自考04184线性代数经管类讲解矩阵.docx

自考04184线性代数经管类讲解矩阵.docx

《自考04184线性代数经管类讲解矩阵.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自考04184线性代数经管类讲解矩阵.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

自考04184线性代数经管类讲解矩阵

阵矩第二章

2.1矩阵的概念

n2.1.1m×由定义个数

ai=12…mj=12…n）排成，，，，，，；（ijmn数表一个列的行用

大小括号表示mn列矩阵。

称为一个行

nm×这矩阵的含义是：

个数排成一个矩形阵列。

aij列元素称为矩阵的第其中行第iji=12…mj=12…ni，而，，，，）；，，（jij列的变称为行标，称为列标。

第行与第ij。

，）叉位置记为（ABC等表示，通常用大写字母，mn，和列数矩阵。

有时为了标明矩阵的行数也可记为A=aaA或））或（（nm×nm×ijnm×ij

m=nA=an阶为时，称）（当nijn×2nnn阶方阵是由矩阵，或者称为。

阶方阵个数排成一个正方形表，它不是一个数（行n阶行列式是两个完），它与列式是一个数全不同的概念。

只有一阶方阵才是一个数。

nA中从左上角到右下角的这条阶方阵一个An阶方阵的主对。

的主对角线对角线称为aa…a，称为此方，角线上的元素，，nn1122阵的对角元。

在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。

用OO（大写字）表示。

或者nm×a…m=1α=a，（时，称，，特别，当12an1×n矩阵。

。

它是）为维行向量nmn=1维列向量为时，。

称当

1m×它是矩阵。

向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。

abc3维行向量，）是，，（例如，

3维列向量。

是几种常用的特殊矩阵：

1.n阶对角矩阵或简写形如

A）念为（那不是“尖”，，的矩阵，称为对角矩阵

是一个三阶对角矩阵，例如，。

也可简写为

2.数量矩阵n阶数量矩阵对角矩阵的主对角线上的元当

有如下形式：

素都相同时，称它为数量矩阵。

。

或N没标就不阶矩阵，（标了角标的就是知是多少的）na=1阶单位矩阵当时，称特nEI，单位记为它为或阶nn别，矩阵。

即

或E或在不会引起混淆时，也可以用

I表示单位矩阵。

naEaI表示。

或阶数量矩阵常用nn2.2节中的数乘矩阵运算。

其含义见

n3.n阶下三角矩阵阶上三角矩阵与

的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角

矩阵。

阵一个方阵是对角矩阵当且仅当它角矩对

必须是方既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。

阵。

4.零矩阵

（可以是方阵也可以不是方阵）

2.2矩阵运算

数乘、减法、本节介绍矩阵的加法、只有在对矩阵定义乘法和转置等基本运算。

才了一些有理论意义和实际意义的运算后，能使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。

2.2.1矩阵的相等（同）

A=aB=bm=kn=l且，若设）（，），（lijnk×ijm×a=bi=12…mj=1，；，，，，ijij2…nAB相等，记为，则称矩阵，与矩阵，A=B。

由矩阵相等的定义可知，两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而ij）上的一且两个矩阵中处于相同位置（，。

对数都必须对应相等特别，

A=a=Oa=0i=12…，，（），，ijijm×nmj=12…n。

，；，，注意行列式相等与矩阵相等有，本质区别例如

12）位置上的因为两个矩阵中（，

02。

但是却有行列式等式元素分别为和

（因为行列式是数，矩阵是表，表要求表里的每一个都一样）

2.2.2矩阵的加、减法

2.2.2A=aB=和设）定义（nijm×nABbm×，是两个（矩阵。

由）与的nm×ijnm×称为对应元素相加所得到的一个矩阵，ABA+B，即与的和，记为A+B=a+b。

（）nijm×ij即若

则

AB的当两个矩阵行数与列数分别相等与

时，称它们是同型矩阵。

只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。

例如

注意：

1矩阵的加法与行列式的加法）（

有重大区别例如

（阶数相同，所有的行（列）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一样才可以相加，方法是除了这两个不同的行（列）相加外，其）它的不变。

21的方阵与数不能（）阶数大于

1它就是一个表，不是一（阶数大于相加。

个数了）A=ann>1a，）为若阶方阵，（ijA+an阶方阵无意义！

但是为一个数，则A=aaE可以相加：

与数量矩阵（）nnm×ij

aE把数转化为数量矩阵（n就可以想加了）矩阵的加法满足下列运算律：

ABnCm×nOm×都是零矩阵，设是，，

矩阵，则1A+B=B+A.（交换律乘法没有交换律）（）2A+B+C=A+B+C.）））结合律（（（3A+O=O+A=A.

）（4A+C=B+CA=B.（）消去律

2.2.3数乘运算（矩阵与数不能相加，但是可能想乘）2.2.3A=a）定义（对于任意一个矩阵ijkkA的乘积为，规定和任意一个数与nm×kA=ka.（矩阵里的第个原数都乘以（）nm×ijK）数．

即若

则

Ak2.2.3的乘可知，数由定义与矩阵kkA，而数中的所有元素都要乘以积只是DkD某一行与行列式乘的乘积只是用中nnDk中某一列的所乘的所有元素，或者用n有元素，这两种数乘运算是截然不同的。

数根据数乘矩阵运算的定义可以知道，

aEaE的乘积与单位矩阵就是数。

量矩阵nn乘运算律数

1klA=klA=klAkl和（），（）结合律（）为任意实数。

2kA+B=kA+kBk+l）（（）分配律，（）A=kA+lAkl为任意实数。

，和1已知例

2A-3B。

求解

2已知例

A+2X=BX。

且，求解：

（注意是乘以矩阵里的每个元素）

2.2.4乘法运算

A=aB=bC=c）（（设矩阵）（，），令ijk×km×ijnijnm×是由下面的个元素nm×+…+abi=12…mj=1c=ab+ab，（，，；，kj2ji2iji1ik1j2…n），，mnCA与称矩阵行为矩阵列矩阵，构成的

BC=AB。

的乘积，记为矩阵

A=a）（由此定义可以知道，两个矩阵ijB=bAB的列数与）和可以相乘当且仅（当ijC=ABC=A的时，的行数相等。

当的行数C=BCij行第的列数。

的第行数，的列数AiB的的第列元素等于矩阵行元素与矩阵j列对应元素的乘积之和。

第3若例且，

AB=CC中第二行第一列中的元素，求矩阵．

C21CA中的第二行等于左矩阵解：

21B中第一列元素对应乘积之元素与右矩阵和1+1×3+0×0=5C=2×∴214设矩阵例

AB求

解：

=

32A3×B3×是而这里矩阵矩阵，是BA的行数不相等，的列数与矩阵，由于

BA没有意义。

所以5例A2EE1A））（求（33331）解：

（

2）（

AE=EA=A，并且由本例可见33333可以推广有

a=a·1=a1·它与代数中的比较可见E。

单位矩阵在乘法中起单位的作用n6设矩阵例

BAAB和求解：

现在，我们对矩阵乘法与数的乘法作一比较。

数的乘法有交换律，矩阵乘法没有（差别）普遍交换律。

7设例

ACAB21）求（（）1）（解

2）（

AB=AC

可见

众所周知，两个数的乘积是可交换

ab=ba，因而才有熟知的公式：

的：

22222a+b=+2ab+ba-ba+b=a））（，（kkkb.=aa-bab），（（）两个非零数的乘积不可能为零。

因

ab=aca=0b=0ab=0。

当时，必有此，当或b=caa≠0。

，就可把成立时，只要消去得到（这条只满足数，不满足矩阵）67可知：

、例由矩阵乘法及上述例

1）单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积（EA=AE=A

必可交换：

nn2）数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积（aEA=AaE.

）必可交换：

）（（nn3）在一般情形下，矩阵的乘法不满足交（AB≠BA。

换律，即一般

4AB=OA=O或）当时，一般不能推出（B=O。

这说明矩阵乘法不满足消去律。

5AB=ACB=C。

）当（时，一般不能推出（消去律）

ABAB=BAA与与，满足则称若矩阵BAB必为同阶方阵。

可交换。

此时，与矩阵乘法不满足消去律，并不是说任意两个方阵相乘时，每一个方阵都不能从矩阵等式的同侧消去。

在下一节中我们将会看到，被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式的同侧消去。

8设矩阵，求出所有例AAB=BA）与（即可交换的矩阵。

A可交换的矩阵必为解因为与

A可为与二阶矩阵，所以可设交换的矩阵，则

x=xAX=XAx=0，可，由推出，121122xx可取任意值，即得，且2111。

（对角线必须一样）

9解矩例阵方程X为二阶矩阵。

，设解。

由题设条件可

得矩阵等式：

由矩阵相等的定义得

（列出两组方程式）x=1x=

，解这两个方程组可得2111．

=0x=1x-1。

，，。

所以2212法运算律乘

BCABC=A1。

）（））矩阵乘法结合律（（（不改变顺序）C=AC+BCA+B2，）矩阵乘法分配律（）（AB+C=AB+AC。

（）3kAB=kA）（）两种乘法的结合律）（（B=AkBk为任意实数。

）（，EA=AAE=A4E，其中，）（（mnnmm×nnm×m×nm×Emn阶单位矩阵）。

阶和分别为n矩阵乘法的结合律要用定义直接验证（证略），其他三条运算律的正确性是显然的。

方阵的方幂An阶方阵，为设由于矩阵乘法满足结合律，所以可以不加括号而有完全确定的意义。

A的幂（或称方幂）为我们

定义

n阶方阵的方幂满足下述由定义可知，规则：

klk+lklklAA=AA=Akl为任（，），，意正整数。

10例用数学归纳法证明以下矩

阵等式：

12）（（）

。

n=11时，矩阵等式显证）当（

n=k时，矩阵等式成立，即然成立。

假设当

n=k+1时，矩阵等式也成立。

知道，当n所以对任意正整数，此矩阵等式成立。

2n=1时，矩阵等式显然成立。

假设）当（n=k时，矩阵等式成立，即当．

则

n=k+1时，矩阵等式也成知道，当n，此矩阵等式都成立。

所以对任意正整数立。

BA11n满足设和阶方阵例。

证明：

，B=2A-E。

可推出由证：

n再由22-4A+E=4A=2A-E2A-EB（）（）nnn

证得

n为矩阵乘法不满足交换律，所以对于因

AB，有以下重要结论：

和阶方阵21A+B=A+BA+B）（）（）（）（．

2

222+2AB+B+AB+BA+B=A=AAB=BA。

2222A-B2A+B=A-AB+BA-B=A-B））（（（）AB=BA。

kkk.AB3AB=BA=AB（只（（）当）时必有有两者两等时成立）2ABAB=BAABAB=））（（例如时，（）

BBAABA=ABAB=AB=AABB=）））（（（22=ABAB≠BA。

时，则上面结果不成立但

13，则有例设，

所以对于，因为矩阵乘法不满足消去律BnA，有以下重要结论：

阶方阵和B=O1AB=OA≠O（）不能推出，。

时例如

两个不等于零的方阵相乘或是一个数平（方也可能等于零）