A [由事件的包含关系知A⊆B.]
2．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则（ ）
A．A⊆B B．A⊇B
C．A与B互斥D．A与B互为对立事件
C [由互斥事件的定义知，A、B互斥．]
3．若A与B是互斥事件，则有（ ）
A．P（A）＋P（B）＜1
B．P（A）＋P（B）＞1
C．P（A）＋P（B）＝1
D．P（A）＋P（B）≤1
D [A、B可能对立，因此P（A）＋P（B）≤1.]
互斥事件与对立事件的判定
【例1】 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：
（1）A与C；
（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.
[思路探究]
[解]
（1）由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
（2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．
（3）事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．
（4）事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
（5）由（4）的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
互斥事件和对立事件的判定方法
（1）利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件所包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，明晰它们对事件结果的影响.
（2）利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A，B.
①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅；
②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.
1．一个射手进行一次射击，有下面四个事件：
事件A：
命中环数大于8；事件B：
命中环数小于5；事件C：
命中环数大于4；事件D：
命中环数不大于6.则（ ）
A．A与D是互斥事件 B．C与D是对立事件
C．B与D是互斥事件D．以上都不对
A [由互斥、对立事件的定义可判断A选项正确．]
事件的关系及运算
【例2】 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
（1）请列举出符合包含关系、相等关系的事件；
（2）利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
[解]
（1）因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.
（2）因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6（或D2＝C4＋C5＋C6）．
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
1．两个事件之间的关系有包含关系、相等关系、互为互斥事件、互为对立事件，判断两个事件的关系，只需要根据这些关系的定义进行判断即可.
2．进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运算用韦恩图分析事件．
2．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
（1）事件D与A，B是什么样的运算关系？
（2）事件C与A的交事件是什么事件？
[解]
（1）对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.
（2）对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球，或2个红球、1个白球，或3个红球，故C∩A＝A.
互斥事件与对立事件的概率公式及应用
[探究问题]
1．在同一试验中，对任意两个事件A、B，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）一定成立吗？
[提示] 不一定，只有A与B互斥时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）才成立．
2．若P（A）＋P（B）＝1，则事件A与事件B是否一定对立？
试举例说明．
[提示] A与B不一定对立．例如：
掷一枚均匀的骰子，记事件A为出现偶数点，事件B为出现1点或2点或3点，则P（A）＋P（B）＝1，但A、B不对立．
【例3】 在数学考试中，小明的成绩在90分（含90分）以上的概率是0.18，在80分～89分（包括89分，下同）的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：
（1）小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；
（2）小明数学考试及格的概率（60分及60分以上为及格）．
[思路探究] 小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80分～89分”“90分以上”的并事件，小明数学考试及格可看作是“60分～69分”“70分～79分”“80分～89分”“90分以上”这几个彼此互斥事件的并事件，又可看作是“不及格”这一事件的对立事件．
[解] 分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”在“60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥．
（1）小明的成绩在80分以上的概率是
P（B∪C）＝P（B）＋P（C）＝0.18＋0.51＝0.69.
（2）法一：
小明数学考试及格的概率是
P（B∪C∪D∪E）＝P（B）＋P（C）＋P（D）＋P（E）＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
法二：
小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.
1．（变结论）本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率．
[解] 分别记小明的成绩“在90分以上”，“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”在“60分以下”为事件A、B、C、D、E，则这五个事件彼此互斥．
∴小明成绩在80分以下的概率是：
P（C∪D∪E）＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31.
2．（变条件）一盒中装有各种色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出的1球是红球或黑球或白球的概率．
[解] 法一：
（利用互斥事件求概率）
记事件A1＝{任取1球为红球}，
A2＝{任取1球为黑球}，
A3＝{任取1球为白球}，
A4＝{任取1球为绿球}，
则P（A1）＝
，P（A2）＝
，
P（A3）＝
，P（A4）＝
.
根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得
（1）取出1球为红球或黑球的概率为
P（A1∪A2）＝P（A1）＋P（A2）＝
＋
＝
.
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝
＋
＋
＝
.
法二：
（利用对立事件求概率）
（1）由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为
P（A1∪A2）＝1－P（A3∪A4）＝1－P（A3）－P（A4）
＝1－
－
＝
＝
.
（2）A1∪A2∪A3的对立事件为A4.
所以P（A1∪A2∪A3）＝1－P（A4）＝1－
＝
.
1．只有当A、B互斥时，公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）才成立；只有当A、B互为对立事件时，公式P（A）＝1－P（B）才成立．
2．复杂的互斥事件概率的求法有两种：
一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式P（A）＝1－P（
）求解．
（教师独具）
1．本节课的重点是了解事件间的包含关系和相等关系．理解互斥事件和对立事件的概念及关系，难点是了解并利用两个互斥事件的概率加法公式解题．
2．本节课要掌握以下几方面的规律方法
（1）判断两事件互斥、对立的两个步骤．
（2）事件间运算的方法．
（3）用概率加法公式解题的步骤及求复杂事件概率的两种方法．
3．本节课的易错点
（1）混淆互斥、对立事件概念致错．
（2）分不清事件间的关系而错用公式导致解题失误．
1．思考辨析
（1）互斥事件一定是对立事件．（ ）
（2）事件A与B的并事件的概率一定大于事件A的概率．（ ）
（3）若P（A）＋P（B）＝1，则事件A与B一定是对立事件．（ ）
[答案]
（1）×
（2）× （3）×
2．P（A）＝0.1，P（B）＝0.2，则P（A∪B）等于（ ）
A．0.3 B．0.2
C．0.1D．不确定
D [因为A与B的关系不确定，故P（A∪B）的值不能确定．]
3．一箱灯泡有50个，合格率为90%，从中任意拿一个，它是次品的概率是（ ）
A．10%B．90%
C．20%D．100%
A [从中任意拿一个，不是合格品就是次品，两者必有一个发生，而且也只能有一个发生，符合对立事件的定义，因此运用对立事件的概率加法公式得P（次品）＝1－P（合格）＝1－90%＝10%.]
4．从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
（3）“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．
[解]
（1）是互斥事件，不是对立事件．理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．
（2）既是互斥事件，又是对立事件．理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．
（3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
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