中考数学专题和图形有关的应用题.docx
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中考数学专题和图形有关的应用题
专题:
与图形有关的应用题
1.如图①所示的是可调节高低的笔记本电脑桌,如图②,桌子腿AB=AC=26cm,∠ABC=34°,则点A距地面的高度AH约为____________cm.(结果保留一位小数,参考数据:
sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67)
2.2019年10月1日,迎来了伟大祖国70周年的生日.某市为弘扬新一代爱国主义精神,建立如图①所示的一座纪念渡江战役胜利的历史博物馆.如图②是该博物馆的侧面示意图.某学校数学兴趣小组通过测量得知,纪念馆外轮廓斜坡AB的坡度i=1∶
,底基BC=50m,∠ACB=135°,则馆顶A离地面BC的距离约为________m.(结果精确到0.1m,参考数据:
≈1.41,
≈1.73)
3.为响应“节能减排,绿色出行”的口号,某市在部分城区实施公共自行车免费服务.图①是公共自行车的实物图,图②是公共自行车的车架示意图,点A、D、C、E在同一条直线上,CD=35cm,DF=24cm,AF=30cm,FD⊥AE于点D,座杆CE=15cm,且∠EAB=75°.则E到AB的距离约为________cm.(结果保留整数,参考数据:
sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)
4.如图①,是某班放报纸的支架,图②为其示意图,其侧面垂直于地面的支架(含轮子)为AB,弯折的两条支架分别为AD,DC,且CD垂直地面于点C,经测量,AD=256cm,CD=44cm,∠ADC=153°.求线段AB的长度约为________cm.(结果保留一位小数,参考数据:
sin63°≈0.89,cos63°≈0.45,tan63°≈1.96)
5.如图①,桔槔是一种旧式提水器具,它的工作原理是由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提拉至所需处,桔槔早在春秋时期就已相当普遍,而且延续了几千年.如图②,是一个桔槔模型示意图,已知AB的长为0.8m,AB与水平面的角度为32.5°,点B距底座表面CF的距离为0.36m,底座的高度为6cm.则点A到地面的高度约为________m.(结果保留一位小数,参考数据:
sin32.5°≈0.54,cos32.5°≈0.84,tan32.5°≈0.64)
6.港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,位于中国广东省伶仃洋区域内,为珠江三角洲地区环线高速公路南环段,青州航道桥“中国结·三地同心”主题的斜拉索塔如图①所示.某数学兴趣小组根据材料编制了如下数学问题,请你解答.如图②,BC,DE为主塔AB(主塔AB与桥面AC垂直)上的两条钢索,桥面上C、D两点间的距离为16m,主塔上A、E两点的距离为18.4m,已知BC与桥面AC的夹角为30°,DE与桥面AC的夹角为38°,求主塔AB的高约为________m.(结果精确到1米,参考数据:
sin38°≈0.6,cos38°≈0.8,tan38°≈0.8,
≈1.7)
7.如图,高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂直,展开小桌板后,桌面会保持水平,其中图①、图②分别是小桌板收起时和展开时的实物图,图③中的实线是小桌板展开后的示意图,其中OB表示小桌板桌面的宽度,BC表示小桌板的支架,连接OA,此时OA=75cm,∠AOB=∠ACB=37°,且支架长BC与桌面宽OB的长度之和等于OA的长度,则点B到AC的距离约为________cm.(结果保留一位小数,参考数据:
sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan37°≈0.75)
8.图①是一台实物投影仪,图②是它的示意图,折线B-A-O表示固定支架,AO垂直水平桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE,经测量:
AO=6.8cm,CD=8cm,AB=30cm,BC=35cm.如图②,当∠ABC=70°,BC∥OE时,投影探头的端点D到桌面OE的高度约为________cm.(结果精确到0.1,参考数据:
sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)
9.改革开放以来,中国已经成为领先世界的基建强国,如图①是建筑工地常见的塔吊,其主体部分的平面示意图如图②,点F在线段HG上运动,BC∥HG,AE⊥BC,垂足为点E,AE的延长线交HG于点G,经测量,∠ABD=11°,∠ADE=26°,∠ACE=31°,BC=20m,EG=0.6m.
(1)求线段AG的长度;
(2)连接AF,当线段AF⊥AC时,求点F和点G之间的距离.(结果精确到0.1m,参考数据:
tan11°≈0.19,tan26°≈0.49,tan31°≈0.60)
10.在伟大祖国诞辰70周岁之际,在太原市的大街小巷随处可见国旗装点,鲜艳的五星红旗不仅扮靓了城市的街道,更让市民感受到了浓厚的节日氛围.已知国旗(3号旗)的长DE为192cm,宽DC为129cm,旗杆DB的长度为200cm,DB与墙面AB的夹角∠DBG为35°,当国旗迎风展开后,点E到墙壁AB所在直线的距离约为________cm.(结果精确到0.1,参考数据:
sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70)
11.如图①,是一个由空心壳体和一个实心的半球体构成的不倒翁,图②是它的部分示意图,已知圆弧的圆心为点O,CD长为30cm,OA,OB为圆弧的半径,长为10cm,∠AOC=∠BOC,
的长为4πcm,当CD向右摆动使点B落在地面上(即圆弧与直线相切于点B)时,则点D到直线l的距离约为________cm.(结果精确到1cm,参考数据:
sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73,
≈1.73)
12.如图①是一座可供行人和非机动车行走的过路天桥的实物图,该天桥的一端是由一个四边形和两个三角形组成,如图②所示.其中AC和BC是非机动车行走的缓坡道,AB是行人走的台阶式坡道,BD和CE是天桥的立柱,D为AE的中点.经测量,天桥的高度(天桥最高点到地面的距离)为6米,非机动车坡道与水平面的夹角为11.5°,BC与AC的夹角为23°,求坡道AB的长度约为________米.(结果保留一位小数,参考数据:
sin11.5°≈0.20,cos11.5°≈0.98,tan11.5°≈0.20,sin23°≈0.39,cos23°≈0.92,tan23°≈0.42,
≈5.83)
13.如图①是某种躺椅的实物图,图②是其简化的结构示意图,已知扶手AB与座板CD都平行于地面,靠背DM与支架OE平行,前支架OE与后支架OF垂直,且分别与CD交于点G和点D,AB与DM交于点N,∠ODC=30°,ON=40cm,GE=30cm,MN=60cm.则这种躺椅的高度约为________cm(即点M到地面的高度).(结果取整数,参考数据:
≈1.73)
14.某车库出口处设置有“两段式栏杆”,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆两段的连接点,当车辆经过时,栏杆AEF升起后的位置如图①所示(图②为其几何图形).其中AB⊥BC,DC⊥BC,EF∥BC,∠EAB=150°,AB=AE=1.2m,BC=2.4m,求图②中点E到地面的高度(即EH的长)为________m.(结果精确到0.01m,参考数据:
≈1.732,栏杆宽度忽略不计)
15.如图①是一个创意半圆桌柜实物图,图②是其正面示意图,桌柜的上部是一个半圆,桌面AB是半圆的直径,隔层CD是半圆的弦,柜脚EG、FH所在的直线经过圆心,EG=FH,且AB、CD均平行于水平地面,某同学测得GH=100cm,∠EGH=∠FHG=60°,弧EF最底端与地面的距离为2cm.则桌面AB的长度为________cm.
16.图①是一个仰卧起坐健身器,它主要是由支架、坐垫、靠背和档位调节器组成.将图①仰卧起坐健身器的主体部分抽象成图②,靠背OD与支架OA所夹的角α可以用档位调节器绕点O调节,量得OA=OD=900mm,∠CAB=20°,当靠背的角度α调到40°时,点D到地面的距离约为________mm.(结果精确到0.1mm,参考数据:
sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)
17.图①是某游乐场的摩天轮,图②是它的正面示意图,已知摩天轮的半径为40米,每分钟绕圆心O匀速旋转15°,其最低点A离地面的距离AB为5米,小明从点A处登上摩天轮,5分钟后旋转到点C,此时他离地面的高度CD约为________米.(结果精确到0.1米,参考数据:
sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,tan75°≈3.73)
参考答案
1.14.6 【解析】由题意得,在Rt△ABH中,AH=AB·sin34°≈26×0.56≈14.6cm.
2.68.3 【解析】如解图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.∵∠ACB=135°,∴∠ACD=45°,∴△ADC为等腰直角三角形,设AD=x,则CD=x,BD=50+x,∵斜坡AB的坡度i=1∶
,∴x∶(50+x)=1∶
,整理得(
-1)x=50,解得x=25(
+1)≈68.3.
3.66 【解析】在Rt△ADF中,AF=30,DF=24,由勾股定理得AD=
=
=18.如解图,过点E作EH⊥AB,垂足为H,∵AE=AD+DC+CE=68,∴EH=AE·sin75°=68·sin75°≈68×0.97=65.96≈66(cm).∴点E到AB的距离约为66cm.
4.271.8 【解析】如解图,过点D作DE⊥AB于点E,∴∠B=∠C=∠DEB=90°.∴四边形BCDE是矩形.∴∠EDC=90°,BE=DC=44cm.在Rt△AED中,∠ADE=153°-90°=63°,∴AE=AD·sin63°≈256×0.89=227.84cm.∴AB=AE+BE=227.84+44≈271.8cm.∴线段AB的长度约为271.8cm
5.0.9 【解析】如解图,过点B作BH⊥FC,BI⊥AG,垂足分别为点H,点I,延长AG交FC于点J.在Rt△ABI中,∵∠ABI=32.5°,∠AIB=90°,∴AI=AB·sin32.5°≈0.8×0.54≈0.43.又∵∠BIJ=∠IJH=∠JHB=90°,∴四边形IJHB为矩形.∴IJ=BH=0.36.∴点A到地面的高度为AI+IJ+CD=AI+BH+CD≈0.43+0.36+0.06=0.85≈0.9m.
6.22 【解析】∵在Rt△DAE中,AE=18.4,∠ADE=38°,∴AD=
≈
=23.∴AC=AD+CD≈23+16=39.在Rt△ABC中,∵∠BCA=30°,∴AB=AC·tan30°≈39×
≈22m.∴主塔AB的高约为22m.
7.22.5 【解析】如解图,延长OB交AC于点D,由题可知BD⊥CA,设BC=x,则BO=OA-BC=(75-x),在Rt△CBD中,∵BD=BC·sin∠ACB=x·sin37°≈0.6x,∴DO=OB+BD≈75-x+0.6x=(75-0.4x),在Rt△AOD中,DO=AO·cos∠AOD=75·cos37°≈60,∴75-0.4x=60,解得x=37.5,∴BD≈0.6x=22.5cm,∴点B到AC的距离约为22.5cm.
8.27.0 【解析】如解图①,延长OA交BC于点F,∵AO⊥OE,∴∠AOE=90°.∵BC∥OE,∴∠BFO=∠AOE=90°.在Rt△ABF中,AB=30cm,∵sin∠B=
,∴AF=AB·sin∠B=30·sin70°≈30×0.94=28.20cm.∴AF-CD+AO≈28.20-8+6.8=27.0cm,∴端点D到桌面OE的高度约为27.0cm.
9.解:
(1)在Rt△ABE中,BE=
,
在Rt△ACE中,CE=
.
设AE=xm,则
+
=20,
解得x≈2.89m.
∴AG=AE+EG≈2.89+0.6≈3.5m.
答:
线段AG的长度约为3.5m;(3分)
(2)如解图,当线段AF⊥AC时,
∵AE⊥BC,
∴∠FAE+∠CAG=90°,∠CAG+∠ACE=90°.
∴∠FAE=∠ACE=31°.
∴tan∠FAG=tan31°=
,
∴FG=AG·tan31°≈3.5×0.6=2.1m.
答:
点F与点G之间的距离约为2.1m.(8分)
10.271.4 【解析】如解图,分别过点D,点E作DM⊥AB的延长线于点M,EN⊥AB的延长线于点N,DH⊥EN于点H,在Rt△DBM中,sin∠DBM=
,∴DM=200·sin35°≈114.∵∠EDC=∠CNB=90°,∠DCE=∠NCB,∴∠DEC=∠CBN=35°.在Rt△DEH中,cos∠DEH=
,∴EH=192·cos35°≈157.44cm.∴EN=EH+HN=EH+DM≈157.44+114≈271.4cm.
11.26 【解析】∵
的长为4π,∴4π=
,∴n=72,∴∠AOB=72°,∵∠AOC=∠BOC,∴∠BOC=36°,由题意知EF为⊙O的切线,∴OB⊥EF,∵DF⊥EF,∴∠EDF=∠BOC=36°,∴cos∠EOB=
,∴0.81≈
,∴OE≈12.3cm,∴DE=DC-OC+OE≈30-10+12.3=32.3cm,∴DF≈32.3·cosD≈32.3×0.81≈26cm.∴点D到直线l的距离约为26cm.
12.11.7 【解析】如解图,过点C作CH⊥BD于点H,易证四边形DECH为矩形,设AC与BD交于点G.∵CH⊥BD,BD⊥AE,∴CH∥AE,∴∠HCG=∠GAD=11.5°,又∵BC与AC的夹角为23°,∴∠BCH=23°-11.5°=11.5°,即∠BCH=∠GCH=∠GAD,又∵D为AE的中点,四边形DECH为矩形,∴AD=DE=CH,可证△ADG≌△CHG≌△CHB,∴DG=HG=HB,由题可得BD=6,∴DG=HG=HB=
BD=2,在Rt△ADG中,DG=2,∠GAD=11.5°,∴AD=
≈10,在Rt△ABD中,由勾股定理得AB=
=
=2
≈11.7m,即AB的长度约为11.7米.
13.95 【解析】如解图,连接EF,延长MN交EF于点H,过M作MP⊥EF于点P.由题意知ON∥GD∥EF,DN∥OG,∴∠NHP=∠E,四边形OGDN和OEHN是平行四边形.∴GD=ON=40cm,NH=OE.∵∠DOG=90°,∠ODG=30°,∴∠NHP=∠E=∠OGD=60°,OG=GD·sin30°=20.∴NH=OE=OG+GE=50.在Rt△MHP中,MH=MN+NH=110cm,∴MP=MH·sin60°=55
≈95cm.
14.2.24 【解析】如解图,作AM⊥EH于点M,则四边形ABHM是矩形,∵∠EAB=150°,∴∠EAM=60°,又∵AB=AE=1.2m,∴EM=AE·sin60°=1.2×
=1.039≈1.04m,∴EH=EM+MH=1.04+1.2=2.24m.
15.100
-4 【解析】如解图所示,过O作OP⊥GH于P,连接OE、OF.∵∠EGH=∠FHG=60°,GH=100,∴GP=
GH=50,∴OP=GP·tan60°=50
.∴AB=2(OP-2)=(100
-4)cm.
16.612 【解析】如解图,连接DA,过点O作OE∥AB,交AD于点E,过点O作OF⊥AB交AB于点F,∵∠OAF=20°,OE∥AB,∴∠AOE=20°,∵∠DOA=40°,∴∠DOE=∠AOE=20°,又∵OA=OD,∴OE⊥DA,∴AD⊥AB,点D到地面距离即为DA,在Rt△OEA中,AE=OA·sin20°≈900×0.34=306,∴DA=2AE≈612mm.
17.34.6 【解析】∵15×5°=75°,∴∠AOC=75°,如解图,过点C作CE⊥OB于点E,则四边形BDCE是矩形,∴CD=BE,∵∠AOC=75°,OC=40,在Rt△OEC中,cos∠COE=
,∴OE=OC·cos∠COE=40·cos75°≈10.4,∵OB=OA+AB=45,∴CD=EB=OB-OE=45-10.4=34.6(米).∴此时他离地面的高度CD约为34.6米.