上海市四校届高三质量调研数学理科试题.docx
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上海市四校届高三质量调研数学理科试题
上海市四校2019届高三质量调研
考生注意：
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、准考证号填写清楚.
2.本试卷共有21道试题，满分150分.考试时间120分钟.
题号
一
二
三
总分
16
17
18
19
20
21
得分
一、填空题（本大题满分55分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分。
1．已知，若为纯虚数，则的值为。
2．已知集合，且，则实数的取值范围是。
3．已知函数，。
4．球面上有A、B、C三点，AB＝AC＝2，，球心到平面ABC的距离为1，则球的表面积为。
5．已知数列满足：
，且对任意的正整数，都有，若数列
的前项和为，则。
6．若，且，则_________。
7．已知双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则。
8．已知对于任意实数，函数满足，若方程有且仅有2019个实数解，则这2019个实数解之和为。
9．袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球（球的大小均相同），从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，已知得0分的概率为，则袋中黑球的个数为。
10．中，分别是角的对边，已知，，现有以下判断:
①不可能等于15；②若,则；③若,则有两解。
请将所有正确的判断序号填在横线上____________。
11．如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB的中点，E
是边AC上任一点，连结DE，F是线段DE上一点，连结BF，
设，，，且，则△BDF的面积S的最
大值是。
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分。
12．设已知全集，集合，则等于（）
（A）（B）（C）（D）
13．设（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
14．已知点是直线上一动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB（C为圆心）面积的最小值为2，则k的值为（）
（A）3（B）（C）（D）2
15．已知不等式对于,恒成立,则实数的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
16.（本题满分11分）如图，、是单位圆上的点，是单位圆与轴正半轴的交点，点的坐标为，三角形为等边三角形。
求及的值。
17.（本题满分12分）本题共有3个小题，每小题满分4分。
如图，四面体中，、分别是、的中点，
。
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小；
（Ⅲ）求点到平面的距离。
18.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分。
某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产。
已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：
（单位：
万美元）
项目
类别
年固定成本
（单位：
万美元）
每件产品成本
（单位：
万美元）
每件产品销售价
（单位：
万美元）
每年最多可生产的件数（单位：
件）
A产品
20
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，为常数，且。
另外，年销售件B产品时需上交万美元的特别关税。
（1）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润，与生产相应产品的件数之间的函数关系并指明其定义域；
（2）如何投资才可获得最大年利润。
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
已知函数，
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）当时，讨论函数在区间上的单调性。
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。
在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为,
也是抛物线的焦点，点为与在第一象限的交点，且。
（Ⅰ）求点的的坐标及椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线，且与椭圆交于两点，提出一个与面积相关的问题，并作出正确解答。
21.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知为实数，数列满足，当时，，
（1）当时，填写下列列表格：
2
3
35
100
（2）当时，求数列的前100项的和；
（3）令，求证：
当时，。
2019学年度四校质量调研
高三数学试卷（理科）
参考答案
一、填空题：
1．2．3．4．125．6．117．8．20199．4个10．①②
11．解:
。
因为△ABC的面积为1,,所以,△ABE的面积为,因为D是AB的中点,所以,△BDE的面积为,因为,所以△BDF的面积为,当且仅当时,取得最大值。
二、选择题：
12．B13．C14．D15．D
三、解答题：
16．解：
（Ⅰ）因为点的坐标为，根据三角函数定义可知，，，2分
所以4分
（Ⅱ）因为三角形为正三角形，所以，，，5分
所以
8分
所以
。
11分
17．解：
方法一：
（I）证明：
连结OC，因为所以
又所以，2分
在中，由已知可得而
所以所以即，
而所以平面。
4分
（II）解：
取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，5分
在中，因为是直角斜边AC上的中线，所以所以所以异面直线AB与CD所成角的大小为。
8分
（III）解：
设点E到平面ACD的距离为，因为
9分
在中，所以
而所以，
所以点E到平面ACD的距离为。
12分
方法二：
（I）同方法一。
（II）解：
以O为原点，如图建立直角坐标系，则，设的夹角为，则所以异面直线AB与CD所成角的大小为。
（III）解：
设平面ACD的法向量为则
令得是平面ACD的一个法向量。
又所以点E到平面ACD的距离。
18．解：
（Ⅰ）由年销售量为件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润分别为：
且2分
所以5分
（Ⅱ）因为所以为增函数，
，所以时，生产A产品有最大利润为（万美元）7分
又，所以时，生产B产品
有最大利润为460（万美元）9分
现在我们研究生产哪种产品年利润最大，为此，我们作差比较：
11分
所以：
当时，投资生产A产品200件可获得最大年利润;
当时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；
当时，投资生产B产品100件可获得最大年利润。
12分
19．解：
（1）当时，，成立，所以是奇函数；
3分
当时，，这时所以是非奇非偶函数；6分
（2）当时，设且,则
9分
当时，因为且，所以
所以，
，所以是区间的单调递减函数。
12分
同理可得是区间的单调递增函数。
14分
20．解：
（Ⅰ）由抛物线：
知，设，在上，且，所以，得，代入，得，
所以。
4分
在上，由已知椭圆的半焦距，于是
消去并整理得，解得（不合题意，舍去）．
故椭圆的方程为。
7分
（另法：
因为在上，
所以，所以，以下略。
）
（Ⅱ）由得，所以点O到直线的距离为
，又，
所以，
且。
10分
下面视提出问题的质量而定：
如问题一：
当面积为时，求直线的方程。
（）得2分
问题二：
当面积取最大值时，求直线的方程。
（）得4分
21．解：
（1）
2
3
35
100
97
94
3
1
4分
（2）由题意知数列的前34项成首项为100,公差为－3的等差数列,从第35项开始,奇数项均为3,偶数项均为1,6分
从而=8分
=。
10分
（3）当时，因为,
所以12分
当时，
因为，所以，14分
当时，
所以。
16分
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