江苏省高二下学期期末考试数学理试题.docx

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江苏省高二下学期期末考试数学理试题

高二（下）期末测试卷

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数满足，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】分析：

化简等式，利用复数的除法运算法则：

分子、分母同乘以分母的共轭复数，从而可得结果.

详解：

由因为，

所以

故选B.

点睛：

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

2.已知随机变量，若，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】分析：

利用正态分布曲线的对称性可得结果.

详解：

，若，

，

，故选A.

点睛：

本题主要考查正态分布与正态曲线的性质，属于中档题.正态曲线的常见性质有：

（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；

（2）正态分布区间上的概率，关于对称，.

3.有人用三段论进行推理：

“函数的导函数的零点即为函数的极值点，函数的导函数的零点为，所以是函数的极值点”，上面的推理错误的是（）

A.大前提B.小前提C.推理形式D.以上都是

【答案】A

【解析】分析：

根据极值的定义，“对于可导函数，如果，那么是函数的极值点”不正确，从而可得结果.

详解：

大前提是：

“对于可导函数，如果，

那么是函数的极值点”，不是真命题，

对于可导函数，如果，

且满足当附近的可导函数值异号时，

那么是函数的极值点，

大前提错误，故选A.

点睛：

本题考查三段论的定义，属于简单题.在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误.

4.甲乙丙丁四个人站成一排，要求甲乙不相邻并且甲丙也不相邻，则不同的站法种数有（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】分析：

先讨论甲的位置，可求得丁的位置，再排乙丙即可.

详解：

四个人站成一排，甲乙不相邻，甲丙也不相邻，

甲只能在两端，有两种排法，

丁只能与甲相邻，乙丙在另两个位置全排列，

有种排法，共有种排法，故选B.

点睛：

本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.

5.某学生本周每日睡眠时间分别是（单位：

小时），则该组数据的方差为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】分析：

先根据平均数值公式求出平均值，利用方差公式可得结果.

详解：

，

，故选B.

点睛：

样本数据的算术平均数，即．解答此类问题关键为概念清晰，类似概念有样本方差，标准差.

6.二项式的展开式中，第项是常数项，则常数项为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】分析：

先求出二项式的展开式的通项公式，令第项的指数等于，求出的值，从而可得结果.

详解：

二项式展开式中的第项为，

因为是常数项，，

将，代入可得常数项为：

，故选C.

点睛：

本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：

（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）

（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.

7.已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】分析：

函数在上是单调递增函数等价于，

即在上恒成立，进而可得结果.

详解：

因为，

所以，

因为函数在上是单调递增函数，所以，

即在上恒成立，

而，

实数的取值范围是，故选B.

点睛：

本题主要考查“分离参数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法②求解的．

8.已知函数，则（）

A.无极值点B.有极小值点

C.有极大值点D.既有极大值点又有极小值点

【答案】D

【解析】分析：

由得，由得或，可得在处有极小值，在处有极大值，从而可得结果.

详解：

，

，

由得，

由得或，

在处有极小值，在处有极大值，

故既有极大值点又有极小值点，故选D.

点睛：

本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数极值的步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.

9.若从这个整数中同时取个不同的数，其和为奇数，则不同的取法种数为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】分析：

分两种情况讨论：

先在五个数中取出三个个奇数，再在五个数中取出一个奇数在四个偶数中取出两个偶数，由分类计数加法原理结合分步计数乘法原理可得结果.

详解：

根据题意，从到的正整数正任意抽取个数相加，

若所得的和为奇数，则取出的数为个奇数或奇数个偶数，

在五个数中取出个奇数，有种取法.

在四个偶数中取出个偶数，有种取法.

则奇数，个偶数的取法有种，

在五个数中取出个奇数，有种取法

即所得的和为奇数的不同情形种数是，故选C.

点睛：

本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.

10.甲乙两人均知道丙从集合中取出了一点，丙分别告诉了甲点的横坐标，告诉了乙点的纵坐标，然后甲先说：

“我无法确定点的坐标”，乙听后接着说：

“我本来也无法确定点的坐标，但我现在可以确定了”，那么，点的坐标为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】分析：

由横坐标为或或的点唯一且甲知道横坐标且不能确定点，可确定横坐标不是或或，再根据乙知道的点纵坐标进行排除，即可得结果.

详解：

横坐标为或或的点唯一且甲知道横坐标且不能确定点，

横坐标不是或或，

乙得知甲不能确定点，

乙可确定点横坐标不是或或，

若乙知道的点纵坐标为、或；分别有两个坐标，乙都无法排除确定，

只有乙知道点纵坐标为时有两种，乙可排除，

可得点坐标为，故选C.

点睛：

本题主要考查推理案例，属于中档题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.

11.已知函数，其中是函数的导函数，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】分析：

先求定积分，再求导函数，将代入导函数解析式即可得结果.

详解：

令，

，故选A.

点睛：

本题主要考查微积分基本定理与导数的运算法则，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力.

12.已知函数，当时，曲线在点与点处的切线总是平行时，则由点可作曲线的切线的条数为（）

A.B.C.D.无法确定

【答案】C

【解析】分析：

由曲线在点与点处的切线总是平行,可得导函数的对称轴，从而求出的值，设出切点坐标，可得关于切点横坐标的方程有三个解，从而可得结果.

详解：

由，得，

曲线在点与点处的切线总是平行，

关于对称，

即，点，即为，

所以，，

设切点为切线的方程为，

将点

代入切线方程可得

，

化为，

设

令得或，

令得，

在上递增，在上递减，

在处有极大值，在处有极小值，

且，

与有三个交点，

方程有三个根，

即过的切线有条，故答案为.

点睛：

本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为，极小值为：

一个零点或；两个零点或；三个零点且.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】分析：

求得曲线对应的函数的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程，可得切线的方程.

详解：

的导数为，

在点处的切线的斜率为，

所以在点处的切线的方程为，

即为，故答案为.

点睛：

本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于简单题.求曲线切线方程的一般步骤是：

（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；

（2）由点斜式求得切线方程.

14.已知，复数的虚部为，则的最小值为__________．

【答案】4

【解析】分析：

化简，根据其虚部为，可得，利用基本不等式可得结果.

详解：

，

复数的虚部为，

，即，

，

，

当且仅当时等号成立，

的最小值为，故答案为.

点睛：

本题主要考查复数的运算与基本概念、利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：

一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

15.已知随机变量的分布列为

且数学期望，则方差__________．

【答案】

【解析】分析：

根据概率和为，求出的值，在根据期望公式求得的值，由方差公式可得结果.

详解：

，

，，

，故答案为.

点睛：

本题考查离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的期望与方差公式，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.

16.一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示，若按照这种规律依次增加一定

数量的宝石，则第件工艺品所用的宝石数为__________颗（结果用表示）．

.................................

【答案】

【解析】设第一件宝石数a1=6，第n-1件工艺品所用的宝石数an-1，第n件工艺品所用的宝石数an，则an-an-1=5+4（n-1），∴an-1-an-2=5+4（n-2），…,a3-a2=5+4×2,a2-a1=5+4×1,

则：

an-a1=5×（n-1）+4[1+2+…+（n-1）]=2n2+3n-5,

又∵a1=6，∴an=2n2+3n+1.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.某产品的质保期是