科大校内数学建模论文A题.docx
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科大校内数学建模论文A题
关于教学质量评估的数学建模
摘要
我国的高等教育在不断深入发展，对高校的教学质量评估一直是众人长谈的话题，不同班级不同课程有误可比性，怎么评价教师的教学水平？
本文根据题目提供的数据，针对3个问题建立了相关的模型，并给予了解答。
对于问题1，我选取了2010——2011学年的课程号为182的科目成绩进行分析，可以认为大量的学生成绩近似服从了正态分布模型，得出了结论1：
班级号47,171,172班的平均分与总体均值存在差异较大,并且方差波动很大，因此不能认为上述班级的考试成绩达到了课程总体的平均水平，并通过假设检验验证结论是正确的。
除了上述之外的其他学院的所属不同班级，认为达到或超过了平均水平。
结论2：
教师编号为48,65,29,25,51的五位老师教学质量是在平均水平左右；教师号42的老师教学质量高于平均水平；2,69号两个老师的教学质量低于平均水平。
这与5.1.1中的分析结果可以相互印证的，47班是69号老师，171、172班是2号老师。
结论3：
对于同样的182课程，学院B教学质量最好；学院F,G,C教学质量较好；学院A，H教学质量中等；学院D,E教学水平落后于其他学院。
对于问题2，宏观上，我们先使用不同课程考试成绩作为一个整体，使用了秩和检验观察它们的分布并不是较好的正态分布，样本总体或者随机选择几个班级的成绩并不具有可比性，因为差异显著。
接着使用了参数模型分析，认为所选取的课程182,184,194,197成绩之间相互独立，分别是近似的正态分布，得出了不同学院的班级在不同课程整体上的考试成绩均值不相同，即不具有可比性的结论。
（后证明此结论无意义）
微观上，经查阅后发现，存在一名教师在不同学院班级教授多门课程的现象，经过标准分绩点向标准正态分布转换，原来不是正态分布的学生科目的考试成绩，经过上式的转换后学生的标准分的均值为0，方差为1，服从标准正态分布N（0,1）。
转换后的学生标准分不改变原来的排名位置，但其中心一致性的移向同一水平，使得比较同一门课程多位教师授课的教学质量和不同课程之间的标准分具有一定的可比性。
得到结论：
对于同一个老师42，a班182课程平均成绩比184课程平均成绩要高；b班182课程平均成绩比184课程平均成绩要低；c班182课程平均成绩比184课程平均成绩要低；d班182课程平均成绩比184课程平均成绩要略高一点；交叉比较：
42号教师所教的a,b,c,d四个班的182课程比48号教师所教的e,f,g,h四个班的184课程的成绩要好；42号教师所教的a,b,c,d四个班的184课程比48号教师所教的e,f,g,h四个班的182课程的成绩要好；42号教师所教的c班的182课程比48号教师所教的e,f,g,h四个班中的任意一个的184课程的成绩要好；......
对于问题3，建立单课程评价模型时，采用标准分型的绩点转换后的μ值和σ值得大小作为评价教师教学质量的一个指标，μ值越大表明教师所教的班级转换之前的考试成绩的平均分期望越高，间接表明教师教学质量越好。
并且在模型改进6.3当中提出了基于学分的不同班级权重和成绩段权重的算法，这样可以突出重点课程和高分重点学生，或者根据层次分析法，神经网络等算法来使得教学评价更加智能更加优化。
而对于某些教师同时教某一个或几个班级的多门课程，提出了基于课程学分和权重的标准分绩点算法，比传统的只看学生考试成绩的最高分，最低分和平均值，或者分区间段统计人数等方法更加合理。
1、问题重述
随着我国高等教育的改革与发展，各个高校都把促进学生学习、提高教师的教学质量作为自己的目标。
在实现这一目标的过程中，各个高校也都提出了各自的教学质量评价办法，诸如学生评教、同行评教等。
这些评价办法在促进教学管理和教学水平提高的同时，由于没有考虑到不同学院、不同班级和不同课程之间的差异，本身也就存在一些问题和不足之处。
因此，如何更为合理的评价教师的教学质量就成了一个亟待解决的问题。
现有某高校多个学年的学生考试成绩，如附件1所列，数据涉及多个学院、多个班级、多门课程和多位教师。
试根据附件1中数据，通过数学建模的方法，完成以下问题。
1．针对同一学年的同一门课程，分析不同学院、不同班级和不同教师之间的差异。
2．针对同一学年的成绩数据，分析不同学院、不同班级和不同课程之间是否具有可比性。
3．建立合适的数学模型，对教师的教学质量做出合理的评价。
二、模型假设
假设一：
不同学院，不同班级在同一学年的关于同一科目的考试是同时由高校组织的，考试成绩来自同一次考试，学生的考试成绩中选取的样本数据近似服从正态分布。
假设二：
教师的关于同一门科目的教学过程是正常的，没有教学质量上的疏忽事故，学生保证一定的出勤率和学习效率，试卷的出题在难易程度的分布是合理的（正态分布），考试监考评卷工作是公正的。
假设三：
不及格的学生需参加重修考试，所以前两问未考虑重修班。
假设四：
不同学年的不同课程号的成绩可能是全校内选择该课程的学生的成绩（总体），也可能是只选取了部分选择该课程的班级学生的考试成绩（一个样本），在此文中一致认定为是选取的全校选择该课程的学生总体的考试成绩。
假设五：
不同课程之间是相互独立的，即不同科目的考试成绩是独立的；不同课程的学习难易程度对不同班级的学生差别不明显。
3、符号说明
N（μ,σ^2）:
表示样本数据服从均值为μ，方差为σ^2的正态分布；
H:
方差已知时，正态总体均值的假设检验的返回值；
P：
假设检验的P值；
CI：
显著性水平α=0.05时，对应的置信区间；
H0：
假设检验的原假设；
H1：
备择假设；
μi：
选取的不同课程的考试成绩的均值；
S:
样本的标准差；
：
总体的方差；
n:
样本数量；
:
选取的独立样本变量；
:
经过模型转换后学生的考试成绩；
：
学生的课程学分绩点；
：
教师同时教多门课程时的评价指标；
：
不同课程的权重；
：
不同课程对应的学分；
：
学生在某课程下经过标准分绩点转换后的该课程的考试成绩；
i=课程号182,184,194,197，...；
j=1,2,……,n；
4、问题的分析与模型的建立
4.1针对同一学年的同一门课程，分析不同学院、不同班级和不同教师之间的差异
首先在这里，我确定选取了2010——2011学年的课程号为182的科目成绩进行分析，可以认为大量的学生成绩近似服从了正态分布模型，所以我先求出了182号课程样本总体的均值和方差；然后分析了不同学院、不同班级的考试成绩的均值和方差；最后分析了同一个老师不同班级和不同老师之间的考试成绩的均值和方差。
因为附件1给的重要的数据只有学生的考试成绩，所以我把比较不同班级的考试成绩的均值和方差作为评估指标是合适的，并且满足假设后的题目要求，可以分析出各班的成绩差异和老师的教学质量的差异。
4.2针对同一学年的成绩数据，分析不同学院、不同班级和不同课程之间是否具有可比性。
在此文中，我仍然选取的是2010——2011学年的课程号为182,184,194,197来进行分析。
这时我选择标准分绩点转换法。
4.2.1参数模型估计
因为选择上述课程的学生数量较多，仍认为每个科目的考试成绩近似服从正态分布模型，在不同班级之间认为学生对不同科目的学习理解能力大致也服从一个正态分布，那么不同课程之间考试成绩的方差在一个很小的范围区间变动，近似认为相等，来比较方差未知但认为相等时，2个课程成绩正态分布的样本均值，以判断不同课程是否具有可比性。
4.2.2非参数模型估计
经过偏斜度和峰度的计算验证，有的课程成绩并不满足近似服从正态分布的拟合检验。
那么此时可以不再用参数估计模型来比较不同课程；可以用秩和检验来验证2个总体的差异是否明显。
4.2.3标准分绩点转换法
学生成绩分布不是正态分布，我们通过课程总体的μ，σ将班级考试成绩转换成正态分布型，称为标准分绩点转换。
标准分的转换计算公式：
；（*）
由数理统计理论可知，原来不是正态分布的学生科目的考试成绩，经过上式的转换后学生的标准分的均值为0，方差为1，服从标准正态分布N（0,1）。
转换后的学生标准分不改变原来的排名位置，但其中心同一致性的移向同一水平，使得比较同一门课程多位教师授课的教学质量和不同课程之间的标准分具有一定的可比性。
4.3建立合适的数学模型，对教师的教学质量做出合理的评价。
因为附件1只给出了学生在不同课程的考试成绩，那么就只能建立以学生成绩是否优异为评价指标的模型。
现在高校里通用的学分绩点制，来考察学生的综合学习成绩，本文给出了标准分型的课程绩点表示法，来重新统计分析学生的考试成绩分布情况，比较同一门课程多位教师授课的教学质量。
5、模型的分析与求解
5.1问题1的分析求解
5.1.1针对2010-2011学年的182号课程，不同学院不同班级的成绩
图5-12010——2011学年182号课程的不同班级的平均成绩
图5-2182号课程1——234班方差排序描点绘图
表5-12010-2011学年课程号182，不同学院、班级的成绩数据
2010-2011学年课程号182的同一门课，不同学院教师班级的成绩数据
班级号
人数
平均分
方差
标准差
教师编号
1
34
71.7941
249.4412
15.7937
48
2
32
71.4375
319.8024
17.883
3
31
75.3226
386.8258
19.6679
4
36
68.1667
510.3143
22.5901
21
33
78.4545
108.3807
10.4106
42
22
32
73.875
201.4032
14.1917
23
32
78.1875
141.0605
11.8769
24
34
73.4706
306.7415
17.514
41
32
73.0625
168.3831
12.9763
69
42
34
68.9118
349.7193
18.7008
29
43
32
73
159.0968
12.6134
44
33
70.6061
196.7462
14.0266
69
45
31
69.6129
168.1118
12.9658
46
35
75.9143
152.6101
12.3535
29
47
32
64.5938
246.7651
15.7088
69
48
33
75.3333
218.7292
14.7895
29
111
36
75.6389
233.4373
15.2787
51
112
33
76.4545
118.1307
10.8688
25
151
34
72.1471
317.5838
17.8209
152
37
68.4595
306.4575
17.5065
171
36
59.5833
320.7643
17.9099
2
172
33
55.3333
458.2292
21.4063
181
33
77.6061
321.7462
17.9373
182
33
80.6667
349.6667
18.6994
231
36
75.6667
234.8
15.3232
65
232
34
70.7647
162.3066
12.74
233
36
72.8333
237.2286
15.4022
234
36
75.2778
154.3778
12.4249
运用数理统计知识，求出182号课程总体的均值
=
=72.7875,
=16.4773,
^2=271.50;从图5-1和图5-2可以看出，大部分班级的成绩平均值在围绕总体均值μ0上下浮动，变化不太大，而有几个班的成绩波动较大。
由于班级人数都大于30，所以应用相关统计理论进行假设检验：
原假设H0:
抽检的班级的均分μ=
;备择假设H1：
抽检的班级的均分μ≠
；
标准差σ已知,拒绝域为
取
n为每个班级检验时的人数，表格中已列出；
，则检验统计量
（平均分≥总体均值的班级不必再检验，这里只给出低于70分的）
表5-2部分较低均分的班级的假设检验结果
均值低于70的班级均值的假设检验（α=0.05）
班级号
H值
P概率值
置信区间
4
0
0.0924
62.78
73.55
42
0
0.1702
63.37
74.45
47
1
0.0049
58.89
70.3
152
0
0.1101
63.15
73.77
171
1
≈0
54.2
64.97
172
1
≈0
49.71
60.96
那么当H=0时，接受原假设，即认为抽查到的班级的成绩均值与总体是相等的，达到了平均水平；当H=1时，拒绝原假设，即认为抽查到的班级的成绩平均与总体不等，没达到平均水平。
结论1：
如班级号47,171,172班的平均分与总体均值存在差异较大,并且方差波动很大，因此不能认为上述班级的考试成绩达到了课程总体的平均水平。
除了上述之外的其他学院的所属不同班级，认为达到或超过了平均水平。
5.1.2针对2010-2011学年的182号课程，不同教师情况下各班的成绩
检验原理与5.1.1所述相同，原假设与备择假设，检验统计量等都参见上文。
表5-3不同教师所教班级的正态均值假设检验
班级编号
H值
P值
置信区间
原假设结论
教师编号
备注
学院编号
1--4
0
0.3859
68.7492
74.3485
接受
48
A
21--24
1
0.0267
73.1562
78.798
拒绝
42
高于均值分数
B
231--234
0
0.5204
70.9666
76.3855
接受
65
C
171--182
1
0.00095
65.3249
70.8825
拒绝
2
低于均值分数
D
41、44、45、47
1
0.023
66.6228
72.3304
拒绝
69
低于均值分数
E
42、43、46、48
0
0.7195
70.5093
76.0877
接受
29
F
112、151、152
0
0.717
69.0359
75.3679
接受
25
G
111
0
0.3595
69.9623
80.5782
接受
51
H
同理当H=0时，接受原假设，即认为抽查到的教师所教的班级成绩均值与总体是相等的，达到了平均水平；当H=1时，拒绝原假设，即认为抽查到的教师所教的班级成绩平均与总体不等，高于或低于总体评均水平。
结论2：
教师编号为48,65,29,25,51的五位老师教学质量是在平均水平左右；教师号42的老师教学质量高于平均水平；2,69号两个老师的教学质量低于平均水平。
这与5.1.1中的分析结果可以相互印证的，47班是69号老师，171、172班是2号老师。
结论3：
对于同样的182课程，学院B教学质量最好；学院F,G,C教学质量较好；学院A，H教学质量中等；学院D,E教学水平落后于其他学院。
5.2问题2（是否有可比性）的分析求解
5.2.1不同课程总体的参数模型法
认为所选取的课程182,184,194,197成绩之间相互独立，分别是近似的正态分布，学生考试成绩的方差认为相等，都是σ^2，那么原假设H0:
μ1=μ2=μ3=μ4；备择假设H1：
μ1,μ2,μ3,μ4两两不全相等
统计量选择
；其中
；显著性水平α=0.05。
用软件的检验如下，
表5-4不同课程正态总体的样本均值检验
课程号
H值
P值
182、184
0
0.6936
182、194
1
0
182、197
1
0
184、194
1
0
184、197
1
0
194、197
1
0
当H=0时，可接受原假设；当H=1时，拒绝原假设；
结论4：
在不同班级学生对不同课程的学习能力认为均等，且考试成绩总体的方差近似相同的假设下，不同学院的班级在不同课程整体上的考试成绩均值不相同，即不具有可比性，这与人的常识是一致的。
（182与184第一次的检验因为它们人数相差众多，不具有参考价值）
5.2.2不同课程总体的非参数模型法
当所选课程成绩并不满足较为严格的服从正态分布的拟合检验。
那么此时可以不再用参数估计模型来比较不同课程；可以用秩和检验来验证2个总体的差异是否明显。
表5-5所选的4个课程的正态分布的拟合情况
正态分布拟合程度指标
课程号
学生数
偏斜度
峰度
备注
182
1068
-0.9923
3.7646
正态分布偏斜度为0
184
2879
-1.0615
4.2366
194
2879
-0.4856
2.555
197
2850
-0.9281
3.9385
表5-6所选的4个课程的秩和检验
秩和检验
课程号
H值
P值
样本数
备注：
p值很小近似为0
184、194
1
0
全部学生成绩
184、197
1
0
194、197
1
0
182、184
0
0.2943
182、194
1
0
182、197
1
0
当P≈0，H=1时，两个总体差别显著，分布的不一致很明显。
结论5：
六组秩和检验后的结果对比，虽然182与184号课程的成绩分布有一定的相似性，但因为选择该科的总班级数和学生人数差别很大，所以不具有参考价值，最后结论认为4个课程的不同班级考试成绩没有可比性。
5.2.3使用标准分绩点转换法
经查阅后发现，存在一名教师在不同学院班级教授多门课程的现象，经过标准分绩点向标准正态分布转换，则转换后的不同班级不同课程之间是具有可比性的。
在这里仅以42和48两位教师举例，得出了不同班级关于182,184两门课程的期望和标准差。
μ值较大的表示原来班级对应的课程的成绩较高，σ较小表明分值较为趋向集中，波动范围越小。
表5-7不同的班级、教师，不同科目在标准分绩点转换后比较
不同的学院、班级、教师，不同科目在标准分绩点转换后比较
教师号
σ
μ
课程182班级号
班级
课程184班级编号
μ
σ
42
0.632
0.344
21
266272a
52
0.2395
0.946
1.063
0.0415
24
266270b
61
0.5065
0.753
0.721
0.3278
23
266277c
87
0.5466
0.524
0.862
0.066
22
266275d
90
0.06
0.9874
48
0.959
-0.0603
1
262675e
8
-0.5881
1.26
1.086
-0.0819
2
262670f
18
-0.3584
1.156
1.194
0.1539
3
262677g
35
-0.0692
1.282
1.371
-0.2805
4
262672h
12
-0.5825
1.472
结论6：
对于同一个老师42，a班182课程平均成绩比184课程平均成绩要高；
b班182课程平均成绩比184课程平均成绩要低；
c班182课程平均成绩比184课程平均成绩要低；
d班182课程平均成绩比184课程平均成绩要略高一点；
对于同样的老师48，e班182课程平均成绩比184课程平均成绩要高；
f班182课程平均成绩比184课程平均成绩要高；
g班182课程平均成绩比184课程平均成绩要高；
h班182课程平均成绩比184课程平均成绩要高；
交叉比较：
42号教师所教的a,b,c,d四个班的182课程比48号教师所教的e,f,g,h四个班的184课程的成绩要好；
42号教师所教的a,b,c,d四个班的184课程比48号教师所教的e,f,g,h四个班的182课程的成绩要好；
42号教师所教的c班的182课程比48号教师所教的e,f,g,h四个班中的任意一个的184课程的成绩要好；
......
因此总体上来说对于182和184号课程，教师42的教学成绩都要比较好于48号；
5.3教学质量评估的数学建模
5.3.1为什么采用标准分型的绩点表示法
本题附件只提供了学生的学习成绩，故建立的模型只能是以学生的考试成绩为向导来建立教师的教学质量评价指标。
对于某一门课程的学生群体的考试成绩，由于采用百分制形式，而在高校规定里低于60分是不及格，需要重修的。
在前面的论述以及和相关的拟合图中可以看出，成绩分布并非严格的正态分布，大多数人的成绩集中在60-85之间。
班级学生的考试成绩平均分可以反映出一定的教学质量，但有时只拿简单的平均分来评估教师的教学质量是片面的；而过去使用的4分制（或5分制）绩点表示法（称为段-点型），是把100分离散成5个相应的等级段，与绩点相对应，这样因为绩点跨度大，在一定程度上有失公允，这里不予采用。
另外，国内还有大多高校采用的点-点型的绩点表示法如下
表5-8点-点型学分绩点换算
点-点的绩点表示法
百分制
<60
60-69
70-79
80-89
90-100
等级
不及格
及格
中
良
优
绩点
0
1.0-1.9
2.0-2.9
3.0-3.9
4.0-5.0
与上述2种方法相区别的是，标准分的绩点表示法：
标准分法是连续的，前2种方法都是将考试成绩离散，必然带有误差；标准分的转换计算公式：
；（*）
其中Xi表示某课程学生的考试成绩，μi是该课程教学群体内的平均值，σi表示该课程教学群体内的标准差。
那么学生在标准分绩点转换下的考试成绩
。
由统计知识可知，因为
和
是正的线性关系，所以绩点转换后学生成绩的均值μG=10×μ（
）+70,因此我们也可以只考察成绩向量
的均值来作比较就可以了。
5.3.2单课程评价（某一教师只教一门课程）
采用标准分型的绩点转换后的μ值和σ值得大小作为评价教师教学质量的一个指标，μ值越大表明教师所教的班级转换之前的考试成绩的平均分期望越高，间接表明教师教学质量越好。
这是可以信赖的一个较为均衡的简单指标值。
表5-9课程182标准分转换后的μ（yi）指标
标准分转换后的数据
教师编号
所教班级
转换后μ
转换后σ
样本量
48
1--4
-0.0752
1.1632
都是4个班作为整体
42
21--24
0.1936
0.8405
65
231--234
0.0539
0.8528
2
171--182
-0.2843
1.3221
69
41,44,45,47
-0.201
0.8589
从表5-8看出，μ的大小排序为0.1936>0.0539>-0.0752>-0.201>-0.2843；也即教师号42>65>48>69>2；结论就是教师的教学质量42>65>48
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