平行四边形知识点及证明题.docx
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平行四边形知识点及证明题
平行四边形知识点及证明题
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第18章平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结
•正确理解定义
(1)定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性,它既是平行四边形的一条性质,又是一个
判定方法.
(2)
,读作“平
表示方法:
用“匸”表示平行四边形,例如:
平行四边形ABC[记作二ABCD行四边形ABCD.
2.熟练掌握性质
平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的.
(1)
角:
平行四边形的邻角互补,对角相等;
(2)
边:
平行四边形两组对边分别平行且相等;
(3)
对角线:
平行四边形的对角线互相平分;
(4)面积:
①S底高=ah;
②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积
只相等的三
角形.
3.平行四边形的判别方法
①定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形四边形是平行四边形
②方法1:
两组对角分别相等的
③方法2:
两组对边分别相等的四边形是平行四边形四边形是平行四边形
④方法3:
对角线互相平分的
⑤方法4:
一组平行且相等的四边形是平行四边形
、.几种特殊四边形的有关概念
(1)矩形:
有一个角是直角的平行四边形是矩形,它是研究矩形的基础,它既可以看作是矩平行四边形;②
形的性质,也可以看作是矩形的判定方法,对于这个定义,个角是直角,两者缺一不可.
要注意把握:
①
(2)菱形:
有一组邻边相等的平行四边形是菱形,形的性质,也可以看作是菱形的判定方法,对于这个定义,组邻边相等,两者缺一不可.
它是研究菱形的基础,
要注意把握:
①
它既可以看作是菱
平行四边形;②
(3)正方形:
有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形,边形,它既是平行四边形,还是菱形,也是矩形,它兼有这三者的特征,是
它是最特殊的平行四种非常完美的图形.
2•几种特殊四边形的有关性质
(1)矩形:
①边:
对边平行且相等;②角:
对角相等、邻角互补;
③对角线:
对角线互相平分且相等;④对称性:
轴对称图形(对边中点连线所在直线,2条).
④对称性:
轴对称图形
(2)菱形:
①边:
四条边都相等;②角:
对角相等、邻角互补;
③对角线:
对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角;
(对角线所在直线,2条).
(3)正方形:
①边:
四条边都相等;②角:
四角相等;
③对角线:
对角线互相垂直平分且相等,对角线与边的夹角为
45°;④对称性:
轴对称图
形(4条).
3.几种特殊四边形的判定方法
(1)矩形的判定:
满足下列条件之一的四边形是矩形
①有一个角是直角的平行四边形;等
②对角线相等的平行四边形;
③四个角都相
(2)菱形的判定:
满足下列条件之一的四边形是矩形
①有一组邻边相等的平行四边形;等.
②对角线互相垂直的平行四边形;
③四条边都相
(3)正方形的判定:
满足下列条件之一的四边形是正方形.
1有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形
2有一组邻边相等的矩形;③对角线互相垂直的矩形.
④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形;
4.几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析
(1)识别矩形的常用方法
①先说明四边形ABCDfe平行四边形,
再说明平行四边形
ABCD勺任意一个角为直角.
②先说明四边形ABCDfe平行四边形,
再说明平行四边形
ABCD勺对角线相等.
③说明四边形ABCD勺三个角是直角.
(2)识别菱形的常用方法
1先说明四边形ABCDfe平行四边形,再说明平行四边形ABCD勺任一组邻边相等.
2先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明对角线互相垂直.
3说明四边形ABCD勺四条相等.
(3)识别正方形的常用方法
①先说明四边形ABCCfe平行四边形,再说明平行四边形ABCD勺一个角为直角且有一组邻边相等.
先说明四边形ABCD为平行四边形,再说明对角线互相垂直且相等.
先说明四边形ABCD为矩形,再说明矩形的一组邻边相等.
先说明四边形ABCD为菱形,再说明菱形ABCD勺一个角为直角.
5.
几种特殊四边形的面积问题
设矩形ABCD勺两邻边长分别为a,b,则S矩形=ab.
②设菱形ABCD勺一边长为a,高为h,则S菱形=ah;若菱形的两对角线的长分别为a,b,
1
贝US菱形=-ab.
2
3设正方形ABCD勺一边长为a,则S正方形=a2;若正方形的对角线的长为a,则S正方
形=》2
平行四边形
矩形
菱形
正方形
图形
TL
1.对边
性质
.对边
1.对边
1.对边
且;
且;
且四
.对角:
2.对角
都:
邻角;
且四个角都是
2.对角
.对角线
7
3.对角线
1
2
3.对角线
7
条边
3
且四条边
都;
2.对角
且四个角都
且每
条对角线
3.对角线
且每条对角
\
面积
\
*
\
证明题
1.如图中占
I八,
BD的
在菱形ABCD中,/A=60°,ab=4,O为对角线过0点作OE1AB垂足为E.
⑴求/ABD的度数;
(2)求线段BE的长.
.60
A
2.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点0,点E、F分别为边AB、AD的中点,连接EF、0E、0F.求证:
四边形是菱
3.
连接
在正方形ABC冲,AC为对角线,E为AC上一点,
EBE
(1)求证:
△DEC
(2)延长BE交AD于F,当/BED120。
时,求/EFD的度数.
4.已知:
如图,在正方形ABCDK点E、F分别在BC和
CDLh,AE=AF.
(1)求证:
BE=DF;
(2)连接AC交EF于点Q延长OC至点M使OM=OA
5.如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,
点GE分别是边ABBC的中点,/AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)证明:
/BA匡/FEC
(2)证明:
△AGE^AECF
(3)求厶AEF的面积.
6.已知梯形ABCD中,AD//BC,ABAD(如图所示)・BAD的平分线AE交BC于点E,联结DE.
(1)在图中,用尺规作BAD的平分线AE(保留作图痕迹,不写作法),并证明四边形
⑵若ABC60,EC2BE,求证:
EDDC.
7.(201
0湖北省黄石市)如图,正方形ABCD中,
E、F
分别是
ABBC边上的点,且
AEBF.求证AF丄DE.
8.如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,EF为折痕.
(1)求证:
△FGCEBC;
(2)若AB8,AD4,求四边形ECGF
(阴影部分)的面积
F
9.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E、F分别在AD及其延长线上,CEBF连接BECF.
(1)求证:
△BDFCDE
(2)若AB=AC求证:
四边形BFCE是菱形・“
10.如图,在矩形ABCD(AB使AB边落在对角线AC上,点B的对应点为F,同时将△CEG沿EG对折,使CE边落在EF所在直线上,点C的对应点为H.
(1)证明:
AF//HG(图
(1));
(2)证明:
△AEF^AEGH(图
(1));
(3)如果点C的对应点H恰好落在边AD上(图
(2))•求此时/BAC的大小.
11.如图,梯形ABCDh,AB//CDAC平分/BADCE//AD交AB于点E.求证:
四边形AECD是菱形.
12.求证:
矩形的对角线相等.
13.如图,在口ABC[中,EF//BD?
分别交BCCD于点P、Q
分别交ABAD的延长线于点E、F.已知BE=BP
求证:
(1)ZE=ZF.
(2)□ABCD1菱形.
14.
010四川省眉山市)如图,O为矩形ABCD寸角线的交
(2
点,DE/ACCE//BD
(1)试判断四边形OCE啲形状,并说明理由;
(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCE啲面积.
E