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工作文档高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解

习题十

21.根据二重积分性质，比较ln（）dxy，,[ln（）]dxy，,与的大小，其中:

,,,DD

（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形;

（2）D表示矩形区域.{（,）|35,02}xyxy,,,,

解:

（1）区域D如图10-1所示，由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间，显然有

图10-1

12,，,xy

从而0ln（）1,，,xy

2故有ln（）[ln（）]xyxy，,，

2ln（）d[ln（）]dxyxy，,，,,所以,,,,DD

（2）区域D如图10-2所示.显然，当时，有.（,）xyD,xy，,3

图10-2从而ln（x+y）>1

2故有ln（）[ln（）]xyxy，,，

2ln（）d[ln（）]dxyxy，,，,,所以,,,,DD

2.根据二重积分性质，估计下列积分的值:

IxyDxyxy,，,,,,,4d,{（,）|02,02},

（1）;,,D

22IxyDxyxy,,,,,,sinsind,{（,）|0,π,0π}

（2）;,,D

2222（3）IxyDxyxy,，，,，,（49）d,{（,）|4},.,,D

02,,x解:

（1）因为当时，有,（,）xyD,02,,y

因而.04,,xy

从而2422,，,xy

2d4d22d,,,,，,xy故,,,,,,DDD

2d4d22d,,,,，,xy即,,,,,,DDD

d,,,而（σ为区域D的面积），由σ=4,,D

84d82,，,xy,得.,,D

（2）因为，从而0sin1,0sin1,,,,xy

220sinsin1,,xy

220dsinsind1d,,,,,xy故,,,,,,DDD

220sinsindd,,,xy,,,即,,,,DD

2,,π而

2220sinsind,,xy,π所以,,D

22（3）因为当时，所以（,）xyD,04,，,xy

22229494（）925,，，,，，,xyxy

229d（49）d25d,,,,，，,xy故,,,,,,DDD

229（49）d25,,,,，，,xy即,,D

2,,,,π24π而

2236π,，，,（49）d100xy,π所以,,D

3.根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值:

22222（）d,{（,）|};axyDxyxya,，,，,,

（1）,,D

222222

（2）axyDxyxya,,,，,d,{（,）|}.,,,D

22解:

（1）在几何上表示以D为底，以z轴为轴，以（0，0，a）为顶（）d,axy,，,,,D

1223点的圆锥的体积，所以axya,，,,（）dπ,,D3

222

（2）在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a为半径的上半球axy,,d,,,D

22223的体积，故axya,,,,dπ.,,D3

12224.设f（x，y）为连续函数，求.fxyDxyxxyyr,,,，,,lim（,）d,{（,）|（）（）}002,,Dr,0rπ

解:

因为f（x，y）为连续函数，由二重积分的中值定理得，使得，,（,）,,,D

2fxyfrf（,）d（,）,,,,,,,,,,π（,）,,D

r,0又由于D是以（x，y）为圆心，r为半径的圆盘，所以当时，（,）（,）,,,,xy0000

112lim（,）dlimfxyrff,,,,,,,,π（,）lim（,）22,,Drrr,,,000rrππ于是:

,ffxylim（,）（,）,,00,,,xy（,）（,）00

fxy（,）d,5.画出积分区域，把化为累次积分:

（1）;Dxyxyyxy,，,,,,{（,）|1,1,0}

（2）Dxyyxxy,,,,{（,）|2,}

2（3）Dxyyyxx,,,,{（,）|,2,2}x

解:

（1）区域D如图10-3所示，D亦可表示为.yxyy,,,,,,11,01

11,y所以fxyyfxyx（,）dd（,）d,,,,,,Dy01,

（2）区域D如图10-4所示，直线y=x-2与抛物线x=y的交点为（1，-1），（4，2），区域D

2可表示为.yxyy,,，,,,2,12

图10-3图10-4

22y，所以fxyyfxyx（,）dd（,）d,,2,,,,Dy,1

2（3）区域D如图10-5所示，直线y=2x与曲线的交点（1，2），与x=2的交点为（2，y,x

224）,曲线y,与x=2的交点为（2，1），区域D可表示为,,,,yxx2,12.xx

图10-5

22xfxyxfxyy（,）dd（,）d,,所以.2,,,,D1x

6.画出积分区域，改变累次积分的积分次序:

elnx22yd（,）dxfxyy

（1）;

（2）;d（,）dyfxyx2,,,,100y

πsinx132,y（3）;（4）d（,）dxfxyy;d（,）dyfxyxx,,,,,0sin0y2

1233yy,d（,）dd（,）dyfxyyyfxyx，（5）.,,,,0010

2解:

（1）相应二重保健的积分区域为D:

如图10-6所示.02,2.,,,,yyxy

图10-6

xD亦可表示为:

04,.,,,,xyx2

224yx所以d（,）dd（,）d.yfxyxxfxyy,x2,,,,00y2

（2）相应二重积分的积分区域D:

如图10-7所示.1e,0ln.,,,,xyx

图10-7

yD亦可表示为:

01,ee,,,,,yx

eln1exd（,）dd（,）dxfxyyyfxyx,所以y,,,,100e

（3）相应二重积分的积分区域D为:

如图10-8所示.01,32,,,,,,yyxy

图10-8D亦可看成D与D的和，其中12

2D:

01,0,,,,,xyx1

113,0（3）.,,,,,xyxD:

12,,yxx13213（3）2d（,）dd（,）dd（,）dyfxyxxfxyyxfxyy,，所以.,,,,,,y00010

x（4）相应二重积分的积分区域D为:

如图10-9所示.0,,,,,xyxπ,sinsin.2

图10-9D亦可看成由D与D两部分之和，其中12

,,,,,10,2arcsinyyxπ;1

01,arcsin,,,,,yyxyπarcsin.2

πsin0xyπ1π,arcsin所以d（,）dd（,）dd（,）dxfxyyyfxyxyfxyx,，x,,,,,,0sin12arcsin0arcsin,,,yy2

（5）相应二重积分的积分区域D由D与D两部分组成，其中12

01,02,,,,,yxy13,03.,,,,,yxy12

如图10-10所示.

图10-10

x02,3;,,,,,xyxD亦可表示为:

123323yyx,,所以d,dd（,）dd（,）dyfxyxyfxyxxfxyy，,，，x,,,,,,001002

7.求下列立体体积:

2222

（1）旋转抛物面z=x+y,平面z=0与柱面x+y=ax所围;

222

（2）旋转抛物面z=x+y,柱面y=x及平面y=1和z=0所围.解:

（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积

2222（）ddxyxy，V=其中D:

{（,）|}xyxyax，,,,D

22由被积函数及积分区域的对称性知，V=2，（）ddxyxy，,,D1

其中D为D在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得1

acos,πππacos,11334444222Vrrraa,,,,,,,,.2dd2dcosdπ,,,,000042320

（2）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积

22Vxyxy,，（）dd,,,D

2其中积分区域D为xOy面上由曲线y=x及直线y=1所围成的区域，如图10-11所示.

图10-11

2D可表示为:

,,,,11,1.xxy

112222所以Vxyxyxxyy,，,，（）ddd（）d2,,,,Dx,1

11111188，，23246,，,，,,,xyyxxxxxd（）d.,,,,,,112333105，，x

8.计算下列二重积分:

2x1

（1）dd,:

12,;xyDxyx,,,,,,2Dyx

xy2edd,xy

（2）D由抛物线y=x,直线x=0与y=1所围;,,D

22xyxy,dd,（3）D是以O（0,0），A（1，-1），B（1，1）为顶点的三角形;,,D

cos（）dd,{（,）|0xyxyDxyxxy，,,,,,π,π}（4）.,,D

x222222xxxx3dddddd解:

（1）xyxyxxxx,,,,,，，1,,,,,,22111Dyyy1xx

2119，，42,,,xx.,,424，，1

（2）积分区域D如图10-12所示.

12图10-

2D可表示为:

01,0.,,,,yxy

xxx2211yyxyyy所示edddedded（）xyyxyy,,,,,,,,0000Dy

2yx1111yyy,,,,,yyyyyyyyed（e1）dedd,,,,00000

1111111yyy2,,,,,,yyyyyydedeed.,,,0000220

（3）积分区域D如图10-13所示.

图10-13

D可表示为:

01,.,,,,,xxyx

x211x，，xyy222222ddddarcsindxyxyxxyyxyx,,,,，,所以,,,,,,,,00Dx22x，，,x

11ππ1π23,,,,xxxd.,022360

ππππ（4）cos（）dddcos（）d[sin（）]dxyxyxxyyxyx，,，,，x,,,,,Dx00

ππ,，,,,,[sin（πxxxxxx）sin2]d（sinsin2）d,,00

π11，，,,.coscos2xx，,,2，，20

9.计算下列二次积分:

1ysinx

（1）dd;yx,,0yxyy1yy1xx2

（2）dedded.yxyx，111,,,,y224

sinx解:

（1）因为求不出来，故应改变积分次序。

dx,x

积分区域D:

1,y?

，如图10-14所示。

图10-14

2D也可表示为:

1,x?

x.所以

111yxsinsinsinxxx2dddd（）dyxxyxxx,,,2,,,,,000yxxxx

111,,,,（sinsin）dsindsindxxxxxxxxx,,,000

111,,,，,,,sindcosd1sin1.xxxxxxcos0,,00

（2）因为求不出来，故应改变积分次序。

积分区域D分为两部分，其中edx,

1111DyxyDyyxy:

1,.,,,,,,,,124222

如图10-15所示:

图10-15积分区域D亦可表示为:

12,,,,xxyx1,.2

于是:

xyyy1y11yyx1xxx2xdeddeddeddyxyxxyx，,,xe11111,,,,,,2,yx222224x113eee1x2xx,,,,,,（ee）dxxx,,x1xee,1,1822222

10.在极坐标系下计算二重积分:

222222

（1）sindd,;xyxyD，,,,（,）|xyxyπ,，,4π,,D

22,，（）xy22

（2）D为圆=1所围成的区域;edd,xyxy，,,D

x2222（3）D是由=4,=1,及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内arctandd,xyxy，xy，,,Dy

的闭区域;

22（）dd,xyxy，（4）D是由曲线=x+y所包围的闭区域。

xy，,,D

解:

（1）积分区域D如图10-16所示:

图10-16D亦可采用极坐标表示为:

π?

2π,0?

θ?

2π所以

2π2π22sindddsindxyxyrrr，,,,,,,D0π

2π2,,,,,,2π6π.rrrcossin,π

（2）积分区域D可用极坐标表示为:

1,0?

θ?

2π.所以:

2π1122221,,,，,,（）2xyrrxyrrr,,eddded2ed（）,,,,,,,,,,,,D000,,211,,2,r,,,,π.1,,,,e0e,,

（3）积分区域D如图10-17所示.

图10-17D可用极坐标表示为:

π0?

θ?

2.4

所以:

π2x4arctanddarctan（cot）ddxyrr,,,,,,,D01yπ239ππ,,4,,d.,,,,,,0264,,2（4）积分区域D如图10-18所示，

图10-18D可用极坐标表示为:

π3π,,,,,，,,,,0cossinr44

所以:

3πcossin,,，24（）ddd（cossin）dxyxyrr，,，,,,π,,,,0D,4

cossin，3π,,3r4,d（cossin），,π,,,,3043π144,，（cossin）dπ,,,,,34

3π4ππ,,44,,sind.，,,π,,,,32,,44

11.将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值:

222aaxxax,2222

（1）d（）d;

（2）dd;xxyyxxyy，，,,,,0000

122,xaay,122222（3）d（）d;（4）dd.xxyyyx，，，xy，2,,,,x000

解:

（1）积分区域D如图10-19所示.

图10-19D亦可用极坐标表示为:

π,,,,,,0,02cosra2

所以:

2cosa,ππ24,2a22cosaxxa,r22322d（）ddddxxyyrr，,,,,,,,,,0000040π31π344442,,,,,,4cosd4aaaπ.,,,04224

（2）积分区域D如图10-20所示.

图10-20D可用极坐标表示为:

π,,,,,,0,0secra4

于是:

asec,πππ33asecxa,ar2223444dddddsecd，,,,,,,,xxyyrr,,,,,,00000033033πaa4，，,，，,sectanln（sectan）.,,2ln（21），，,,,,，，066

（3）积分区域D如图10-21所示.

图10-21

D也可用极坐标表示为:

π.,,,,,,,0,0sectanr4

于是:

1ππ,x,,1sectan2,22144d（）dddsectandxxyyrrr，,,,,,,,2,,,,,x0000π4,,,sec21,0

（4）积分区域D如图10-22所示.

图10-22D可用极坐标表示为:

π,,,,,0,0ra2

于是:

aπ224aaya,ππr22342d（）ddd.yxyxrra，,,,,,,,,,00002840*12.作适当坐标变换，计算下列二重积分:

22xyxydd

（1）,其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所围平面区域;,,D

222dd,{1};xyD,，,

（2）（,）xyy，，xy，x,,D

12,x22d（）d,xxyy，（3）令x=v,x+y=u;,,01,x

2222xy,,xy（4）dd,:

1;xyD，,，,,,,2222Dabab,,

2222dd,;xyD,xy，,9（5）（,）xyxy，,4,,,,D

2222dd,.xyD,xy，,4（6）（,）xyxyy，,2,,,,D

解:

（1）积分区域D如图10-23所示:

图10-23

y令xy=u,,则,vx

uxyuvuv,,,,,,,,（24,13）v

111vvu,,,xx,,2,（,）1xy22uvuv,,uvJ,,,,.,,yy,（,）2uvvvu

,uv22uvuv于是:

4333411281u2222xyxyuuvvuuddddddln3.,,,,,,lnv,,,,,,D12223vv231224,,u13,,v

24所示。

（2）积分区域D如图10-

图10-24令x+y=u,x-y=v,则

uvuv，,xy,,,22

且-1?

1,-1?

（,）1xy22J,,,,11,（,）2uv,22于是:

4224211uuvv，，21224224（）ddddd

（2）dxyxyuvuuuvvv，,,，，,,,,,,D,,1188,,,11u,,,11v

111112121，，,,423542,,dduuuvuvvuu，，，，,,,,,,,,11843535，，,,,1

1114121，，53,,.uuu，，,,445595，，,1

（3）积分区域D:

1,1-x?

2-xxy

令x=v,x+y=u,则y=u-v

积分区域D变为D:

xyuv

1,1?

01,（,）xy且J,,,,111,,（,）uv

于是

212121,x1，，2222223d（）dd（22）ddxxyyvvuvuuv，,,，,vuvuu2,，,,,,,,,01010,x3，，11137237,,，，232v,,,d.vvvvv23,，,，,,,,,023323,,，，0（4）令x=arcosθ,y=brsinθ则积分区域D变为D:

θ?

2π,0?

1,rθ

aarcossin,,,,（,）xyJabr,,,bbrsincos,（,）r,,,

于是:

1222π111,,xy，，234,,,xyrabrrabrrab,,,,,dddddd2πabr，,,,,,,,,,,22DD00r,2，，4ab,,0（5）令x=rcosθ，y=rsinθ.即作极坐标变换，则D变为:

3,0?

θ?

2π.于是:

2π32222ddddddxyrrrr,,,,xy，,4rr,,44,,,,,,DD00

2333，，,,2π（4）d（4）drrrrrr,，,,,02，，

23,,4111，，，，2442,,2ππ.，22rrrr,,,,,,,,2，，，，4402,,

（6）积分区域D如图10-25所示:

D可分为D,D?

D,D四个部分.它们可分为用极坐标1234表示为。

图10-25D:

θ?

π,0?

2sinθ,1

θ?

π,2sinθ?

2,23

π?

θ?

2π,0?

于是:

22222222ddddddddxyxyxyxy,，，xyyxyyxyyxyy，,，,，,，,2222,,,,,,,,DDDDD,1234

π2sinπ22π2222,,,,,,,,，,，,d（2sin）dd（2sin）dd（2sin）drrrrrrrrrrrr,,,,,,0002sinπ0,

2π2π2sinπ2,322332rrrr，,d（2sin）d,,,,，,d（2sin）dd（2sin）drrrrr,,,,,,,,,,π00002sin,,2sin22444ππ2π，，，，，，222rrr333,，，dddrrrsinsinsin,,,,,,,,,,,,,,,,,,00π344343，，，，，，02sin0,

ππ2π416416,,,,44,，，sinddd4sinsin4sin,，,,,,,,,,,,,,,,,00π3333,,,,

π2ππ81616,,,,4,,dd，,，sind4sin,,4sin,,,,,,,,,,,0π033,,,,3

π2π811631，，,，，,8πsind,，sin2sin4,,,,,,,,034328，，0

23,,，，,π8π09π.32

13.求由下列曲线所围成的闭区域的面积:

2bb2yxyx,,,

（1）曲线所围（a>0,b>0）;aa

（2）曲线xy=a,xy=2a,y=x,y=2x所围（x>0,y>0）.

2bb2yxyxab,,,,,（0,0）解:

（1）曲线所围的图形D如图10-26所示:

图10-26D可以表示为:

aa,2yxy,,,2bb,

0,,yb,

所求面积为:

abyb1aa,,2bSxyyxyab,,,,ddddd.yy,,,a,,,,,200Dy62bb,,b

（2）曲线xy=a,xy=2a,y=x,y=2x（x>0,y>0）所围图形D如图10-27所示:

图10-27所求面积为

Sxy,dd,,D

y,v令xy=u,,则x

u22xyuvauav,,,,,,,,（2,12）v

（,）1xyJ,,,（,）2uvv于是

222a22211aa,,,,,Sxyuvvuvdddddddln22,,,,,,,Da112222vvv22,,aua2,,v12

14.证明:

byb1，1nnyyxfxxfxbxx,,,d（）（）d（）（）d;

（1）,,,aaan，1

1fxyxyfuu（）dd（）d，,

（2）,D为|x|+|y|?

1;,,,,1D

122222faxbycxyufu（）dd21d，，,,（3）,其中D为x+y?

1且，，uabc，，,,,,1D

22a+b?

解:

（1）题中所给累次积分的积分区域D为

b,a?

y.如图10-28所示:

图10-28D也可表示为a?

b，x?

b，于是:

bbybbb1nn，1nyyxfxxxyxfxyx,,,,d（）（）dd（）（）ddfxyx,（）（）,,,,,aaaxan，1x

b1，1n,,fxbxx（）（）d.,an，1

（2）令x+y=u,x-y=v，则

uvuv，,xy,,,,且-1?

1,-1?

122

（,）1xy,于是,,,（,）2uv

11111fxyxyfuuvufuvfuu，,,,（）dd（）ddd（）d（）d.,,,,,,,,,,,11122Du,,,11v,,,11

aubvbuav,，（3）令,则xy,,,2222abab，，

22faxbycfuabc（）（），，,，，

ab,

222222,（,）xyababab，，J,,,，,12222ba,，，（,）uvabab

2222abab，，

22当x+y?

1时，

22222222aubvbuav,，,,,,（）（）abuabv，，，22，,,，,uv1.,,,,222222ab，abab，，,,,,

于是

22faxbycxyfuv（）dddd，，,，，uabc，，,,,,22Duv，,1

2,u1122,ddufv，，uabc，，2,,,,,u112,u1122,fvud，，uabc，，2,,1,,u1

1222,,21d.ufu，，uabc，，,,122222215.求球面x+y+z=y含在圆柱面x+y=ax内部的那部分面积。

解:

如图10-29所示:

图10-29

222zaxy,,,上半球面的方程为，由

,,,zxzy,,,222222,,xyaxyaxy,,,,

得

22,za,,,z,,1，，,,,,,222,y,x,,,,axy,,

由对称性知

22,za,,,z,,Axyxy,，，,41dd4dd,,,,,,,,222DD,y,x,

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