随机过程考试真题.docx
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随机过程考试真题
1、设随机过程X(t)RtC,t(0,),C为常数,R服从[0,1]区间上的均匀分布。
(1)求X(t)
(2)求X(t)
的一维概率密度和一维分布函数;
的均值函数、相关函数和协方差函数。
2、设W(t),
t
是参数为
2
的维纳过程,R~N(1,4)是正态分布随机变量;
且对任意的
t
,W(t)与R均独立。
令X(t)
W(t)R,求随机过程
X(t),
t
的均值函数、相关函数和协方差函数。
3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程,平均每小时有
180人,即
180;且每个
顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。
求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。
4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为:
0.30.70
P00.20.8
0.700.3
(1)求两步转移概率矩阵P
(2)及当初始分布为
P{X01}1,P{X0
2}
P{X0
3}0
时,经两步转移后处于状态
2的概率。
(2)求马尔可夫链的平稳分布。
5设马尔可夫链的状态空间
I
{1,2,3,4,5},转移概率矩阵为:
0.3
0.4
0.3
0
0
0.6
0.4
0
0
0
P0
1
0
0
0
0
0
0
0.3
0.7
0
0
0
1
0
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。
6、设N(t),t0是参数为的泊松过程,计算EN(t)N(ts)。
7、考虑一个从底层启动上升的电梯。
以Ni记在i第层进入电梯的人数。
假定Ni相互独立,
且Ni是均值为i的泊松变量。
在第i层进入的各个人相互独立地以概率pij在第j层离开电
梯,pij1。
令Oj=在第j层离开电梯的人数。
ji
(1)计算E(Oj)
(2)Oj的分布是什么
(3)Oj与Ok的联合分布是什么
8、一质点在1,2,3点上作随机游动。
若在时刻t质点位于这三个点之一,则在[t,th)内,
它都以概率ho(h)分别转移到其它两点之一。
试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微
分方程,转移概率
pij(t)及平稳分布。
1有随机过程{(t),-
},设(t)=Asin(t+
),(t)=Bsin(t++
),
其中A,B,,为实常数,
均匀分布于[0,2],试求R(s,t)
2(15分)随机过程
(t)=Acos(
t+),-
,其中A,,是相互统计独立的随机变量,
EA=2,DA=4,是在[-5,5]上均匀分布的随机变量,
是在[-,]上均匀分布的随机变量。
试
分析(t)的平稳性和各态历经性。
3某商店顾客的到来服从强度为
4人每小时的Poisson过程,已知商店9:
00开门,试求:
(1)
在开门半小时中,无顾客到来的概率;
(2)若已知开门半小时中无顾客到来,那么在未来半小时中,仍无顾客到来的概率。
4设某厂的商品的销售状态(按一个月计)可分为三个状态:
滞销(用
1表示)、正常(用2
表示)、畅销(用3表示)。
若经过对历史资料的整理分析,其销售状态的变化(从这月到下
月)与初始时刻无关,且其状态转移概率为
pij(pij表示从销售状态
i经过一个月后转为销售
状态j的概率),一步转移开率矩阵为:
1
1
0
2
2
5
P
1
1
3
9
9
1
2
1
6
3
6
试对经过长时间后的销售状况进行分析。
5设{X(t),t0}是独立增量过程,且X(0)=0,
证明{X(t),t
0}是一个马尔科夫过程。
6设
N(t),t
0
是强度为
的泊松过程,
Yk,k=1,2,
是一列独立同分布随机变量,且
N(t)
与N(t),t
0
独立,令
X(t)=
Yk,t
0,证明:
若
E(Y12<),则EX(t)
tEY1
k=1
7.设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关。
又设今天下雨而明天也下雨
的概率为,而今天无雨明天有雨的概率为;规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态
1。
设0.7,0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。
8设t,t是平稳过程,令ttcos0t,t,其中0
是常数,为均匀分布在[0,2]上的随机变量,且t,t
与相互独立,R()
和S(
)分别是
t,
t
的相关函数与功率谱密度,试证:
(1)
t
t
是平稳过程,且相关函数:
R
1R
cos
0
2
(2)
t
t
的功率谱密度为:
S
1
S
S
0
0
4
9已知随机过程
(t)的相关函数为:
R
e
2
(t)是否均方连续?
是否均方可微?
,问该随机过程
1、设随机过程X(t)RtC,t(0,),C为常数,
(1)求X(t)的一维概率密度和一维分布函数;
(2)求X(t)的均值函数、相关函数和协方差函数。
【理论基础】
x
(1)F(x)f(t)dt,则f(t)为密度函数;
(2)X(t)为(a,b)上的均匀分布,概率密度函数f(x)
R服从[0,1]区间上的均匀分布。
1
ba,axb,分布函数0,其他
0,x
a
(ba)2
F(x)
x
a,axb,E(x)
ab,D(x)
;
b
a
b
2
12
1,x
(3)参数为
的指数分布,概率密度函数
f(x)
ex,x
0,分布函数
0,x
0
1
e
x,x0
,E(x)
1
1
F(x)
0,x0
,D(x)
2;
2
(x
)2
1
2
(4)E(x)
D(x)
f(x)
e2
x,
的正态分布,概率密度函数
2
1
x
(t
)2
e2
2
0,
1时,其为标准正态分布。
分布函数F(x)
dt,
x
,若
2
【解答】本题可参加课本习题
2.1及2.2题。
(1)因R为[0,1]上的均匀分布,C为常数,故X(t)亦为均匀分布。
由R的取值范围可知,
t]上的均匀分布,因此其一维概率密度f(x)
1
CxCt,一维分布
X(t)为[C,C
t
0,其他
0,x
C
函数F(x)
xC,C
XCt;
t
C
t
1,x
(2)根据相关定义,均值函数
mX(t)
EX(t)
t
C;
2
1st
C(s
相关函数RX(s,t)
E[X(s)X(t)]
t)
C2;
3
2
st
协方差函数BX(s,t)
E{[X(s)
mX(s)][X(t)
mX(t)]}
t时为方差函数)
(当s
12
【注】D(X)
E(X2)
E2(X);BX(s,t)
RX(s,t)
mX(s)mX(t)
求概率密度的通解公式
()
()|
'
()|
()/|
'
()|
ft
x
fyyx
fy
xy
2、设W(t),
t
是参数为
2
的维纳过程,
R~N(1,4)是正态分布随机变量;且
对任意的
t
,W(t)与R均独立。
令X(t)W(t)
R,求随机过程
X(t),
t
的均值函数、相关函数和协方差函数。
【解答】此题解法同
1题。
依题意,W(t)~N(0,
2|t|),R~N(1,4),因此X(t)
W(t)R服从于正态分布。
故:
均值函数mX(t)
EX(t)1
;
相关函数RX(s,t)
E[X(s)X(t)]
5
;
协方差函数BX(s,t)
E{[X(s)
mX(s)][X(t)
mX(t)]}
4(当st时为方差函数)
3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程,平均每小时有
180人,即
180;且每个
顾客的消费额是服从参数为
s的指数分布。
求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。
【解答】此题可参见课本习题
3.10题。
由题意可知,每个顾客的消费额
Y是服从参数为
s的指数分布,由指数分布的性质可知:
E(Y)
1
1
2
)
2
,则由复合泊松过程的性质可得:
一天内商场营
D(Y)
s
2
,故E(Y
2
s
s
业额的数学期望mX(8)
8
180
E(Y);
一天内商场营业额的方差
2
(8)
8
180
(
2
)。
X
EY
4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为:
0.30.70
P00.20.8
0.700.3
(1)求两步转移概率矩阵P
(2)及当初始分布为
P{X01}1,P{X02}P{X03}0
时,经两步转移后处于状态2的概率。
(2)求马尔可夫链的平稳分布。
【解答】可参考教材例4.3题及4.16题
(1)两步转移概率矩阵
0.3
0.7
0
0.3
0.7
0
0.09
0.35
0.56
P
(2)
PP
0
0.2
0.8
0
0.2
0.8
0.56
0.04
0.4
0.7
0
0.3
0.7
0
0.3
0.42
0.49
0.09
当初始分布为
{
1}
1,
{
2}
{
3}
0时,
PX0
PX0
PX0
0.09
0.35
0.56
1
0
0
0.56
0.04
0.4
0.09
0.35
0.56
0.42
0.49
0.09
故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。
(2)因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态,所以平稳分布存在。
得如下方程组
1
0.3
1
0
2
0.7
2
0.7
1
0.2
2
0
3
0
1
0.8
2
0.3
1
2
3
1
3
3
3
解上述方程组得平稳分布为
1
8,
2
7,
3
8
23
23
23
5、设马尔可夫链的状态空间I
{1,2,3,4,5},转移概率矩阵为:
0.3
0.4
0.3
0
0
0.6
0.4
0
0
0
P
0
1
0
0
0
0
0
0
0.3
0.7
0
0
0
1
0
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。
【解答】此题比较综合,可参加例
4.13题和4.16题
画出状态转移图如下:
4
2
1
3
5
(1)由上图可知,状态分类为G1{1,2,3};G2{4,5}
(2)由上图及常返闭集定义可知,常返闭集有两个,下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。
A、对G1常返闭集而言,解方程组
1
0.3
1
0.6
2
2
0.4
1
0.4
2
3
0.3
1
0
2
1
2
3
0
1
0
1
3
3
3
解上述方程组得平稳分布为
1
37,
2
259,
3
37
15
90
50
则各状态的平均返回时间分别为
1
15
1
90
1
50
t1
37
t2
259
t3
37
1
2
3
B、对G2常返闭集而言,解方程组
1
0.3
1
1
2
0.7
1
0
1
2
1
解上述方程组得平稳分布为
2
2
110,27
1717
则各状态的平均返回时间分别为
t1
1
17,t2
1
17
1
10
2
7
6、设N(t),t0是参数为的泊松过程,计算EN(t)N(ts)。
【解答】
E
N(t)N(t
s)
EN(t)N(ts)N(t)N(t)
EN(t)N(ts)N(t)
EN(t)2
EN(t)E
N(t
s)N(t)
E
N(t)2
t
s
t
(
t)2
t(1
t
s)
7、考虑一个从底层启动上升的电梯。
以
Ni记在i第层进入电梯的人数。
假定
Ni相互独立,
且Ni是均值为i的泊松变量。
在第i层进入的各个人相互独立地以概率pij在第j层离开电
梯,pij1。
令Oj=在第j层离开电梯的人数。
ji
(1)计算E(Oj)
(2)Oj的分布是什么
(3)Oj与Ok的联合分布是什么
【解答】此题与本书联系不大,据有关方面信息,此次考试此题不考。
以
Nij
记在第
i
层乘上电梯,在第
j层离去的人数,则
Nij
是均值为
ipij
的泊松变量且全部
Nij(i0,j
i)相互独立。
因此:
(1)
E[Oj]
E[Nij]
ipij
i
i
(2)由泊松变量的性质知,
Oj
Nij是均值为
ipij的泊松变量
i
i
i
k
ki
(3)
因Oi与Ok独立,则P(OiOk)
P(Oi)P(Ok)
e
e
e2
,为期望。
i!
k!
i!
k!
8、一质点在1,2,3点上作随机游动。
若在时刻t质点位于这三个点之一,则在[t,th)内,
它都以概率ho(h)分别转移到其它两点之一。
试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微
分方程,转移概率pij(t)及平稳分布。
【解答】参见教材习题5.2题
依题意,由lim
pij(t)
(i
j)得,qij
1(i
j),柯尔莫哥洛夫向前方程为
qij
t
0
t
pij'
2pij(t)
pi,j1(t)
pi,j1(t),
由于状态空间I
{1,2,3},故
pij(t)pi,j1
(t)pi,j
1(t)1,
所以
pij'2pij(t)1pij(t)3pij(t)1,
解上述一阶线性微分方程得:
1t
pij(t)ce3
由初始条件
1
,
3
1,i
j
pij(0)
j
0,i
确定常数c,得
1
2
1t
3,i
j
3
e
pij(t)
3
1t
1
j
1e3,i
3
3
故其平稳分布
j
limpij(t)
1,j1,2,3
t
3
1、有随机过程{(t),-1.解:
f
1
0
2
2
0,
其它
2
1d
R
s,t
E
s
t
Asin
s
Bsin
t
0
2
1
2
AB
cos
t
s
cos
t
s2
d
4
0
1ABcos
t
s
s,t
2
2、随机过程(t)=Acos(t+
),-
,其中A,
是相互统计独立的随机变量,
EA=2,
DA=4,
是在[-5,5]上均匀分布的随机变量,
是在[-
,]上均匀分布的随机变量。
试分析
(t)的平稳性和各态历经性。
2、解:
m
t
Et
EAcos
t
EAEcos
t
1
5
d
cos
t
d
2
20
5
def
0m,t
Rt,t
E
tt
EAcos
t
Acos
t
2
t
cos
t
EAEcos
8