理数高考试题答案及解析全国.docx
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理数高考试题答案及解析全国
2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修II）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至
第4页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.
第I卷
注意事项：
全卷满分150分，考试时间120分钟.
考生注意事项：
1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写
清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
．．．．．．．．．
3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
一、选择题
1、复数
1
3i
1
=
i
A2+I
B
2-I
C1+2i
D1-2i
【解析】
1
3i
（
1
3i）（1
i）
2
4i
1
2i，选C.
1
i
（1
i）（1
i）
2
【答案】C
2、已知集合A＝{1.3.
m}，B＝{1，m},A
B＝A,
则m=
A0或3
B0或3
C1或3
D1或3
【解析】因为AB
A,所以B
A,所以m3或m
m.若m3，则
A
{1,3,3},B
{1,3},满足A
B
A.若m
m，解得m0
或m
1.若m
0，则
A
{1,3,0},B
{1,3,0}
，满足
A
B
A.
m
1
，
A
{1,3,1},B
{1,1}
显然不成立，综上
若
m
0或m
3，选B.
【答案】B
3
椭圆的中心在原点，焦距为
4
一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为
A
x2
y2
=1
x2
+
y2
x2
y2
=1
D
x2
+
y2
+
12
B
=1C
+
12
=1
16
12
8
8
4
4
【解析】椭圆的焦距为
4，所以2c
4,c
2因为准线为
x4，所以椭圆的焦点在
x轴上，
第-1-页共11页
且
a2
4，所以a2
4c8，b2
a2
c2
844，所以椭圆的方程为
c
x2
y2
1，选C.
8
4
【答案】C
4已知正四棱柱
ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=
22
E为CC1的中点，则直线
AC1与平面
BED的距离为
A2
B
3
C
2D
1
【解析】连结AC,BD交于点O，连结OE，因为O,E是中点，所以OE//AC1,且
OE
1
AC1，所以AC1//BDE，即直线AC1与平面BED的距离等于点C到平面BED的距
2
离，过
C
做CF
OE于F,则CF即为所求距离
.因为底面边长为
2，高为
2
2，所以
AC
2
2,OC
2,CE
2,OE
2,所以利用等积法得CF
1
，选D.
【答案】D
（5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为
1009999101
（A）（B）（C）（D）
101101100100
【解析】由a5
5,S515,得a1
1,d1，所以an
1（n1）n，所以
1
1
1
1
，
又
anan1
n（n1）n
n1
第-2-页共11页
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
100，选A.
a1a2
a100a101
1
2
2
3
100
101
101
101
【答案】A
（6）△ABC中，AB边的高为CD，若
a·b=0，|a|=1，|b|=2，则
（A）（B）（C）（D）
【解析】在直角三角形中，CB1，CA
2，AB
5,则CD
2
所以
5
ADCA2
CD2
4
4
4
所
以
5
5
AD
4AB
4（a
b）
4a
4b，选D.
5
5
5
5
【答案】D
（7）已知α为第二象限角，
sin
cos
3
，则cos2α=
3
AD
4
即
AB
5
（A）-
5
（B）-5
（C）
5
（D）
5
3
9
9
3
【解析】因为sin
cos
3
1
，所以
所以两边平方得12sincos
3
3
2sincos
2
0，因为已知α为第二象限角，所以sin
0,cos
0，
3
sin
cos
1
2sin
cos
2
5
15
所
以
1
3
，
3
3
c2
co2
sos2
（is
scn）
ios（n）=sic15
3no
5
，选sA.
3
3
3
【答案】A
（8）已知F1、F2为双曲线C：
x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=
（A）
1
3
3
4
（B）
（C）
（D）
4
5
4
5
【解析】双曲线的方程为
x2
y
2
b2,c2
，因为|PF1|=|2PF
2|，所以点
2
1，所以a
2
P在双曲线的右支上，则有
|PF1|-|PF2|=2a=22
所以解得|PF2|=
22，|PF1|=4
2，所以根
第-3-页共11页
（2
2）2
（4
2）2
14
3
据余弦定理得
cosF1PF2
2
2
2
4
2
选C.
4
【答案】C
1
（9）已知x=lnπ，y=log52，z
e2，则
（A）x＜y＜z
（B）z＜x＜y
（C）z＜y＜x
（D）y＜z＜x
【解析】x
ln1，y
1
1
log52
，ze
log25
2
1
2
1，111，所以
e2e
yzx，选D.
【答案】D
（10）已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝
（A）-2或2（B）-9或3（C）-1或1（D）-3或1
【解析】若函数yx33xc的图象与x轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有
一个为0，函数的导数为y'3x23，令y'3x230，解得x1，可知当极大值为
f
（1）2c，极小值为f
（1）c2.由f
（1）2c0，解得c2，由
f
（1）c20，解得c2，所以c2或c2，选A.
【答案】A
（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种
【解析】第一步先排第一列有A336，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，
如图，所以共有6212种，选A.
【答案】A
（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7.动点P从E
3
出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当
点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12（D）10
【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是
平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可.
【答案】B
第-4-页共11页
2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修Ⅱ）
第Ⅱ卷
注意事项：
1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填
写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.
2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，
在试题卷上作答无效
．．．．．．．．.
3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.
二.填空题：
本大题共4小题，每小题
5分，共20分，把答案填在题中横线上.
（注意：
在试题卷上作答无效
）
．．．．．．．．．
（13）若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________.
【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由z3xy得
y
3xz，平移直线y
3x，由图象可知当直线经过点
C（0,1）
时，直线y
3x
z的截距最
大，此时z最小,最小值为z3x
y-1.
【答案】
1
（14）当函数
取得最大值时，x=___________.
【解析】函数为ysixn3coxs2sixn（）
，当0x2
时，
3
x
5
，由三角函数图象可知，当x
，即x
5
3
3
时取得最大值，所以
3
3
2
6
5
x.
6
5
【答案】x
6
（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数
为_________.
第-5-页共11页
【解析】因为展开式中的第
3项和第
7项的二项式系数相同，即
Cn2
Cn6，所以n8，
所以展开式的通项为
Tk1
C8kx8k
（1）k
C8kx82k
，令82k
2，解得k
5，所以
T6C85
（1）2，所以
1的系数为C85
x
56.
x
x2
【答案】56
（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，
BAA1=CAA1=60°
则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.
【解析】如图
设
AA1
aAB
bAC
c
1，则
设棱长为
AB1
ab,BC1
aBCac-b，因为底面边长和侧棱长都相等，且
BAA1
CAA1600所以ab
ac
b
c
1
，所以AB1
（ab）2
3，
2
BC1
（ac-b）2
2
，AB1
BC1
（a
b）
（a
c-b）
2，设异面直线的夹角为
AB1
BC1
2
6
，所以cos
.
AB1BC1
2
3
3
【答案】
6
3
三.解答题：
本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分10分）（注意：
在试卷上作答无效）
．．．．．．．．．．．
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c.
第-6-页共11页
（18）（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
．．．．．．．．．
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上
的一点，PE=2EC.
（Ⅰ）证明：
PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.
第-7-页共11页
19.（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
．．．．．．．．．
乒乓球比赛规则规定：
一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发
球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球.（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
第-8-页共11页
（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.
（20）（本小题满分12分）（注意：
在试题卷上作答无效）
．．．．．．．．．
设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.
21.（本小题满分12
分）（注意：
在试卷上作答无效
）
．．．．．．．．
已知抛物线C：
y=（x+1）2与圆M：
（x-1）2+（y
1
）2=r2（r＞0）有一个公共点，且在
A处两曲
2
线的切线为同一直线
l.
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，
m、n的交点为D，求D到l的距离.
第-9-页共11页
22（本小题满分
12分）（注意：
在试卷上作答无效
）
．．．．．．．．
函数f（x）=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：
x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn（xn,f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标.
（Ⅰ）证明：
2xn＜xn+1＜3；
（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式.
第-10-页共11页
第-11-页共11页
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