R-1
（2）（R-1）-1=R
三、给P和Q指派真值1，给R和S指派真值0，求出下面命题的真值：
a）（P（QR））（（PQ）（RS））
b）（（PQ）R）（（（PQ）R）S）
c）（（PQ）R）（（QP）（RS））
d）（P（Q（RP）））（QS）
四、设下面所有谓词的定义域都是{a，b，c}。
试将下面谓词公式中的量词消除，写成与之等价的命题公式。
（1）xR（x）xS（x）
（2）x（P（x）Q（x））
（3）xP（x）xP（x）
五、若G=（P，L）是有限图，设P（G），L（G）的元数分别为m，n。
证明：
n
，其中
表示m中取2的组合数。
六、试证明n个元素的所有置换作成一个群（通常叫做n次对称群）。
证明n个元素的所有偶置换作成群（叫做n次交代群）。
写出四次交代群中的元素。
n次交代群的元数为何？
离散数学复习题三答案
一、简要回答下列问题：
1．Skolem范式中的母式有什么特点？
答：
母式是合取范式。
2．设A={1，2，3}，请给出A上的相等关系和全域关系。
答：
IA={（1,1）,（2,2）,（3,3）};EA={（1,1）,（1,2）,（1,2）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（3,3）}
3．设A={1，2，3，4}，R=IAÈ{（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2）}，请给出在等价关系R下的所有等价类。
答：
M1={1,2,3};
M2={4}
4．请给出P®Q，P«Q的真值表。
答：
PQP®Q，P«Q
0011
0110
1000
1111
5．什么是谓词逻辑公式的解释？
答：
见书60页
6．给出有向树的定义，请举一例。
答：
见书101页
7．设R*为非零实数乘法群，请给出R*的单位元及每个元素的逆元。
答：
单位元为1；a的逆元为1/a.
8．设G是3次对称群，H是{I，（12）}做成的子群，求H的三个右陪集。
答：
{I，（12）}；{（123），（13）}；{（132）；（23）}
9．设R={0，1，2，3，4，5}是模6环，请给出R中两个不同的零因子。
答：
2,3.
10．什么是半序格？
请举一例。
答：
见书283页。
二、R，S是集合A上的两个关系。
试证明下列等式：
（1）（R•S）-1=S-1•R-1
（2）（R-1）-1=R
证明：
（1）先证（R•S）-1S-1•R-1，对任意（x，y）（R•S）-1，则（y，x）（R•S），则存在aA，满足（y，a）R且（a，x）S，那么（x，a）S-1且（a，y）R-1，所以（x，y）S-1•R-1，因此（R•S）-1S-1•R-1；再证S-1•R-1（R•S）-1，对任意（x，y）S-1•R-1，则存在aA，满足（x，a）S-1且（a，y）R-1，所以（y，a）R且（a，x）S，所以（y，x）（R•S），所以（x，y）（R•S）-1，因此S-1•R-1（R•S）-1。
（2）先证（R-1）-1R，对任意（x，y）（R-1）-1，则（y，x）R-1，则（x，y）R，所以（R-1）-1R；再证R（R-1）-1，对任意（x，y）R，则（y，x）R-1，则（x，y）（R-1）-1，所以R（R-1）-1。
故（R-1）-1=R得证。
三、给P和Q指派真值1，给R和S指派真值0，求出下面命题的真值：
a）（P（QR））（（PQ）（RS））
b）（（PQ）R）（（（PQ）R）S）
c）（（PQ）R）（（QP）（RS））
d）（P（Q（RP）））（QS）
解：
a）令G=（P（QR））（（PQ）（RS））
则：
TI（G）=（1（10））（（11）（00））
=00=1
b）令G=（（PQ）R）（（（PQ）R）S）
则：
TI（G）=（（11）0）（（（11）0）0）
=10=1
c）令G=（（PQ）R）（（QP）（RS））
=（（PQ）R）（（（QP）（PQ））（RS））
=（PQR）（（QP）（PQ）（RS））
则：
TI（G）=（110）（（11）（11）（00））=11=1
d）令G=（P（Q（RP）））（QS）
=（P（Q（RP）））（QS）
=（P（Q（RP）））（QS）
=（（P（Q（RP）））（QS））（（QS）（P（Q（RP））））
=（P（Q（RP）））（QS））（（QS）（P（Q（RP））））
TI（G）=（1（1（01）））（10））（（10）
（1（1（01））））
=11=1
四、设下面所有谓词的定义域都是{a，b，c}。
试将下面谓词公式中的量词消除，写成与之等价的命题公式。
（1）xR（x）xS（x）
（2）x（P（x）Q（x））
（3）xP（x）xP（x）
解：
（1）xR（x）xS（x）等价的命题公式为：
R（a）R（b）R（c）（S（a）S（b）S（c））
（2）x（P（x）Q（x））等价的命题公式为：
（P（a）Q（a））（P（b）Q（b））（P（c）Q（c））
（3）xP（x）xP（x）等价的命题公式为：
（P（a）P（b）P（b））（P（a）P（b）P（b））
五、若G=（P，L）是有限图，设P（G），L（G）的元数分别为m，n。
证明：
n
，其中
表示m中取2的组合数。
证明：
如果G=（P,L）为完全图，即对于任意的两点u、v（u≠v）,都有一条边uv，则此时对于元数为m的P（G），L（G）的元数取值最大为
。
因此，若G=（P,L）为一有限图，设P（G）的元数为m，则有L（G）的元数n
，其中
表示m中取2的组合数。
六、试证明n个元素的所有置换作成一个群（通常叫做n次对称群）。
证明n个元素的所有偶置换作成群（叫做n次交代群）。
写出四次交代群中的元素。
n次交代群的元数为何？
试证明n个元素的所有置换作成一个群（通常叫做n次对称群）。
证明n个元素的所有偶置换作成群（叫做n次交代群）。
写出四次交代群中的元素。
n次交代群的元数为何？
证明：
只需验证满足群的各条件，略。
注意到偶置换×偶置换=偶置换。
易知偶置换成群。
A4：
（1），（123），（132），（124），（142），
（134），（143），（234），（243），（12）（34），（13）（24），（14）（23），
n!
。
离散数学复习题一
一、简要回答下列问题：
请给出集合的吸收率。
2．设A={1，2}，请给出A上的所有关系。
3．设A={1，2，3}，请给出A上的两个不同的等价关系。
4．请给出ØP，PÙQ，PÚQ的真值表。
5．什么是谓词逻辑中的项？
6．请给出集合的吸收率。
7．设A={1，2}，请给出A上的所有关系。
8．设A={1，2，3}，请给出A上的两个不同的等价关系。
9．请给出ØP，PÙQ，PÚQ的真值表。
10．什么是谓词逻辑中的项？
二、设A是m元集合，B是n元集合。
问A到B共有多少个不同的二元关系？
设A={a，b}，B={1，2}，试写出A到B上的全部二元关系。
三、R，S是集合A上的两个关系。
试证明下列等式：
（1）（R•S）-1=S-1•R-1
（2）（R-1）-1=R
四、一公司在六个城市c1，c2，…，c6中的每一个都有分公司。
从ci到cj的班机旅费由下列矩阵中的第i行第j列元素给出（表示没有直接班机）：
050402510
500152025
1501020
40201001025
252010055
102525550
公司所关心的是计算两城市间的最便宜路线的表格。
请准备一张这样的表格。
五、设下面所有谓词的定义域都是{a，b，c}。
试将下面谓词公式中的量词消除，写成与之等价的命题公式。
（1）xR（x）xS（x）
（2）x（P（x）Q（x））
（3）xP（x）xP（x）
六、若R是等价关系，试证明R-1也是等价关系。
七、设I是如下一个解释：
D={3，2}
abf（3）f
（2）P（3，3）P（3，2）P（2，3）P（2，2）
32231100
试求出下列公式在I下的真值：
（1）（a，f（a））P（b，f（b））；
（2）xyP（y，x）；
（3）xy（P（x，y）P（f（x），f（y）））；
离散数学复习题一答案
一、简要回答下列问题：
1．请给出集合的等幂律。
答：
AÇA=A,AÈA=A.
2．设A={1，2，3}，求幂集合（A）。
解：
（A）={，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}}
（3.4.5.6.7.8.9.10.）略
二、设A是m元集合，B是n元集合。
问A到B共有多少个不同的二元关系？
设A={a，b}，B={1，2}，试写出A到B上的全部二元关系。
解：
A到B上共有2mn个二元关系。
本题中A´B的全部子集f，{（a,1）}，{（a,2）}，{（b,1）}，{（b,2）}，{（a,1）,（a,2）}，{（a,1）,（b,1）}，{（a,1）,（b,2）}，{（a,1）,（b,2）}，{（a,2）,（b,1）}，{（a,2）,（b,2）}，{（a,1）,（a,2）,（b,1）}，{（a,1）,（a,2）,（b,2）}，{（a,1）,（b,1）,（b,2）}，{（a,2）,（b,1）,（b,2）}，{（a,1）,（a,2）,（b,1）,（b,2）}为A到B的全部二元关系。
三、R，S是集合A上的两个关系。
试证明下列等式：
（1）（R•S）-1=S-1•R-1
（2）（R-1）-1=R
证明：
（1
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