人教版八年级暑期数学全等模型一练习与解析word版.docx
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人教版八年级暑期数学全等模型一练习与解析word版
一.填空题(共3小题)
01-初二数学:
全等模型
(一)
1.如图所示,在平面坐标系中B(3,1),AB=OB,∠ABO=90°,则点A的坐标
是.
2.把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内,如图,已知直角顶点H的坐标为(0,2),另一个顶点G的坐标为(6,6),则点K的坐标为.
3.如图,在△ABC中,分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接AE、BD交于点O,则∠AOB的度数为.
二.解答题(共5小题)
4.如图,已知CA=CB,点E,F在射线CD上,满足∠BEC=∠CFA,且∠BEC+∠
ECB+∠ACF=180°.
(1)求证:
△BCE≌△CAF;
(2)试判断线段EF,BE,AF的数量关系,并说明理由.
5.如图
(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以
1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由;
(2)如图
(2),将图
(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ全等?
若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.
6.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)求证:
△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAE的度数;
(3)求证:
CD=2BF+DE.
7.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC.
(1)证明:
BC=DE;
(2)若AC=12,CE经过点D,求四边形ABCD的面积.
8.如图①,点M为锐角三角形ABC内任意一点,连接AM、BM、CM.以AB
为一边向外作等边三角形△ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)若AM+BM+CM的值最小,则称点M为△ABC的费尔马点.若点M为△ABC
的费尔马点,试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数;
(3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法:
如图②,分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF,连接CE、BF,设交点为M,则点M即为△ABC的费尔马点.试说明这种作法的依据.
一.填空题(共3小题)
答案版
1.如图所示,在平面坐标系中B(3,1),AB=OB,∠ABO=90°,则点A的坐标
是(2,4).
【分析】过点A作AC∥x轴,过点B作BD∥y轴,两条直线相交于点E,根据
ASA定理得出△ABE≌△BOD,故可得出AC及DE的长,由此可得出结论.
【解答】解:
如图,过点A作AC∥x轴,过点B作BD∥y轴,两条直线相交于点E,
∵B(3,1),
∴OD=3,BD=1.
∵∠DOB+∠OBD=90°,∠OBD+∠ABE=90°,∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠BOD=∠ABE,∠OBD=∠BAE.在△ABE与△BOD中,
∵
,
∴△ABE≌△BOD(ASA),
∴AE=BD=1,BE=OD=3,
∴AC=OD﹣AD=3﹣1=2,DE=BD+BE=1+3=4,
∴A(2,4).故答案为:
(2,4).
2.把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内,如图,已知直角
顶点H的坐标为(0,2),另一个顶点G的坐标为(6,6),则点K的坐标为(4,
﹣4).
【分析】根据余角的性质,可得∠GHP=∠HKQ,根据全等三角形的判定与性质,可得KQ,HQ,根据线段的和差,可得OQ,可得答案.
【解答】解:
作GP⊥y轴,KQ⊥y轴,如图,
∴∠GPH=∠KQH=90°
∵GH=KH,∠GHK=90°,
∴∠GHP+∠KHQ=90°.又∠HKQ+∠KHQ=90°
∴∠GHP=∠HKQ.在△GPH和△HQK中,
,
∴Rt△GPH≌Rt△KHQ(AAS),
∵KQ=PH=6﹣2=4;HQ=GP=6.
∵QO=QH﹣HO=6﹣2=4,
∴K(4,﹣4).故答案为:
(4,﹣4).
3.如图,在△ABC中,分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE,
连接AE、BD交于点O,则∠AOB的度数为120°.
【分析】先证明∴△DCB≌△ACE,再利用“8字型”证明∠AOH=∠DCH=60°即可解决问题.
【解答】解:
如图:
AC与BD交于点H.
∵△ACD,△BCE都是等边三角形,
∴CD=CA,CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°,
∴∠DCB=∠ACE,在△DCB和△ACE中,
,
∴△DCB≌△ACE,
∴∠CAE=∠CDB,
∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°,∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°,∠DHC=∠OHA,
∴∠AOH=∠DCH=60°,
∴∠AOB=180°﹣∠AOH=120°.故答案为120°
二.解答题(共5小题)
4.如图,已知CA=CB,点E,F在射线CD上,满足∠BEC=∠CFA,且∠BEC+∠
ECB+∠ACF=180°.
(1)求证:
△BCE≌△CAF;
(2)试判断线段EF,BE,AF的数量关系,并说明理由.
【分析】根据题意,结合图形可以证明△BCE≌△CAF,即可解决问题.
【解答】证明:
(1)∵∠BEC=∠CFA,
∵∠BEC+∠ECB+∠ACF=180°.
∠CFA+∠ACF+∠FAC=180°,
∴∠BCF=∠FAC,在△BCE与△CAF中
,
∴△BCE≌△CAF(AAS);
(2)AF+EF=BE,理由如下:
∵△BCE≌△CAF,
∴AF=CE,CF=BE,
∵CE+EF=CF,
∴AF+EF=BE.
5.如图
(1),AB=4cm,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3cm.点P在线段AB上以
1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t(s).
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当t=1时,△ACP与△BPQ是否全等,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系,请分别说明理由;
(2)如图
(2),将图
(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”,其
他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s,是否存在实数x,使得△ACP与△BPQ
全等?
若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)利用SAS证得△ACP≌△BPQ,得出∠ACP=∠BPQ,进一步得出∠
APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可;
(2)由△ACP≌△BPQ,分两种情况:
①AC=BP,AP=BQ,②AC=BQ,AP=BP,建立方程组求得答案即可.
【解答】解:
(1)当t=1时,AP=BQ=1,BP=AC=3,又∠A=∠B=90°,
在△ACP和△BPQ中,
,
∴△ACP≌△BPQ(SAS).
∴∠ACP=∠BPQ,
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°.
∴∠CPQ=90°,
即线段PC与线段PQ垂直.
(2)①若△ACP≌△BPQ,则AC=BP,AP=BQ,
则,解得;
②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP,则,
解得:
;
综上所述,存在或
,使得△ACP与△BPQ全等.
6.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)求证:
△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAE的度数;
(3)求证:
CD=2BF+DE.
【分析】
(1)根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件;
(2)根据
(1)中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数;
(3)根据题意和三角形全等的知识,作出合适的辅助线即可证明结论成立.
【解答】证明:
(1)∵∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,
∴∠BAC=∠DAE,在△BAC和△DAE中,
,
∴△BAC≌△DAE(SAS);
(2)∵∠CAE=90°,AC=AE,
∴∠E=45°,由
(1)知△BAC≌△DAE,
∴∠BCA=∠E=45°,
∵AF⊥BC,
∴∠CFA=90°,
∴∠CAF=45°,
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°;
(3)延长BF到G,使得FG=FB,
∵AF⊥BG,
∴∠AFG=∠AFB=90°,在△AFB和△AFG中,
,
∴△AFB≌△AFG(SAS),
∴AB=AG,∠ABF=∠G,
∵△BAC≌△DAE,
∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,
∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,
∴∠G=∠CDA,
∵∠GCA=∠DCA=45°,在△CGA和△CDA中,
,
∴CG=CD,
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,
∴CD=2BF+DE.
7.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC.
(1)证明:
BC=DE;
(2)若AC=12,CE经过点D,求四边形ABCD的面积.
【分析】
(1)求出∠BAC=∠EAD,根据SAS推出△ABC≌△ADE,利用全等三角形的性质证明即可;
(2)由△ABC≌△ADE,推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积,即可得出答案;
【解答】
(1)解:
∵∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,
∴∠BAC=∠EAD.在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(SAS).
∴BC=DE
(2)∵△ABC≌△ADE,
∴S△ABC=S△ADE,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ADE+S△ACD=S△ACE=
×122=72.
8.如图①,点M为锐角三角形ABC内任意一点,连接AM、BM、CM.以AB
为一边向外作等边三角形△ABE,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN.
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)若AM+BM+CM的值最小,则称点M为△ABC的费尔马点.若点M为△ABC
的费尔马点,试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数;
(3)小翔受以上启发,得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法:
如图②,
分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF,连接CE、BF,设交点为M,则点M即为△ABC的费尔马点.试说明这种作法的依据.
【分析】
(1)结合等边三角形的性质,根据SAS可证△AMB≌△ENB;
(2)连接MN,由
(1)的结论证明△BMN为等边三角形,所以BM=MN,即AM+BM+CM=EN+MN+CM,所以当E、N、M、C四点共线时,AM+BM+CM的值最小,从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数;
(3)根据
(2)中费尔马点的定义,又△ABC的费尔马点在线段EC上,同理也在线段BF上.因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点.
【解答】解:
(1)证明:
∵△ABE为等边三角形,
∴AB=BE,∠ABE=60°.而∠MBN=60°,
∴∠ABM=∠EBN.在△AMB与△ENB中,
∵
,
∴△AMB≌△ENB(SAS).
(2)连接MN.由
(1)知,AM=EN.
∵∠MBN=60°,BM=BN,
∴△BMN为等边三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
∴当E、N、M、C四点共线时,AM+BM+CM的值最小.此时,∠BMC=180°﹣∠NMB=120°;
∠AMB=∠ENB=180°﹣∠BNM=120°;
∠AMC=360°﹣∠BMC﹣∠AMB=120°.
(3)由
(2)知,△ABC的费尔马点在线段EC上,同理也在线段BF上.因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点.