平行四边形知识点及证明题.docx
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平行四边形知识点及证明题
平行四边形知识点及证明题
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第18章平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结
•正确理解定义
（1）定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个
判定方法.
（2）
，读作“平
表示方法：
用“匸”表示平行四边形，例如：
平行四边形ABC［记作二ABCD行四边形ABCD.
2.熟练掌握性质
平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的.
（1）
角：
平行四边形的邻角互补，对角相等;
（2）
边：
平行四边形两组对边分别平行且相等;
（3）
对角线：
平行四边形的对角线互相平分；
（4）面积：
①S底高=ah;
②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积
只相等的三
角形.
3.平行四边形的判别方法
①定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形四边形是平行四边形
②方法1：
两组对角分别相等的
③方法2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形四边形是平行四边形
④方法3：
对角线互相平分的
⑤方法4：
一组平行且相等的四边形是平行四边形
、.几种特殊四边形的有关概念
（1）矩形：
有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩平行四边形；②
形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义,个角是直角，两者缺一不可.
要注意把握：
①
（2）菱形：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形,形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义,组邻边相等，两者缺一不可.
它是研究菱形的基础,
要注意把握：
①
它既可以看作是菱
平行四边形；②
（3）正方形：
有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形,边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是
它是最特殊的平行四种非常完美的图形.
2•几种特殊四边形的有关性质
（1）矩形：
①边：
对边平行且相等；②角：
对角相等、邻角互补；
③对角线：
对角线互相平分且相等；④对称性：
轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）.
④对称性：
轴对称图形
（2）菱形：
①边：
四条边都相等；②角：
对角相等、邻角互补;
③对角线：
对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角;
（对角线所在直线，2条）.
（3）正方形：
①边：
四条边都相等；②角：
四角相等;
③对角线：
对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为
45°;④对称性:
轴对称图
形（4条）.
3.几种特殊四边形的判定方法
（1）矩形的判定：
满足下列条件之一的四边形是矩形
①有一个角是直角的平行四边形;等
②对角线相等的平行四边形;
③四个角都相
（2）菱形的判定：
满足下列条件之一的四边形是矩形
①有一组邻边相等的平行四边形;等.
②对角线互相垂直的平行四边形;
③四条边都相
（3）正方形的判定：
满足下列条件之一的四边形是正方形.
1有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形
2有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形.
④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形;
4.几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析
（1）识别矩形的常用方法
①先说明四边形ABCDfe平行四边形,
再说明平行四边形
ABCD勺任意一个角为直角.
②先说明四边形ABCDfe平行四边形,
再说明平行四边形
ABCD勺对角线相等.
③说明四边形ABCD勺三个角是直角.
（2）识别菱形的常用方法
1先说明四边形ABCDfe平行四边形，再说明平行四边形ABCD勺任一组邻边相等.
2先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直.
3说明四边形ABCD勺四条相等.
（3）识别正方形的常用方法
①先说明四边形ABCCfe平行四边形，再说明平行四边形ABCD勺一个角为直角且有一组邻边相等.
先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等.
先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等.
先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD勺一个角为直角.
5.
几种特殊四边形的面积问题
设矩形ABCD勺两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab.
②设菱形ABCD勺一边长为a,高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，
1
贝US菱形=-ab.
2
3设正方形ABCD勺一边长为a，则S正方形=a2;若正方形的对角线的长为a，则S正方
形=》2
平行四边形
矩形
菱形
正方形
图形
TL
1.对边
性质
.对边
1.对边
1.对边
且；
且；
且四
.对角：
2.对角
都：
邻角；
且四个角都是
2.对角
.对角线
7
3.对角线
1
2
3.对角线
7
条边
3
且四条边
都；
2.对角
且四个角都
且每
条对角线
3.对角线
且每条对角
\
面积
\
*
\
证明题
1.如图中占
I八，
BD的
在菱形ABCD中，/A=60°,ab=4,O为对角线过0点作OE1AB垂足为E.
⑴求/ABD的度数;
（2）求线段BE的长.
.60
A
2.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点0，点E、F分别为边AB、AD的中点，连接EF、0E、0F.求证：
四边形是菱
3.
连接
在正方形ABC冲，AC为对角线，E为AC上一点，
EBE
（1）求证：
△DEC
（2）延长BE交AD于F,当/BED120。
时，求/EFD的度数.
4.已知：
如图，在正方形ABCDK点E、F分别在BC和
CDLh,AE=AF.
（1）求证：
BE=DF；
（2）连接AC交EF于点Q延长OC至点M使OM=OA
5.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，
点GE分别是边ABBC的中点，/AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
（1）证明：
/BA匡/FEC
（2）证明：
△AGE^AECF
（3）求厶AEF的面积.
6.已知梯形ABCD中，AD//BC,ABAD（如图所示）・BAD的平分线AE交BC于点E，联结DE.
（1）在图中，用尺规作BAD的平分线AE（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形
⑵若ABC60，EC2BE，求证：
EDDC.
7.（201
0湖北省黄石市）如图，正方形ABCD中，
E、F
分别是
ABBC边上的点，且
AEBF.求证AF丄DE.
8.如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，EF为折痕.
（1）求证:
△FGCEBC；
（2）若AB8,AD4，求四边形ECGF
（阴影部分）的面积
F
9.如图，在△ABC中,D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CEBF连接BECF.
（1）求证：
△BDFCDE
（2）若AB=AC求证：
四边形BFCE是菱形・“
10.如图，在矩形ABCD（AB使AB边落在对角线AC上,点B的对应点为F,同时将△CEG沿EG对折，使CE边落在EF所在直线上，点C的对应点为H.
（1）证明:
AF//HG（图
（1））;
（2）证明：
△AEF^AEGH（图
（1））;
（3）如果点C的对应点H恰好落在边AD上（图
（2））•求此时/BAC的大小.
11.如图，梯形ABCDh,AB//CDAC平分/BADCE//AD交AB于点E.求证：
四边形AECD是菱形.
12.求证：
矩形的对角线相等.
13.如图，在口ABC［中,EF//BD?
分别交BCCD于点P、Q
分别交ABAD的延长线于点E、F.已知BE=BP
求证：
（1）ZE=ZF.
（2）□ABCD1菱形.
14.
010四川省眉山市）如图，O为矩形ABCD寸角线的交
（2
点，DE/ACCE//BD
（1）试判断四边形OCE啲形状，并说明理由;
（2）若AB=6，BC=8,求四边形OCE啲面积.
E
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