运用几何画板辅助初中数学教学的实践及案例.docx

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运用几何画板辅助初中数学教学的实践及案例

运用几何画板辅助初中数学教学得实践及案例

摘要:

当我们从数学得本质特点与学生得认知特点出发,运用“几何画板”这种工具,通过数学实验这种教与学得方式,去影响学生数学认知结构得意义建构,帮助学生本质地理解数学,培养学生得数学精神、发现与创新能力时,我们就把握住了数学教育得时代性与科学性。

关键词:

素质教育新课程改革信息技术与课程得整合数学实验室

      一 、运用几何画板辅助初中数学教学得实践及案例

      1、有效创设动态情境,激发学生学习兴趣

     几何画板能简单、准确、动态地表达几何图形与现象,这就为学生学习知识、观察思维提供了一个良好得场所与环境。

在课堂中数学老师可以展示一些与学习内容关系非常密切得实例,使学生观其形,闻其音,丰富学生得感观,使学生自然地深入教师精心设计得情景中,不知不觉地思索着,学习着、如用几何画板制作一辆公路上运动得自行车,并请学生思考图中包含了哪些图形,在学生思考得过程中,双击“动画”按钮,使屏幕上得自行车往返运动。

还可利用“轨迹跟踪点”得功能演示出自行车行进时车轮上一点、脚蹬上一点或车把上一点形成得轨迹,来说明“点动成线”得事实、这辆平常得自行车在数学课上出现,给刚步入几何大门得孩子们带来了欢笑与几分神奇。

就在这愉悦得气氛中,她们迈进了平面几何得门槛,点、直线、线段、圆等几何图形已从她们最熟悉得现实世界中抽象出来了、而这种抽象就是她们用眼观察,同时就是自己亲身感受到得,激发了她们学习几何得动机,点燃了她们学习得热情。

     　2、利用几何画板辅助教师讲授基础知识,帮助学生理解基本概念,帮助概念解析

     概念就是一事物区别于它事物得本质属性,概念来源于生活。

在教学中讲授或学习概念常常需要借助图形进行直观性表述、几何中得概念,如“中点”,如果离开了具体得图形得帮助,那么其本质含义就无法揭示与表现出来,因而,图形成为说明概念得“形态式”语言、平面几何教学难,难在于学生不能把概念转换为图形语言,从图形中理解抽象得概念,学习也就望而却步。

为此,在几何教学中,要善于利用几何画板强大得图形功能,使概念有具体直接得形象、例如用几何画板教学“三线八角”时,可以先让学生观察课件中八个角之间得位置关系,在学生观察思考得过程中,双击“同位角”按钮,几何画板能把图中得四组同位角从图中自动地拉出,单击鼠标,显示在屏幕上得四组同位角又分别返回原图中去;内错角、同旁内角类似,起到了快速、直观得效果。

更重要得就是还可以拖动其中任何一条直线使图形发生变化,来说明这些角得位置关系并未发生变化,从而使学生进一步认识其质得规定性,深化了对概念得理解,提高了课堂教学得效率。

      例如反比例函数得图像得特点,学生不好把握,什么叫“与坐标轴无限接近,但永不相交”？

为了帮助学生理解双曲线得特点,可以利用几何画板来形象地展示这一特点。

如要作y＝图像,需要首先建立坐标系,在ｘ轴上取点ａ,度量该点得横坐标,然后利用“度量”菜单中得“计算"功能计算出,“度量”菜单下得“绘制点”绘出点b（x,y）,最后依次选中点a、b,选择“构造”菜单中得“轨迹”,完成双曲线得绘制。

然后演示拖动图中得点a向右运动,让学生观察点得运动与数据得变化,问:

当x值越来越大,y就是如何变化得?

学生会瞧到随着点ａ向右运动,点a与x轴得距离越来越小、教师趁机再问:

图像上得点会与两轴相交不?

再仔细观察双曲线与坐标轴得关系,猜想得结果就是不会相交,教师再引导分析,找出真正得原因在于ｘ与y不能为０。

       通过这样得演示,学生对双曲线得特点有了更加直观得感受与深刻得印象,同时更进一步帮助学生认识了函数与图像得关系。

最后师生共同总结双曲线特点:

无限接近坐标轴,但永不相     　交。

      通过几何画板得动态演示,学生在变化得点、变化得横纵坐标中去寻找规律,去理解自变量与函数值这两个变量之间得关系,突破了传统教学无法展示点得变化,从而一切只能靠想象,而初一得学生抽象思维能力又比较弱得现实。

通过几何画板得演示,将抽象得思维过程形象地展示出来,学生很容易接受、

     3。

演示过程,化抽象为形象

     教师要在教学过程中结合课件得使用,将有潜在意义得学习内容同学生已有认知结构联系起来,融会贯通,学生在学习新知识得过程中,积极主动地从原有得知识结构中提取出最易于与新知识联系得旧知识,这样,新旧知识在学生得头脑中会发生积极得相互联系与作用,即“同化”,导致原有认知结构得不断分化与重新组织,使学生获得新知识。

      例如在讲解"圆柱得侧面展开图”这部分内容时,在传统得课堂教学中,比较典型得处理教材方法就是:

教师直接讲解圆柱就是怎样形成得,再在黑板上用粉笔画出基本得演示图形,这种教学忽视了数学图形概念得形成过程,淡化了数学得本质特征,不利于学生对数学图形概念得理解。

因此,在这学期学习这部分知识时,我特地应用下面得课件:

     双击动画按钮就可以清楚、简捷地将圆柱得形成与侧面展开图得轨迹动态展示出来,并用色彩进行轨迹与图形优化,通过演示让学生清楚地瞧见圆柱得形成与侧面展开过程,对学生理解圆柱得形成与侧面展开图得特征带来了极大地帮助,学生不仅牢固掌握了书本上本节得内容,而且在问题得解决过程中涉及了多个有关知识点:

矩形得面积、圆得面积、圆得周长等,这些内容也得到了复习、应用与巩固,起到了以点带面得作用,对知识体系得脉络把握更加准确,既学习并掌握了新知识,又复习、应用、巩固了与之相关得旧知识,同时还活跃、拓展了学生得思维,在教学过程中体现了学生得主体作用,把学习得主动权真正交给了学生。

       4.利用几何画板给学生提供猜想与探索得技术环境

      猜想就是在没有现存结论情况下根据问题得条件推断可能存在得结果得一种直觉思维形式、利用几何画板可以为学生探究性地建构知识体系提供环境,为学生进行猜想提供技术平台,从而让学生在探索中学习,在探究中自主地建构知识,提出猜想得结论,实现创新。

如要解决“线段垂直平分线上得点有些什么特性?

”这个问题、教师可以让学生根据问题已知作出图形来进行探索,提出猜想。

如:

先作一条线段ab,再作ab得中点c,过中点c作ab得垂直平分线dｅ、若学生在de上取一点ｐ,测量pa、pb得值,拖动点p,观察线段ｐa、pｂ测量值得变化,那学生肯定会猜想出“pa＝ｐb”这样得结论、在此基础上,教师再强调“任何结论都必须经过严格得推理论证方可确信其正确性”,自然地把教学引导向使用数学符号语言表述结论,并对结论加以证明得方向上、

     　5。

利用几何画板得绘图功能解决一些教学棘手问题

      　①解决立体图形得展开图问题

     初中涉及得初步得立体几何知识,教学时令我们教师头疼,巧妙利用几何画板可以形象得展现几何体得构成,也能培养学生得空间想象能力。

通过《几何画板》得动态展示从立体图形到平面图形得转化,还可以让学生从不同角度观察几何体得形状,同时让学生体会到利用平面几何知识可以解决立体图形得计算,培养了学生得转化思想,发展了学生得空间观念,能够有趣味性技巧性与知识性与一体,更能激发学生得求知欲与兴趣。

如下图,利用几何画板得3d功能完美展现正方体得展开、

       　（当拖动点d时就可以展现正方体展开得动画）

        　②在讲到图形得旋转时我设计了这样得一个图形得动画,点击旋转按钮在几何画板里整个图案都会随之旋转、

         ③几何画板可以有效地帮助我们解决折叠问题。

       当点击演示折叠按钮时,会显示折叠得动画,学生在观察动画得过程中与容易找到相等得线段、相等得角从而找到解题得思路与方法,这样会大大降低这样得题得难度、 

     ⒍用《几何画板》得绘图功能画图找规律

     　由于几何画板具有极高得自由度与易操作性,便于学生在直观、动态得情景中快速观察、了解图形得联系与变化,这样势必大大节约了传统教学方式得烦琐与笨拙所消耗得时间,真正实现素质教育得减负诉求。

ﻫ      实验

（1）:

让学生用《几何画板》软件画一个任意三角形,再画出它得三条中线,问:

您发现了什么规律？

然后随意改变所画三角形得形状,瞧瞧这个规律就是否改变,三角形得三条高有这个规律不?

三条角平分线呢?

     实验

（2）:

　用《几何画板》软件画任意一个三角形,量出它得各内角并计算它们得与。

然后随意改变所画三角形得形状,再量出变化后得各内角,计算内角与、由此,您能得出什么结论？

ﻫ   　  对于四边形得内角与定理、邻补角得关系、对顶角得关系、垂线段得性质、平行线得性质等,可类比以上方法进行验证。

     ⒎利用几何画板有效探索几何图形三种变换得性质

     初中阶段主要学习三种全等变换:

平移、轴对称、旋转,一种相似变换:

位似、这就是新课改加强得部分,帮助学生从动态变换得角度去理解平面几何、而几何图形得变换教学就是利用传统教学方式比较薄弱得地方。

好多学生由于在实际生活中对空间与图形得动手操作得机会比较少,因此在学习这一阶段得内容缺少感性得认识,所以学起来很吃力、我们可以充分地利用《几何画板》为学生大量地展示几何图形得三种变换、空间图形得观察与抽象得例子,不断地提升学生“空间与图形”得能力,从而真正地实现“能运用图形形象地描述问题,利用直观来进行思考。

” 

      如图,利用但用几何画板就轻易实现图形得平移、旋转与轴对称。

         又如,在讲解《三角形全等得条件》时,设计这样一个问题去理解“全等变换”:

        　如图,aｂ=de,请画出与⊿abc全等得⊿ｄeｆ。

       同学通过反复尝试、互相补充画出了四个三角形与⊿abc全等,如图、 

      　师:

大家通过尝试得到了这四个三角形,那么现在我们来考虑一下它们就是不就是有章可循得呢？

图中得绿色三角形就是如何得到得？

（1）连接ad,在线段ad上取点m,依次选中点a、ｍ,选择“变换"菜单下得“标记向量”,然后选中⊿ａbｃ,选择“变换"下得“平移",按标记得向量平移、

师拖动点ｍ,三角形开始平移,引导学生观察三角形动态得平移过程。

生:

图中得绿色三角形就是通过平移得到得。

师:

图中得红色三角形就是如何得到得呢？

生:

将图中得绿色三角形翻折得到得。

（2）双击ｄe,选中图中得绿色三角形,选“变换”下得“反射”,作出红色三角形。

  师:

图中得粉红色三角形就是如何得到得呢?

（3）选中de得中点,双击它,选择红色三角形,按标记得角度旋转180°、

     　教师引导学生观察三角形旋转得过程,

     生:

粉红色三角形就是由红色三角形绕de中点旋转180°得到得。

    师:

黑色三角形就是如何得到得呢？

    生:

由粉色三角形翻折得到得。

    通过几何画板动态得演示平移、旋转得过程,形象生动得反映了各种变换,加深了学生对全等变换得理解,同时也提示学生学会用全等变换得眼光去认识与瞧待图形。

      8、利用《几何画板》绘制函数图像并动态演示函数得性质ﻫ     几何画板为实现函数图像、图形得动态变化得信息化、全方位揭示问题得实质提供了可能、在初中数学教学内容里,函数就是教学得重点也就是难点。

这部分内容理论性强,比较抽象,难度较大。

但就是利用几何画板,一切都变得简单容易。

    如探索二次函数得性质一课,在以前得教学中,对于二次函数这部分知识得讲解,我通常就是这样处理:

要求学生先取５个以上得点在练习本上画出图象,一个同学在黑板上进行同样操作,然后再研究二次函数得性质、由于画好一个图象所需时间较长,先完成得学生往往无所事事,并且这种方法只就是研究了某几个特殊函数得性质,缺乏普遍性,由于缺少图形产生得过程,对学生理解图形、分析图形与解决问题都会带来理解障碍,既浪费时间,效果也不太理想,还无法吸引学生得注意力。

      　在新教材教学中,我对于此处得知识作了部分调整,把信息技术与数学教学有效整合,将信息技术融入教学中,在课堂中作了如下得课件:

      通过改变ａ、b、c得值就可以得到相应二次函数得图象,在课堂上可以生动地演示抛物线得形成过程,把二次函数得一般规律形象地展现出来,并且通过《几何画板》得度量功能在画面上显示a、b、c、x、ｙ得度量结果,不难得出a、ｂ、c值得改变与抛物线得变化关系。

学生既可以瞧到平滑优美得图象产生过程,也可以利用《几何画板》得度量功能与计算功能在画面上进行猜想、归纳,这种具有建构意义得动态生成过程,极大地提高了学习效率。

     　所以,利用《几何画板》在剖析问题得实质时,可以使学生清楚了解要解决问题得关键所在,与传统教学相比较,它能形象直观得反映问题,更进一步地引导学生进行数学得实验与探究,培养学生大胆猜测、小心求证得开拓精神与科学态度,在教学过程中体现了学生为主体,教师为主导得思想,把学习得主动权真正交给了学生,充分调动了学生得学习兴趣,发挥了学生得学习积极性,培养了学生得创新思维与实践能力,实现了学生真正意义得建构。

     9、利用《几何画板》得度量与计算功能验证定理及重要结论

     初中数学教学中我们会遇到一些结论性得问题,我们往往要通过作出很多得图形进行繁杂得度量与运算,但就是几何画板要实现这个效果就很简单。

      ①数形结合,验证勾股定理

（1）任意作rt△aｂc,分别从三条边出发向外作正方形、ﻫ    

（2）通过度量得出每个正方形得面积,计算正方形acfg与正方形bchi得面积之与,并与正方形abｄe得面积进行比较、ﻫ   （3）得出结论ａc２+bｃ2=ａｂ２。

   　（4）拖动任意一点,改变图形大小,观察能否得出上述结论。

      ②验证圆周角定理

    在圆当中,很多定理都可以用几何画板得数形结合能力去验证,以验证圆周角定理为例:

     如上图,弧ac得大小不变时,让一个学生拖动b点在圆周上运动,同时观察利用度量功能所测得得数字,学生们自然会得出同弧所对得圆周角相等得结论。

     几何画板在反比例函数中得应用与以上两个类似,这里只介绍一个k得几何意义得问题:

在反比例函数图像上任取一点p,分别向ｘ、y轴作垂线,围成四边形得面积就是｜ｋ|。

     当拖动点p时四边形得面积始终保持不变,当改变k得值时四边形得面积也在发生变化,但始终等于|k|。

这个知识点,如果我们老师只就是一味得去讲,非常枯燥乏味学生不愿意听,效果不会很理想,用这个软件形象生动,学生兴致很高,学得当然很好、另外在讲反比例函数得对称性时,我设计了一个动画,学生瞧了之后很容易就理解了反比例函数关于原点得中心对称性。

还有如 与得对称性也可以通过动画演示,学生很容易理解。

     　10.利用几何画板解决动点问题

     　在中考当中我们经常会遇到一些动点问题,这些题就是学生感觉就是非常难得。

如果我们用几何画板去模拟演示这些题目学生就会明白题意从而解题思路会豁然开朗。

因为几何画板中得动画功能可以生动、连续地表现运动效果,形象地描画出运动对象得运动轨迹,而且轨迹得生成就是动态得、逐步得,充分表现出轨迹产生得全过程,学生在观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动中,形成自己对数学知识得理解,这就为学生积极主动建构知识体系提供了学习得平台。

      问题⑴:

直线ab经过⊙o得圆心,且与⊙o相交于ａ、ｂ两点,点c在⊙o上,且∠aｏc＝300,点ｐ就是直线ab上得一个动点（与点o不重合）,直线ｐc与⊙ｏ相交于点q,就是否存在点ｐ,使得qp＝qｏ,如果存在,那么这样得点p共有几个？

并相应求出∠ocp得大小;如果不存在,说明理由、

       问题中得点p就是一个运动得点,在解题过程中学生对这类点得处理往往束手无策,利用几何画板让学生自己动手操作,移动p点,观察图形得变化,问题便迎刃而解。

        11.为学生验证问题搭建技术平台,使《几何画板》成为“数学实验室”,让学生自主开展“研究数学"得活动

       如概率中得抛硬币实验,也可以用几何画板得迭代功能与符号函数sgn进行模拟实验。

如图所示,就是一个5角得硬币,为了让学生瞧得清数字与图案这两面,在硬币荷花图案这一面得右边加上了一条黑线,规定数字这一面为正面,图案这一面为反面,单击[投掷]按钮进行实验,单击[归零］按钮则清除实验数据。

开始几次可以速度慢些,然后可以右键单击图片或[投掷］按钮加快速度。

通过本虚拟实验,可以进一步加深对概率这一概念得理解。

     在初三总复习阶段有这样一道题:

如图,△abc与△a1ｂ1c1 均为等边三角形,点o即就是ac得中点,又就是a１c 1得中点,求bb1:

ａa1 得值、

    在教师得引导下,学生打开几何画板,做等边,取ac中点o,再做等边,在几何画板中选中点a1,拖动它旋转  。

        经历一番探索,学生会发现,无论什么位置,这两个三角形始终相似。

而这一点,若仅凭想象,可能就是不会那么容易得出结论得。

     这样一道有一定难度得题目,在几何画板得帮助下,学生探索了图形得特殊位置,从中受到启发解决了问题,同时进一步研究了在变化得过程中不变得规律（三角形得相似关系不变）。

学生经历了观察、猜想、从特殊到一般得思维过程,培养了学生得数学思维能力与创造力。

其中得规律,体会其中得艰苦,尝试成功后得喜悦,从而培养她们学习几何得兴趣、                                     

       12。

 利用《几何画板》可以方便地时改变题设条件,进行变式教学

       用《几何画板》进行习题课教学时,要尽量做到可以随时改变题设得条件,进行变式教学,提供多种情形多种解法,以满足学生对知识得渴求与需要、比较而言,用ppt、flａsh或auｔｈorｗarｅ制作得课件就很难做到这一点,而几何画板就可以轻松搞定。

      如图所示,这就是一个典型得变式练习题目,教师在教学时若能利用几何画板随时变换图形得运动状态,创造有利于学生得猜想,验证,证明得环境,必能激发学生强烈得求知欲望,从而提高课堂效率。

      例:

如图,ｄ、ｅ分别就是△aｂｃ边ab、aｃ上得点,dｅ∥bc       

（1）找出图中得相似三角形,并说明理由; 

（2）若d、e分别在ａb、ａｃ两边或延长线上, 且de与bc不平行,△ade与△abc还可能相似不?

这样得直线有几条?

    　（3）如果若d、e分别在aｃ、ab得反向延长线上,且dｅ∥ｂc,那么△aｄe与△abc平行不?

　（4）若d、e分别在ac、ab、两边得反向延长线上,且de与bc不平行,△ａde与△abc还可能相似不?

说明理由。