18版高中数学第1章导数及其应用14导数在实际生活中的应用学案苏教版选修22.docx

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18版高中数学第1章导数及其应用14导数在实际生活中的应用学案苏教版选修22

1.4导数在实际生活中的应用

学习目标

　1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．

知识点　生活中的优化问题

1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为__________．

2．利用导数解决优化问题的实质是____________．

3．解决优化问题的基本思路是：

上述解决优化问题的过程是一个典型的________过程．

类型一　面积、容积的最值问题

例1　请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.

（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，则x应取何值？

（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，则x应取何值？

并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

反思与感悟　

（1）这类问题一般用面积公式，体积公式等作等量关系，求解时应选取合理的边长x作自变量，并利用题目中量与量之间的关系表示出其他有关边长，这样函数关系式就列出来了．

（2）这类问题中，函数的定义域一般是保证各边（或线段）为正，建立x的不等式（组）求定义域．

跟踪训练1　某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S（单位：

m2），∠AON＝θ（单位：

弧度）．

（1）将S表示为θ的函数；

（2）当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．

类型二　利润最大问题

例2　已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）＝

（1）求年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．

反思与感悟　解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有

（1）利润＝收入－成本；

（2）利润＝每件产品的利润×销售件数．

跟踪训练2　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：

千克）与销售价格x（单位：

元/千克）满足关系式y＝

＋10（x－6）2，其中3

（1）求a的值；

（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

类型三　费用（用材）最省问题

例3　已知A、B两地相距200km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为vkm/h（8

反思与感悟　

（1）用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．

（2）利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′（x）＝0时，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大（小）值．

跟踪训练3　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：

万元）与隔热层厚度x（单位：

cm）满足关系：

C（x）＝

（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）求k的值及f（x）的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________．

2．某产品的销售收入y1（万元）是产品x（千台）的函数，y1＝17x2；生产总成本y2（万元）也是x的函数，y2＝2x3－x2（x>0），为使利润最大，应生产________千台．

3．将一段长100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________cm.

4．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x（单位：

元，0≤x≤21）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．

（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；

（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：

（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f（x）；

（2）求函数的导数f′（x），解方程f′（x）＝0；

（3）比较函数在区间端点和使f′（x）＝0的点的数值的大小，最大（小）者为最大（小）值．

2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：

（1）合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；

（2）与实际问题相联系；（3）必要时注意分类讨论思想的应用．

提醒：

完成作业　1.4

答案精析

问题导学

知识点

1．优化问题

2．求函数最值

3．数学建模

题型探究

例1　解　

（1）由题意知包装盒的底面边长为

xcm，高为

（30－x）cm，

所以包装盒侧面积为S＝4

x×

（30－x）

＝8x（30－x）≤8×（

）2＝8×225，

当且仅当x＝30－x，即x＝15时，等号成立，

所以若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，则x＝15.

（2）包装盒容积V＝2x2·

（30－x）

＝－2

x3＋60

x2（0

所以V′＝－6

x2＋120

x

＝－6

x（x－20）．

令V′>0，得0

所以当x＝20时，包装盒容积V取得最大值，此时包装盒底面边长为20

cm，高为10

cm，包装盒的高与底面边长的比值为

.

跟踪训练1　解　

（1）如图，BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ，则S＝

MB·AB＝

×100sinθ×（100＋100cosθ）＝5000（sinθ＋sinθcosθ），θ∈（0，π）．

（2）S′＝5000（2cos2θ＋cosθ－1）

＝5000（2cosθ－1）（cosθ＋1）．

令S′＝0，得cosθ＝

或cosθ＝－1（舍去），此时θ＝

.

当θ＝

时，S取得最大值，

Smax＝3750

m2，此时AB＝150m，即点A到北京路一边l的距离为150m.

例2　解　

（1）当0

－10，

当x>10时，W＝xR（x）－（10＋2.7x）＝98－

－2.7x，

∴W＝

（2）①当0＜x＜10时，由W′＝8.1－

＝0，得x＝9，

且当x∈（0,9）时，W′＞0；当x∈（9,10）时，W′＜0.

∴当x＝9时，W取最大值，且Wmax＝8.1×9－

×93－10＝38.6.

②当x＞10时，W＝98－

≤

98－2·

＝38，

当且仅当

＝2.7x，即x＝

时，W＝38，

故当x＝

时，W取最大值38.

综合①②知，当x＝9时，W取得最大值38.6万元．

故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．

跟踪训练2　解　

（1）因为x＝5时，y＝11，所以

＋10＝11，

所以a＝2.

（2）由

（1）可知，该商品每日的销售量

y＝

＋10（x－6）2，

所以商场每日销售该商品所获得的利润

f（x）＝（x－3）[

＋10（x－6）2]＝2＋10（x－3）（x－6）2,3

从而，f′（x）＝10[（x－6）2＋2（x－3）（x－6）]

＝30（x－4）（x－6）．

于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（3,4）

4

（4,6）

f′（x）

＋

0

－

f（x）

单调递增

极大值42

单调递减

由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3,6）内的极大值点，也是最大值点．

所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42.

所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

例3　解　设每小时的燃料费为y1，比例系数为k（k>0），

则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，

∴720＝k·122，得k＝5.

设全程燃料费为y，由题意，得

y＝y1·

＝

，

∴y′＝

＝

.

令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，

即v＝16km/h时全程燃料费最省，ymin＝32000（元）；

当v0<16，即v∈（8，v0]时，y′<0，

即y在（8，v0]上为减函数，

∴当v＝v0时，ymin＝

（元）．

综上，当v0≥16时，v＝16km/h全程燃料费最省，

为32000元；

当v0<16，即v＝v0时全程燃料费最省，为

元．

跟踪训练3　解　

（1）设隔热层厚度为xcm，

由题设，每年能源消耗费用为C（x）＝

，

再由C（0）＝8，得k＝40，因此C（x）＝

，

而建造费用为C1（x）＝6x.

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

f（x）＝20C（x）＋C1（x）＝20×

＋6x＝

＋6x（0≤x≤10）．

（2）f′（x）＝6－

，

令f′（x）＝0，即

＝6.

解得x＝5，x＝－

（舍去），

当00，

故x＝5为f（x）的最小值点，对应的最小值为f（5）＝6×5＋

＝70.

当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．

达标检测

1．4

2．6

3.

4．解　

（1）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f（x），则有

f（x）＝（30－x－9）（432＋kx2）＝（21－x）（432＋kx2）．

由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.

所以f（x）＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．

（2）根据

（1），f′（x）＝－18x2＋252x－432

＝－18（x－2）（x－12）．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

[0,2）

2

（2,12）

12

（12,21]

f′（x）

－

0

＋

0

－

f（x）

极小值

极大值

故x＝12时，f（x）取得极大值．

因为f（0）＝9072，f（12）＝