学年天津市静海县第一中学高三月考数学理详细答案版.docx

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学年天津市静海县第一中学高三月考数学理详细答案版

2016-2017学年天津市静海县第一中学高三12月月考数学（理）

一、选择题：

共8题

1．设全集,集合,则

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】此题考查了补集及其运算，并集及其运算，以及交集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键；由得，得，故

，故，故选B.

2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为

A.       B.    C.   D.

【答案】A

【解析】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键；作出不等式组对于的平面区域如图：

，

由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线截距最大，此时最大，由得即,此时，故选A.

3．已知是定义在上的偶函数,且以2为周期,则“为上的增函数是“为上的减函数”的

A.既不充分也不必要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.充要条件

【答案】D

【解析】本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由那个条件到那个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误；是定义在上的偶函数，若为上的增函数，则为上是减函数，又是定义在上的以为周期的函数，且与相差两个周期，两区间上的单调性一致，所以可以得出为上的减函数，故充分性成立．若为上的减函数，同样由函数周期性可得出为上是减函数，再由函数是偶函数可得出为上的增函数，故必要性成立．综上，“为上的增函数”是“为上的减函数”的充要条件．故选D.

4．已知双曲线的一条渐近线过点,且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上,则等于

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题；由双曲线的渐近线为，又因为一条渐近线过点，得a=2，故，即，则，故选B.

5．已知为等差数列,其公差为,且是与的等比中项,则的值为

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】本题主要考查了等差数列，等比数列的定义及性质，注重基础的考查，难度一般；由题意可得，解得，则，故选A.

6．已知为单位向量,且,则在上的投影为

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】本题考查了求一向量在另一向量上的投影问题，解题时应根据投影公式进行计算即可，是基础题；由，两边同时平方得，则，由射影的定义可得在上的投影为

，故选C.

7．已知是内的一点（不含边界）,且,若的面积分别是,记,则的最小值为

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式的应用，属于中档题；∵，，

∴，∴．

∵=1+x+y+z．

∴，

即的最小值为36，故选：

C.

8．函数,则下列说法中正确命题的个数是

①函数有个零点;

②若时,函数恒成立,则实数的取值范围是;

③函数的极大值中一定存在最小值;

④,对一切恒成立.

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】本题以命题的真假判断为载体考查了函数的零点，函数恒成立问题，函数的极值，是函数图象和性质的综合应用，难度较大，属于难题；函数的图象如下图所示：

∵函数与的图象只有两个公共点，故函数

有个零点，故①错误；

函数的极大值点坐标中，横纵坐标积最大的为点，

若函数恒成立，则，故实数的取值范围是，故②正确；函数的极大值中一定不存在最小值，故③错误；

当时，成立．

假设时，成立．

则时，

，

即此时，仍成立，

故，（），对于一切恒成立，故④正确；故选B.

二、填空题：

共6题

9．设为虚数单位,若,则          .

【答案】5

【解析】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题；由，则，则，

故答案为.

10．直线与曲线所围成的封闭图形的面积为       .

【答案】

【解析】本题考查了利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数；直线与曲线联立可得交点坐标为，，故直线与曲线所围成的封闭图形的面积为

，故答案为.

11．过点M且被圆截得弦长为8的直线的方程为          .

【答案】或

【解析】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及直线的斜截式方程，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相交时，常常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题；由圆的方程，得到圆心坐标为，半径，

∵直线被圆截得的弦长为，

∴弦心距，

若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然满足题意；

若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为，

∴所求直线的方程为，

∴圆心到所设直线的距离，

解得：

，此时所求方程为，即，

综上，此弦所在直线的方程为或．

故答案为：

或．

12．如图,已知,,,,则         .

【答案】3

【解析】本题考查三角形中边长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理和余弦定理的合理运用；

∵，，，

∴，

∴，

∴，

∴，解得或（舍）．

故答案为3.

13．已知圆,抛物线,过圆心作斜率大于的直线,与圆和抛物线共有个交点,自左至右记为.如果的长构成等差数列,则直线的斜率为          .

【答案】

【解析】本题考查了圆的标准方程、等差的转化、弦长公式，有一定的思维难度和计算难度，属于中档题；∵圆，∴,圆心，半径，．∵线段的长按此顺序构成一个等差数列，∴，∴．设直线的方程为：

，联立，得到：

，由弦长公式知：

．∴，且斜率大于的直线，则，直线的斜率为，故答案为.

14．如图,在等腰梯形中,下底长为3,底角为,高为为上底的中点,为折线段上的动点,设的最小值为,若关于的方程有两个不等实根,则实数的取值范围为          .

【答案】

【解析】本题考查的知识点是平面向量及应用，方程根的存在性及个数判断，是方程、向量、不等式的综合应用，难度较大；

以为坐标原点，以方向为轴正方向建立空间坐标系，由已知可得：

，，，由为折线段上的动点，故当落在点时，取最小值，即，,若关于的方程有两个不等实根，即在上有两个不等式相等的实根,

故，解得，故答案为.

三、解答题：

共6题

15．已知函数=

（Ⅰ）求函数的最小正周期及对称轴方程;

（Ⅱ）讨论在的单调性.

【答案】（Ⅰ）====

令,解得

所以,函数的最小正周期为,对称轴方程为

（Ⅱ）令,则函数的单调递增区间是由,

得

设,,

易知,所以当时,在区间上单调递增,在上单调递减.

【解析】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的对称性和单调性最值，属中档题；（Ⅰ）由三角函数公式化简可得，由，及，可得周期性及对称轴方程；（Ⅱ）解，得函数在上的单调增区间，和已知区间取交集可得单调递增区间，同时可得单调递减区间.

16．已知函数在处取得极值.

（Ⅰ）求的值;

（Ⅱ）求在区间上的最大值;

（Ⅲ）若过点存在条直线与曲线相切,求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）由函数在处取得极值,

可得方程组解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）得得,令,

得或,

因为,

所以在区间上的最大值为.

（Ⅲ）设过点P（1,t）的直线与曲线相切于点,则

且切线斜率为,所以切线方程为,

因此,整理得:

设,则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”, =,

与的情况如下:

所以,是的极大值,是的极小值,

当且,即时,有3个不同零点

所以,当过点存在3条直线与曲线相切时,t的取值范围是.

【解析】考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握函数在某点取得极值的条件，同时考查了斜率的表示方法，用到函数零点个数的判断，属于难题；（Ⅰ）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于，得到关于的关系式，解方程组即可；（Ⅱ）求导并令导数为，从而求出极大值与端点时的函数值，从而得到最大值；（Ⅲ）设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解.

17．已知数列前项和为,且.

（Ⅰ）求证:

数列是等比数列;

（Ⅱ）设,求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ）时,,解得

时,

两式相减并整理得,,所以,

所以,是等比数列,首项,公比

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,故

=

=

设,利用错位相减可得=

所以,.

【解析】本题考查了“当时，利用”、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识与基本方法，属于难题；（Ⅰ）当时，利用即可得出，进而可化为，数列是等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，从而可得的通项公式，利用分组求和和错位相减法相结合求其前项和.

18．已知数列中, ,.

（Ⅰ）写出的值;

（Ⅱ）求数列的通项公式;

（Ⅲ）设,若对任意的正整数,当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）利用累加法,可求通项

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知,=

=

=

所以,为递减数列.

所以,即可.

“当时,不等式恒成立”等价于

解得或

所以,的取值范围为.

【解析】本题是数列与不等式结合的综合题，考查了等差数列的前项和公式，叠加法求通项公式，裂项相消法求数列的和，构造函数法等，综合性强、难度大;（Ⅰ）分别令代入递推式可得结果；（Ⅱ）给具体值列出方程，利用叠加法和等差数列的前项和公式，求出；（Ⅲ）由（Ⅱ）表示出，再通过裂项相消法化简，判断出单调性，再求的最小值，即求出的最大值，由恒成立列出不等式：

，再一次构造函数，并进行分类列出恒成立的条件，求出的范围.

19．已知椭圆的离心率为,椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为.

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）四边形的顶点在椭圆上,且对角线均过坐标原点,若

（i）求的范围;（ii）求四边形的面积.

【答案】（Ⅰ）由,可得①

由已知得,②,由①和②解得,

所以椭圆

（Ⅱ）（i）

（1）当直线的斜率不存在时,;

（2）当直线的斜率存在时,设直线的方程为,

设,

联立,得

且

整理上式,可得

==

又,故

综上,

（ii）由椭圆的对称性可知,

设原点到直线的距离为,则

====

所以,

【解析】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率的计算公式、数量积运算、弦长公式和点到直线的距离公式及三角形四边形的面积公式、菱形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题；（Ⅰ）利用离心率计算公式、菱形的面积计算公式、即可得出；（Ⅱ））（i）设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系、再利用斜率的计算公式、数量积运算即可得出；

（ii）利用弦长公式和点到直线的距离公式及三角形及其四边形的面积公式即可得出.

20．已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间;

（Ⅱ）如果当时,不等式恒成立,求实数的最大值;

（Ⅲ）求证:

.

【答案】（Ⅰ）,令得

当时,,所以在上单减;

当时,,所以在上单增;

（Ⅱ）问题“当时,不等式恒成立”

可转化为“当时,不等式恒成立”

设

当时,,所以在上递增,故

所以,,所以的最大值为.

（Ⅲ）

由（Ⅰ）可知,当且时,有

显然且有

故取,则有

即.

【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，考查不等式的证明，本题计算量大，有一定的难度，是一道综合题；（Ⅰ）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）构造新函数，通过求导得到的单调性，求出其最小值，进而求出m的范围；（Ⅲ）利用分析法将题中所证转化为，结合（Ⅰ）可知,当在上单增,取可得证.