125 二项分布及其应用.docx
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125二项分布及其应用
§12.5 二项分布及其应用
1．条件概率及其性质
（1）对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示，其公式为P（B|A）＝（P（A）>0）．
在古典概型中，若用n（A）表示事件A中基本事件的个数，则P（B|A）＝.
（2）条件概率具有的性质：
①0≤P（B|A）≤1；
②如果B和C是两个互斥事件，
则P（B∪C|A）＝P（B|A）＋P（C|A）．
2．相互独立事件
（1）对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A、B是相互独立事件．
（2）若A与B相互独立，则P（B|A）＝P（B），
P（AB）＝P（B|A）P（A）＝P（A）P（B）．
（3）若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
（4）若P（AB）＝P（A）P（B），则A与B相互独立．
3．二项分布
（1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
（2）在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k（k＝0,1,2，…，n），此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B（n，p），并称p为成功概率．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）条件概率一定不等于它的非条件概率．（ × ）
（2）相互独立事件就是互斥事件．（ × ）
（3）对于任意两个事件，公式P（AB）＝P（A）P（B）都成立．（ × ）
（4）二项分布是一个概率分布，其公式相当于（a＋b）n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.（ × ）
（5）袋中有5个小球（3白2黑），现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.（ √ ）
（6）小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝C·（）1·（1－）3－1＝.（ × ）
1．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为（ ）
A．0.12B．0.42C．0.46D．0.88
答案 D
解析 由题意知，甲、乙都不被录取的概率为
（1－0.6）（1－0.7）＝0.12.
故至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.
2．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）
A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576
答案 B
解析 方法一 由题意知K，A1，A2正常工作的概率分别为P（K）＝0.9，P（A1）＝0.8，P（A2）＝0.8，
∵K，A1，A2相互独立，
∴A1，A2至少有一个正常工作的概率为P（A2）＋P（A12）＋P（A1A2）＝（1－0.8）×0.8＋0.8×（1－0.8）＋0.8×0.8＝0.96.
∴系统正常工作的概率为P（K）[P（A2）＋P（A12）＋P（A1A2）]＝0.9×0.96＝0.864.
方法二 A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P（12）＝1－（1－0.8）（1－0.8）＝0.96，故系统正常工作的概率为P（K）[1－P（12）]＝0.9×0.96＝0.864.
3．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．
答案
解析 方法一 设A＝{第一次取到不合格品}，
B＝{第二次取到不合格品}，则P（AB）＝，
所以P（B|A）＝＝＝.
方法二 第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为.
4．（2014·课标全国Ⅱ）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45
答案 A
解析 已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.
题型一 条件概率
例1
（1）从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）等于（ ）
A.B.C.D.
（2）
如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）＝________.
思维点拨 弄清A，B同时发生的事件，并求出其概率．
答案
（1）B
（2）
解析
（1）P（A）＝＝，P（AB）＝＝，
P（B|A）＝＝.
（2）AB表示事件“豆子落在△OEH内”，P（B|A）＝＝＝.
思维升华 条件概率的求法：
（1）利用定义，分别求P（A）和P（AB），得P（B|A）＝.这是通用的求条件概率的方法．
（2）借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n（AB），得P（B|A）＝.
某市准备从7名报名者（其中男4人，女3人）中选3人参加三个副局长职务竞选．
（1）设所选3人中女副局长人数为X，求X的分布列及均值；
（2）若选派三个副局长依次到A，B，C三个局上任，求A局是男副局长的情况下，B局为女副局长的概率．
解
（1）X所有可能的取值为0,1,2,3，且
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
所以随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
故E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
（2）设事件A为“A局是男副局长”，事件B为“B局为女副局长”，则P（A）＝＝，
P（AB）＝＝，
则所求概率为P（B|A）＝＝.
题型二 相互独立事件的概率
例2 （2014·陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量（kg）
300
500
概率
0.5
0.5
作物市场价格（元/kg）
6
10
概率
0.4
0.6
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．
思维点拨
（1）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；
（2）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．
解
（1）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，
∵利润＝产量×市场价格－成本．
∴X所有可能的取值为
500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000，
300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.
则P（X＝4000）＝P（）P（）＝（1－0.5）×（1－0.4）＝0.3，
P（X＝2000）＝P（）P（B）＋P（A）P（）
＝（1－0.5）×0.4＋0.5×（1－0.4）＝0.5，
P（X＝800）＝P（A）P（B）＝0.5×0.4＝0.2，
所以X的分布列为
X
800
2000
4000
P
0.2
0.5
0.3
（2）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i＝1,2,3），由题意知C1，C2，C3相互独立，由
（1）知，
P（Ci）＝P（X＝4000）＋P（X＝2000）＝0.3＋0.5＝0.8（i＝1,2,3），
3季的利润均不少于2000元的概率为
P（C1C2C3）＝P（C1）P（C2）P（C3）＝0.83＝0.512；
3季中有2季的利润不少于2000元的概率为
P（1C2C3）＋P（C1C3）＋P（C1C2）
＝3×0.82×0.2＝0.384，
所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.512＋0.384＝0.896.
思维升华 解答此类问题
（1）首先判断几个事件的发生是否相互独立；
（2）求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
（2014·湖南）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率．
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和均值．
解 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．由题设知P（E）＝，P（）＝，P（F）＝，
P（）＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
（1）记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝，于是P（）＝P（）P（）＝×＝，
故所求的概率为P（H）＝1－P（）＝1－＝.
（2）设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220.因为P（X＝0）＝P（）＝×＝，
P（X＝100）＝P（F）＝×＝，
P（X＝120）＝P（E）＝×＝，
P（X＝220）＝P（EF）＝×＝，
故所求的分布列为
X
0
100
120
220
P
均值为E（X）＝0×＋100×＋120×＋220×＝＝＝140.
题型三 独立重复试验与二项分布
例3 （2014·四川）一款击鼓小游戏的规则如下：
每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比．分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
思维点拨 击鼓游戏为独立重复试验，“击鼓出现音乐”发生的概率服从二项分布．
解
（1）X可能的取值为10,20,100，－200.
根据题意，有
P（X＝10）＝C×（）1×（1－）2＝，
P（X＝20）＝C×（）2×（1－）1＝，
P（X＝100）＝C×（）3×（1－）0＝，
P（X＝－200）＝C×（）0×（1－）3＝.
所以X的分布列为
X
10
20
100
－200
P
（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai（i＝1,2,3），则
P（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝P（X＝－200）＝.
所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
1－P（A1A2A3）＝1－（）3＝1－＝.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
（3）X的均值为
E（X）＝10×＋20×＋100×－200×＝－.
这表明，获得分数X的均值为负，
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
思维升华 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k的三个条件：
①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．
（2013·山东）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；
（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及均值．
解
（1）设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A，B，C，
则P（A）＝××＝，
P（B）＝C2××＝，
P（C）＝C2×2×＝.
（2）X的可能的取值为0,1,2,3.
则P（X＝0）＝P（A）＋P（B）＝，
P（X＝1）＝P（C）＝，
P（X＝2）＝C×2×2×＝，
P（X＝3）＝3＋C2××＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
独立事件概率求解中的易误点
典例：
（12分）某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．
（1）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；
（2）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；
（3）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．
易错分析 解本题第
（2）问易因不明独立事件与独立重复试验的区别，误认为是n次独立重复试验，可导致求得P＝C（）3×（）2＝这一错误结果．
规范解答
解
（1）设X为射手在5次射击中击中目标的次数，
则X～B.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为
P（X＝2）＝C×2×3＝.[2分]
（2）设“第i次射击击中目标”为事件Ai（i＝1,2,3,4,5），“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则
P（A）＝P（A1A2A345）＋P（1A2A3A45）
＋P（12A3A4A5）
＝3×2＋×3×＋2×3＝.[4分]
（3）设“第i次射击击中目标”为事件Ai（i＝1,2,3）．
由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.[5分]
P（ξ＝0）＝P（123）＝3＝；
P（ξ＝1）＝P（A123）＋P（1A23）＋P（12A3）
＝×2＋××＋2×＝；
P（ξ＝2）＝P（A12A3）＝××＝；
P（ξ＝3）＝P（A1A23）＋P（1A2A3）
＝2×＋×2＝；
P（ξ＝6）＝P（A1A2A3）＝3＝.[11分]
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
6
P
[12分]
温馨提醒
（1）正确区分相互独立事件与n次独立重复试验是解决这类问题的关键．独立重复试验是在同一条件下，事件重复发生或不发生．
（2）独立重复试验中的概率公式P（X＝k）＝Cpk（1－p）n－k表示的是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率，p与1－p的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A有k次不发生的概率了.
方法与技巧
1．古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P（B|A）＝＝，其中，在实际应用中P（B|A）＝是一种重要的求条件概率的方法．
2．相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P（AB）＝P（A）P（B）．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．
3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看做是C个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k个A事件与n－k个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk（1－p）n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk（1－p）n－k.
失误与防范
1．运用公式P（AB）＝P（A）P（B）时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．
2．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多（少）的关系，灵活运用对立事件.
A组 专项基础训练
（时间：
45分钟）
1．已知A，B是两个相互独立事件，P（A），P（B）分别表示它们发生的概率，则1－P（A）P（B）是下列哪个事件的概率（ ）
A．事件A，B同时发生
B．事件A，B至少有一个发生
C．事件A，B至多有一个发生
D．事件A，B都不发生
答案 C
解析 P（A）P（B）是指A，B同时发生的概率，1－P（A）·P（B）是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．
2．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车准时到站的概率为，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为（ ）
A.B.
C.D.
答案 C
解析 这个概率是C（）2·＋C（）3＝.
3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是奇数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 D
解析 P（A）＝，P（B）＝，P（）＝，P（）＝.
A，B中至少有一件发生的概率为
1－P（）·P（）＝1－×＝.
4．设随机变量X服从二项分布X～B（5，），则函数f（x）＝x2＋4x＋X存在零点的概率是（ ）
A.B.C.D.
答案 C
解析 ∵函数f（x）＝x2＋4x＋X存在零点，
∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4.
∵X服从X～B（5，），
∴P（X≤4）＝1－P（X＝5）＝1－＝.
5．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 设事件A：
甲实习生加工的零件为一等品；
事件B：
乙实习生加工的零件为一等品，
则P（A）＝，P（B）＝，
所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为
P（A）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）
＝×（1－）＋（1－）×＝.
6．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y.设事件A为“x＋y为偶数”，事件B为“x，y中有偶数，且x≠y”，则概率P（B|A）＝________.
答案
解析 由题知P（A）＝P（x是偶数）·P（y是偶数）＋P（x是奇数）·P（y是奇数）＝×＋×＝.记事件AB表示“x＋y为偶数，x，y中有偶数，且x≠y”即x、y“都是偶数且x≠y”，所以P（AB）＝，
故P（B|A）＝＝.
7．设随机变量X～B（2，p），随机变量Y～B（3，p），若P（X≥1）＝，则P（Y≥1）＝________.
答案
解析 ∵X～B（2，p），
∴P（X≥1）＝1－P（X＝0）＝1－C（1－p）2＝，
解得，p＝.
又Y～B（3，p），
∴P（Y≥1）＝1－P（Y＝0）＝1－C（1－p）3＝.
8．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人，且各人之间互不影响，有下列结论：
①3位病人都被治愈的概率为0.93；
②3人中的甲被治愈的概率为0.9；
③3人中恰有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1；
④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12；
⑤3人中恰好有2人被治愈，且甲被治愈的概率是0.92×0.1.
其中正确结论的序号是________．（把正确的序号都填上）
答案 ①②④
9．（2013·陕西）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及均值．
解
（1）设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，
则P（A）＝＝，P（B）＝＝.
∵事件A与B相互独立，
∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为
P（A）＝P（A）·P（）＝P（A）·[1－P（B）]
＝×＝，
（或P（A）＝＝）．
（2）设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，
则P（C）＝＝，
∵X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为
P（X＝0）＝P（）＝××＝，
P（X＝1）＝P（A）＋P（B）＋P（C）
＝××＋××＋××＝，
P（X＝2）＝P（AB）＋P（AC）＋P（BC）
＝××＋××＋××＝，
P（X＝3）＝P（ABC）＝××＝，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴X的均值E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
10．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：
每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲，乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与均值E（ξ）．
解 依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i＝0,1,2,3,4）．
则P（Ai）＝Ci4－i.
（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为
P（A2）＝C22＝.
（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故
P（B）＝P（A3）＋P（A4）＝C3×＋C4＝.
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
（3）ξ的所有可能取值为0,2,4.
由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故
P（ξ＝0）＝P（A2）＝，
P（ξ＝2）＝P（A1）＋P（A3）＝，
P（ξ＝4）＝P（A0）＋P（A4）＝.
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
故随机变量ξ的均值E（ξ）＝0×＋2×＋4×＝.
B组 专项能力提升
（时间：
30分钟）
11．某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．1
答案 B
解析 设事件A为“该元件的使用寿命
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