中考数学专题复习易错疑难解析第三章方程与方程组.docx
《中考数学专题复习易错疑难解析第三章方程与方程组.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学专题复习易错疑难解析第三章方程与方程组.docx（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
中考数学专题复习易错疑难解析第三章方程与方程组
2018年中考数学专题复习易错疑难解析
第三章方程与方程组
【易错点拨】
1．行程问题中的基本量之间的关系：
路程＝速度×时间．
（1）相遇问题：
全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；
（2）追及问题：
若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程；
（3）流水问题：
v顺＝v＋v水，v逆＝v－v水．
2．等积变形：
变化前的体积＝变化后的体积．
3．银行利率问题：
本金×利息税率＝利息税；本金＋利息－利息税＝实得本利和．
4．利润中的等量关系：
（1）毛利润＝售出价－进货价；
（2）纯利润＝售出价－进货价－其他费用；
（3）利润率＝利润÷进货价．
2.特殊二元一次方程求特殊解时，解是有限个，如写出x＋2y＝6的自然数解
3.工程问题中的基本量之间的关系：
工作效率＝
.
（1）甲、乙合做的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率．
（2）通常把工作总量看做“1”．
4.在一元二次方程的一般形式中要注意强调a≠0.
5.
（1）一元二次方程的根与系数的关系为：
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比．
（2）利用一元二次方程的根与系数的关系时要注意根的判别式Δ≥0.
6.在一元二次方程的应用中，注意增长率中的等量关系：
（1）增长率＝增量÷基础量；
（2）设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a（1＋m）n＝b，当m为平均下降率时a（1－m）n＝b.
7.在分式方程的变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为0，因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中看分母是不是为0.
【易错警示】
易错点一：
关注去分母漏乘或少乘现象
【例题1】（十堰中考）把方程3x＋
＝3－
去分母正确的是（ ）
A．18x＋2（2x－1）＝18－3（x＋1）
B．3x＋（2x－1）＝3－（x＋1）
C．18x＋（2x－1）＝18－（x＋1）
D．3x＋2（2x－1）＝3－3（x＋1）
【错解】B或C或D
【错因】去除分母同时乘以各分母的最小公倍数，去分母得
18x＋2（2x－1）＝18－3（x＋1）．故选A.
【正解】A
【案例跟踪】
解方程：
－
＝1.
解：
去分母，得3（x－3）－2（2x＋1）＝6，
去括号，得3x－9－4x－2＝6，
移项合并，得－x＝17，
系数化为1，得x＝－17.
易错点二：
要列方程，先明题意
【例题2】（温州中考）20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．设男生有x人，女生有y人．根据题意，列方程组正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【错解】A
【错因】根据“20位同学”可得方程x＋y＝20；根据“52棵树”可得方程3x＋2y＝52.错解中把人数与树的棵数弄反了．
【正解】D
【案例跟踪】
（2016·湖北荆门·3分）为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的
还少5台，则购置的笔记本电脑有 16 台．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为台．根据笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的
还少5台，可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：
设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑为台，
依题意得：
x=
﹣5，即20﹣
x=0，
解得：
x=16．
∴购置的笔记本电脑有16台．
故答案为：
16．
易错点三：
时刻牢记隐含条件，二次项系数不为0
【例题3】（成都中考）关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞－1B．k≥－1
C．k≠0D．k＞－1且k≠0
【错解】A.∵kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，
∴22＋4k＞0，解得k>－1.
【错因】忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
【正解】D
【案例跟踪】
（2016·广西桂林·3分）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜5B．k＜5，且k≠1C．k≤5，且k≠1D．k＞5
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴
，即
，
解得：
k＜5且k≠1．
故选B．
易错点四：
解分式方程，别忘了检验
【例题4】（舟山中考）小明解方程
－
＝1的过程如下．请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．
解：
方程两边乘x得
1－（x－2）＝1，①
去括号，得1－x－2＝1，②
合并同类项，得－x－1＝1，③
移项，得－x＝2，④
解得x＝－2，⑤
∴原方程的解为x＝－2.⑥
【错因】小明的解法有三处错误，步骤①去分母有误；
步骤②去括号有误；步骤⑥少检验．
【正解】方程两边乘以x，得1－（x－2）＝x，
去括号，得1－x＋2＝x，
移项，得－x－x＝－1－2，
合并同类项，得－2x＝－3，
解得x＝
，
经检验x＝
是分式方程的解，
则方程的解为x＝
.
【点悟】 解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【案例跟踪】
（2016·山东省济宁市·3分）已知A，B两地相距160km，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是 80 km/h．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设这辆汽车原来的速度是xkm/h，由题意列出分式方程，解方程求出x的值即可．
【解答】解：
设这辆汽车原来的速度是xkm/h，由题意列方程得：
，
解得：
x=80
经检验，x=80是原方程的解，
所以这辆汽车原来的速度是80km/h．
故答案为：
80．
【疑难解析】
疑难类型之一：
一元一次方程的应用
【例题】汽车队运送一批货物．若每辆车装4t，还剩下8t未装；若每辆车装4.5t，恰好装完．这个车队有多少辆车？
解：
设这个车队有x辆车，依题意，得
4x＋8＝4.5x，解得x＝16，
答：
这个车队有16辆车．
【思想方法】 利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程，一元一次不等式（组）等的基础，是课标要求，也是热点考题．
【真题链接】
链接1：
（2016·江西·8分）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不
同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：
使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．
（1）请直接写出第5节套管的长度；
（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】（1
）根据“第n节套管的长度=第1节套管的长度﹣4×（n﹣1）”，代入数据即可得出结论；
（2）同
（1）的方法求出第10节套管重叠的长度，设每相邻两节套管间的长度为xcm，根据“鱼竿长度=每节套管长度相加﹣（10﹣1）×相邻两节套管间的长度”，得出关于x的一元
一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：
（1）第5节套管的长度为：
50﹣4×（5﹣1）=34（cm）．
（2）第10节套管的长度为：
50﹣4×（10﹣1）=14（cm），
设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，
根据题意得：
（50+46+42+…+14）﹣9x=311，
即：
320﹣9x=311，
解得：
x=1．
答：
每相邻两节套管间重叠的长度为1cm．
疑难类型之二：
二元一次方程组的应用
【例题】用如图Z4－1①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图Z4－1②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？
解：
设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个，可恰好将库存的纸
板用完．
根据题意，可得
解得
答：
竖式纸盒做200个，横式纸盒做400个，恰好将库存的
纸板用完．
【思想方法】 利用方程（组）解决几何计算问题，是较好的方法，体现了数形结合思想．
【真题链接】
链接2：
（2016·山东省滨州市·4分）某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如表所示：
技术
上场时间（分钟）
出手投篮（次）
投中
（次）
罚球得分
篮板
（个）
助攻（次）
个人总得分
数据
46
66
2
2
10
11
8
60
注：
表中出手投篮次数和投中次数均不包括罚球．
根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设本
场比赛中该运动员投中2分球x个，3分球y个，根据投中22次，结合罚球得分总分可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】解：
设本场比赛中该运动员投中2分球x个，3分球y个，
依题意得：
，
解得：
．
答：
本场比赛中该运动员投中2分球16个，3分球6个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
疑难类型之三：
一元二次方程的应用
【例题】某租赁公司拥有汽车100辆，据统计，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到306600元？
解：
（1）88辆；
（2）设每辆车的月租金定为（3000＋x），则
[（3000＋x）－150]－
×50＝306600，
解得x1＝900，x2＝1200，
所以3000＋900＝3900（元），3000＋1200＝4200（元）．
答：
当每辆车的月租金为3900元或4200元时，
月收益可达到306600元．
【思想方法】
利润＝收入－支出，即利润＝租出去车辆的租金－租出去车
辆的维护费－未租出去车辆的维护费．
【真题链接】
链接3：
（2016·青海西宁·10分）青海新闻网讯：
2016年2月21日，西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用．市政府今年投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车．今后将逐年增加投资，用于建设新站点、配置公共自行车．预计2018年将投资340.5万元，新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车．
（1）请问每个站点的造价和公共自
行车的单价分别是多少万元？
（2）请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】
（1）分别利用投资了112万元，建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车以及投资340.5万元，新建12
0个公共
自行车站点、配置2205辆公共自行车进而得出等式求出答案；
（2）利用2016年配置720辆公共自行车，结合增长率为x，进而表示出2018年配置公共自行车数量，得出等式求出答案．
【解答】解：
（1）设每个站点造价x万元，自行车单价为y万元．根据题意可得：
解得：
答：
每个站点造价为1万元，自行车单价为0.1万元．
（2）设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a．
根据题意可得：
720（1+a）2=2205
解此方程：
（1+a）2=
，
即：
，
（不符合题意，舍去）
答：
2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%．
疑难类型之四：
分式方程的应用
【例题】[2015·聊城]在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花盒数的
，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？
解：
设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意有
＝
×
，解得x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解．
故第二批鲜花每盒的进价是150元．
【思想方法】注意根据题目要求整理得到关系式并列出分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【真题链接】
链接4：
（2016·广西桂林·8分）五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2000件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同
（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？
（2）经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用．
【分析】
（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，根据用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同
列出方程，求解即可；
（2）设甲种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，根据该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品列出方程，求解即可．
【解答】解：
（1）设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是（x+10）元，
根据题意得，
解得：
x=60．
经检验，x=60是原方程的解．
答：
甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；
（2）设甲
种物品件数为m件，则乙种物品件数为3m件，
根据题意得，m+3m=2000，
解得m=500，
即甲种物品件数为500件，则乙种物品件数为1500件，此时需筹集资金：
70×500+60×1500=125000（元）．
答：
若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金125000元．
【难点突破】
1.（2016·山东省滨州市·4分）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲是技术能手每小时比乙多做3个，甲做30个所用的时间与乙做20个所用的时间相等，那么甲每小时做 个零件．
2.（2016海南）世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．
3.（2016·浙江省绍兴市·4分））解分式方程：
+
=4．
4.（2016·湖北黄石·4分）解方程组
．
5.（2016·山东省菏泽市·3分）列方程或方程组解应用题：
为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一
份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）
6.（2016·山东省济宁市·3分）某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于一滴安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
7.某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20kg.
（1）当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？
最多是多少？
（2）若商场只要求保证每天的盈利为4420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？
【难点突破参考答案】
1.（2016·山东省滨州市·4分）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲是技术能手每小时比乙多做3个，甲做30个所用的时间与乙做20个所用的时间相等，那么甲每小时做 9 个零件．
【考点】二元一次方程组的应用．
【分析】设甲每小时做x个零件，乙每小时做y个零件，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【解答】解：
设甲每小时做x个零件，乙每小时做y个零件，
依题意得：
，
解得：
．
故答案为：
9．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合题意列出方程（或方程组）是关键．
2.（2016海南）世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各多少元．
【考点】一
元一次方程的应用．
【分析】设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为（150﹣x）元．根据“购书价格=《汉语成语大词典》的标价×折率+《中华上下五千年》的标价×折率”可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：
设《汉语成语大词典》的标价为x元，则《中华上下五千年》的标价为（150﹣x）元，
依题意得：
50%x+60%（150﹣x）=80，
解得：
x=100，
150﹣100=50（元）．
答：
《汉语成语大词典》的标价为100元，《中华上下五千年》的标价为50元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出50%x+60%（150﹣x）=80．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（或方程组）是关键．
3.（2016·浙江省绍兴市·4分））解分式方程：
+
=4．
【考点】解分式方程．
【分析】观察可得方程最简公分母为（x﹣1），将方程去分母转化为整式方程即可求解．
【解答】解：
方程两边同乘（x﹣1），
得：
x﹣2=4（x﹣1），
整理得：
﹣3x=﹣2，
解得：
x=
，
经检验x=
是原方程的解，
故原方程的解为x=
．
4.（2016·湖北黄石·4分）解方程组
．
【分析】首先联立方程组消去x求出y的值，然后再把y的值代入x﹣y=2中求出x的值即可．
【解答】解：
将两式联立消去x得：
9（y+2）2﹣4y2=36，
即5y2+36y=0，
解得：
y=0或﹣
，
当y=0时，x=2，
y=﹣
时，x=﹣
；
原方程组的解为
或
．
【点评】本题主要考查了高次方程的知识，解答本题的关键是进行降次解方程，此题难度不大．
5.（2016·山东省菏泽市·3分）列方程或方程组解应用题：
为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一
份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）
【考点】分式方程的应用．
【分析】设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，然后根据“双面打印，用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可．
【解答】解：
设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，
根据题意，得：
=2×
，
解得：
x=3.2，
经检验：
x=3.2是原分式方程的解，且符合题意，
答：
A4薄型纸每页的质量为3.2克．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，根据题意准确找到相等关系并据此列出方程是解题的关键．
6.（2016·山东省济宁市·3分）某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于一滴安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】
（1）设年平均增长率为x，根据：
2014年投入资金给×（1+增长率）2=2016年投入资金，列出方程组求解可得；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据：
前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥500万
，列不等式求解可得．
【解答】解：
（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，
得：
1280（1+x）2=1280+1600，
解得：
x=0.5或x=﹣2.25（舍），
答：
从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；
（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，
得：
1000×8×400+（a﹣1000）×5×400≥5000000，
解得：
a≥1900，
答：
今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
7.某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出400kg.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20kg.
（1）当每千克涨价多少元时，每天的盈利最多？
最多是多少？
（2）若商场只要求保证每天的盈利为4420元，同时又可使顾客得到实惠，每千克应涨价多少元？
解：
（1）设每千克涨价x元时总利润为y.
则y＝（10＋x）（400－20x）
＝－20x2＋200x＋4000
＝－20（x－5）2＋4500.
当x＝5时，y取得最大值，最大值为4500.
即当每千克涨价5元时，每天的盈利最多，最多为4500元；
（2）设每千克应涨价a元，则（1
升级会员 