人教版八年级暑期数学全等模型一练习与解析word版.docx

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人教版八年级暑期数学全等模型一练习与解析word版

一．填空题（共3小题）

01-初二数学：

全等模型

（一）

1．如图所示，在平面坐标系中B（3，1），AB=OB，∠ABO=90°，则点A的坐标

是．

2．把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，如图，已知直角顶点H的坐标为（0，2），另一个顶点G的坐标为（6，6），则点K的坐标为．

3．如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为．

二．解答题（共5小题）

4．如图，已知CA=CB，点E，F在射线CD上，满足∠BEC=∠CFA，且∠BEC+∠

ECB+∠ACF=180°．

（1）求证：

△BCE≌△CAF；

（2）试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由．

5．如图

（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以

1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图

（2），将图

（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？

若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

6．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．

（1）求证：

△ABC≌△ADE；

（2）求∠FAE的度数；

（3）求证：

CD=2BF+DE．

7．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC．

（1）证明：

BC=DE；

（2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积．

8．如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB

为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

（1）求证：

△AMB≌△ENB；

（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC

的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：

如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．

一．填空题（共3小题）

答案版

1．如图所示，在平面坐标系中B（3，1），AB=OB，∠ABO=90°，则点A的坐标

是（2，4）．

【分析】过点A作AC∥x轴，过点B作BD∥y轴，两条直线相交于点E，根据

ASA定理得出△ABE≌△BOD，故可得出AC及DE的长，由此可得出结论．

【解答】解：

如图，过点A作AC∥x轴，过点B作BD∥y轴，两条直线相交于点E，

∵B（3，1），

∴OD=3，BD=1．

∵∠DOB+∠OBD=90°，∠OBD+∠ABE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，

∴∠BOD=∠ABE，∠OBD=∠BAE．在△ABE与△BOD中，

∵

，

∴△ABE≌△BOD（ASA），

∴AE=BD=1，BE=OD=3，

∴AC=OD﹣AD=3﹣1=2，DE=BD+BE=1+3=4，

∴A（2，4）．故答案为：

（2，4）．

2．把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，如图，已知直角

顶点H的坐标为（0，2），另一个顶点G的坐标为（6，6），则点K的坐标为（4，

﹣4）．

【分析】根据余角的性质，可得∠GHP=∠HKQ，根据全等三角形的判定与性质，可得KQ，HQ，根据线段的和差，可得OQ，可得答案．

【解答】解：

作GP⊥y轴，KQ⊥y轴，如图，

∴∠GPH=∠KQH=90°

∵GH=KH，∠GHK=90°，

∴∠GHP+∠KHQ=90°．又∠HKQ+∠KHQ=90°

∴∠GHP=∠HKQ．在△GPH和△HQK中，

，

∴Rt△GPH≌Rt△KHQ（AAS），

∵KQ=PH=6﹣2=4；HQ=GP=6．

∵QO=QH﹣HO=6﹣2=4，

∴K（4，﹣4）．故答案为：

（4，﹣4）．

3．如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，

连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为120°．

【分析】先证明∴△DCB≌△ACE，再利用“8字型”证明∠AOH=∠DCH=60°即可解决问题．

【解答】解：

如图：

AC与BD交于点H．

∵△ACD，△BCE都是等边三角形，

∴CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，

∴∠DCB=∠ACE，在△DCB和△ACE中，

，

∴△DCB≌△ACE，

∴∠CAE=∠CDB，

∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°，∠DHC=∠OHA，

∴∠AOH=∠DCH=60°，

∴∠AOB=180°﹣∠AOH=120°．故答案为120°

二．解答题（共5小题）

4．如图，已知CA=CB，点E，F在射线CD上，满足∠BEC=∠CFA，且∠BEC+∠

ECB+∠ACF=180°．

（1）求证：

△BCE≌△CAF；

（2）试判断线段EF，BE，AF的数量关系，并说明理由．

【分析】根据题意，结合图形可以证明△BCE≌△CAF，即可解决问题．

【解答】证明：

（1）∵∠BEC=∠CFA，

∵∠BEC+∠ECB+∠ACF=180°．

∠CFA+∠ACF+∠FAC=180°，

∴∠BCF=∠FAC，在△BCE与△CAF中

，

∴△BCE≌△CAF（AAS）；

（2）AF+EF=BE，理由如下：

∵△BCE≌△CAF，

∴AF=CE，CF=BE，

∵CE+EF=CF，

∴AF+EF=BE．

5．如图

（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以

1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图

（2），将图

（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”，其

他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ

全等？

若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠

APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；

（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：

①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．

【解答】解：

（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∠A=∠B=90°，

在△ACP和△BPQ中，

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．

∴∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．

∴∠CPQ=90°，

即线段PC与线段PQ垂直．

（2）①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，

则，解得；

②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，则，

解得：

；

综上所述，存在或

，使得△ACP与△BPQ全等．

6．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．

（1）求证：

△ABC≌△ADE；

（2）求∠FAE的度数；

（3）求证：

CD=2BF+DE．

【分析】

（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；

（2）根据

（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；

（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．

【解答】证明：

（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，

∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，

，

∴△BAC≌△DAE（SAS）；

（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，

∴∠E=45°，由

（1）知△BAC≌△DAE，

∴∠BCA=∠E=45°，

∵AF⊥BC，

∴∠CFA=90°，

∴∠CAF=45°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；

（3）延长BF到G，使得FG=FB，

∵AF⊥BG，

∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中，

，

∴△AFB≌△AFG（SAS），

∴AB=AG，∠ABF=∠G，

∵△BAC≌△DAE，

∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，

∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，

∴∠G=∠CDA，

∵∠GCA=∠DCA=45°，在△CGA和△CDA中，

，

∴CG=CD，

∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，

∴CD=2BF+DE．

7．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC．

（1）证明：

BC=DE；

（2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积．

【分析】

（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质证明即可；

（2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案；

【解答】

（1）解：

∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，

∴∠BAC=∠EAD．在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（SAS）．

∴BC=DE

（2）∵△ABC≌△ADE，

∴S△ABC=S△ADE，

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ADE+S△ACD=S△ACE=

×122=72．

8．如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB

为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．

（1）求证：

△AMB≌△ENB；

（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC

的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：

如图②，

分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．

【分析】

（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB；

（2）连接MN，由

（1）的结论证明△BMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；

（3）根据

（2）中费尔马点的定义，又△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．

【解答】解：

（1）证明：

∵△ABE为等边三角形，

∴AB=BE，∠ABE=60°．而∠MBN=60°，

∴∠ABM=∠EBN．在△AMB与△ENB中，

∵

，

∴△AMB≌△ENB（SAS）．

（2）连接MN．由

（1）知，AM=EN．

∵∠MBN=60°，BM=BN，

∴△BMN为等边三角形．

∴BM=MN．

∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．

∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC=180°﹣∠NMB=120°；

∠AMB=∠ENB=180°﹣∠BNM=120°；

∠AMC=360°﹣∠BMC﹣∠AMB=120°．

（3）由

（2）知，△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．