湖南省永州市中考数学试题及解析.docx

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湖南省永州市中考数学试题及解析

2015年湖南省永州市中考数学试卷

一、选择题，共10小题，每小题3分，共30分

1．（3分）（2015•永州）在数轴上表示数﹣1和2014的两点分别为A和B，则A和B两点间的距离为（　　）

A．

2013

B．

2014

C．

2015

D．

2016

2．（3分）（2015•永州）下列运算正确的是（　　）

A．

a2•a3=a6

B．

（﹣a+b）（a+b）=b2﹣a2

C．

（a3）4=a7

D．

a3+a5=a8

3．（3分）（2015•永州）某中学九年级舞蹈兴趣小组8名学生的身高分别为（单位：

cm）：

168，165，168，166，170，170，176，170，则下列说法错误的是（　　）

A．

这组数据的众数是170

B．

这组数据的中位数是169

C．

这组数据的平均数是169

D．

若从8名学生中任选1名学生参加校文艺会演，则这名学生的身高不低于170的概率为

4．（3分）（2015•永州）永州市双牌县的阳明山风光秀丽，历史文化源远流长，尤以山顶数万亩野生杜鹃花最为壮观，被誉为“天下第一杜鹃红”．今年“五一”期间举办了“阳明山杜鹃花旅游文化节”，吸引了众多游客前去观光赏花．在文化节开幕式当天，从早晨8：

00开始每小时进入阳明山景区的游客人数约为1000人，同时每小时走出景区的游客人数约为600人，已知阳明上景区游客的饱和人数约为2000人，则据此可知开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为（　　）

A．

10：

B．

12：

C．

13：

D．

16：

5．（3分）（2015•永州）一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，现从三个方向看，其三种视图如图所示，则这张桌子上碟子的总数为（　　）

A．

B．

C．

D．

6．（3分）（2015•永州）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知

和

所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（　　）

A．

45°

B．

40°

C．

25°

D．

20°

7．（3分）（2015•永州）若不等式组

恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　）

A．

﹣1≤m＜0

B．

﹣1＜m≤0

C．

﹣1≤m≤0

D．

﹣1＜m＜0

8．（3分）（2015•永州）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）

A．

∠ABD=∠ACB

B．

∠ADB=∠ABC

C．

AB2=AD•AC

D．

9．（3分）（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（　　）

A．

有且只有1个

B．

有且只有2个

C．

组成∠E的角平分线

D．

组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）

10．（3分）（2015•永州）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（　　）

A．

[x]=x（x为整数）

B．

0≤x﹣[x]＜1

C．

[x+y]≤[x]+[y]

D．

[n+x]=n+[x]（n为整数）

二、填空题，共8小题，每小题3分，共24分

11．（3分）（2015•永州）国家森林城市的创建极大地促进了森林资源的增长，美化了城市环境，提升了市民的生活质量，截至2014年．全国已有21个省、自治区、直辖市的75个城市获得了“国家森林城市”乘号．永州市也在积极创建“国家森林城市”．据统计近两年全市投入“创森”资金约为365000000元，365000000用科学记数法表示为　　　　　　．

12．（3分）（2015•永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=　　　　　　度．

13．（3分）（2015•永州）已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A（0，1），B（2，0），则当x　　　　　　时，y≤0．

14．（3分）（2015•永州）已知点A（﹣1，y1），B（1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数y=

（k＞0）的图象上．则　　　　　　＜　　　　　　＜　　　　　　（填y1，y2，y3）．

15．（3分）（2015•永州）如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=　　　　　　．

16．（3分）（2015•永州）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB=60°．现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为　　　　　　．

17．（3分）（2015•永州）在等腰△ABC中，AB=AC，则有BC边上的中线，高线和∠BAC的平分线重合于AD（如图一）．若将等腰△ABC的顶点A向右平行移动后，得到△A′BC（如图二），那么，此时BC边上的中线、BC边上的高线和∠BA′C的平分线应依次分别是　　　　　　，　　　　　　，　　　　　　．（填A′D、A′E、A′F）

18．（3分）（2015•永州）设an为正整数n4的末位数，如a1=1，a2=6，a3=1，a4=6．则a1+a2+a3+…+a2013+a2014+a2015=　　　　　　．

三、简单题，共9小题，共76分

19．（6分）（2015•永州）计算：

cos30°﹣

+（

）﹣2．

20．（6分）（2015•永州）先化简，再求值：

•（m﹣n），其中

=2．

21．（8分）（2015•永州）中央电视台举办的“中国汉字听写大会”节目受到中学生的广泛关注．某中学为了了解学生对观看“中国汉字听写大会”节目的喜爱程度，对该校部分学生进行了随机抽样调查，并绘制出如图所示的两幅统计图．在条形图中，从左向右依次为A类（非常喜欢），B类（较喜欢），C类（一般），D类（不喜欢）．已知A类和B类所占人数的比是5：

9，请结合两幅统计图，回答下列问题：

（1）写出本次抽样调查的样本容量；

（2）请补全两幅统计图；

（3）若该校有2000名学生．请你估计观看“中国汉字听写大会”节目不喜欢的学生人数．

22．（8分）（2015•永州）已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．

23．（8分）（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．

（1）求证：

∠ABC=∠EDC；

（2）求证：

△ABC≌△EDC．

24．（10分）（2015•永州）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．

（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；

（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．

25．（10分）（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．

（1）求证：

BE=CE；

（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；

（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．

26．（10分）（2015•永州）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，

）．R（1，1）是抛物线对称轴l上的一点．

（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；

（2）若P是抛物线上的一个动点（如图一），求证：

点P到R的距离与点P到直线y=﹣1的距离恒相等；

（3）设直线PR与抛物线的另一交点为Q，E为线段PQ的中点，过点P、E、Q分别作直线y=﹣1的垂线．垂足分别为M、F、N（如图二）．求证：

PF⊥QF．

27．（10分）（2015•永州）问题探究：

（一）新知学习：

圆内接四边形的判断定理：

如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．

（二）问题解决：

已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是

上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．

（1）若直径AB⊥CD，对于

上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；

（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；

（3）若直径AB与CD相交成120°角．

①当点P运动到

的中点P1时（如图二），求MN的长；

②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．

（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．

2015年湖南省永州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题，共10小题，每小题3分，共30分

1．（3分）（2015•永州）在数轴上表示数﹣1和2014的两点分别为A和B，则A和B两点间的距离为（　　）

A．

2013

B．

2014

C．

2015

D．

2016

考点：

分析：

数轴上两点间的距离等于表示这两点的数的差的绝对值．

解答：

解：

|﹣1﹣2014|=2015，故A，B两点间的距离为2015，故选：

C．

点评：

本题考查了数轴，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．

2．（3分）（2015•永州）下列运算正确的是（　　）

A．

a2•a3=a6

B．

（﹣a+b）（a+b）=b2﹣a2

C．

（a3）4=a7

D．

a3+a5=a8

考点：

分析：

A：

根据同底数幂的乘法法则判断即可．

B：

平方差公式：

（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，据此判断即可．

C：

根据幂的乘方的计算方法判断即可．

D：

根据合并同类项的方法判断即可．

解答：

解：

∵a2•a3=a5，

∴选项A不正确；

∵（﹣a+b）（a+b）=b2﹣a2，

∴选项B正确；

∵（a3）4=a12，

∴选项C不正确；

∵a3+a5≠a8

∴选项D不正确．

故选：

B．

点评：

（1）此题主要考查了平方差公式，要熟练掌握，应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：

①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．

（2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．

（3）此题还考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

①（am）n=amn（m，n是正整数）；②（ab）n=anbn（n是正整数）．

（4）此题还考查了合并同类项的方法，要熟练掌握．

3．（3分）（2015•永州）某中学九年级舞蹈兴趣小组8名学生的身高分别为（单位：

cm）：

168，165，168，166，170，170，176，170，则下列说法错误的是（　　）

A．

这组数据的众数是170

B．

这组数据的中位数是169

C．

这组数据的平均数是169

D．

若从8名学生中任选1名学生参加校文艺会演，则这名学生的身高不低于170的概率为

考点：

分析：

分别利用众数、中位数、平均数及概率的知识求解后即可判断正误；

解答：

解：

A、数据170出现了3次，最多，故众数为170，正确，不符合题意；

B、排序后位于中间位置的两数为168和170，故中位数为169，正确，不符合题意；

C、平均数为（168+165+168+166+170+170+176+170）÷4=169.125，故错误，符合题意；

D、从8名学生中任选1名学生参加校文艺会演，则这名学生的身高不低于170的概率为

，

故选C．

点评：

本题考查了众数、加权平均数、中位数及概率公式，解题的关键是能够分别求得有关统计量，难度不大．

A．

10：

B．

12：

C．

13：

D．

16：

考点：

分析：

设开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为x点，结合已知条件“从早晨8：

00开始每小时进入阳明山景区的游客人数约为1000人，同时每小时走出景区的游客人数约为600人，已知阳明上景区游客的饱和人数约为2000人”列出方程并解答．

解答：

解：

设开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为x点，则

（x﹣8）×（1000﹣600）=2000，

解得x=13．

即开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为13：

00．

故选：

C．

点评：

本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

从俯视图可得：

碟子共有3摞，结合主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，相加可得答案．

解答：

解：

由俯视图可得：

碟子共有3摞，

由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如下图所示：

故这张桌子上碟子的个数为3+4+5=12个，

故选：

B．

点评：

本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，分析出每摞碟子的个数是解答的关键．

6．（3分）（2015•永州）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知

和

所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（　　）

A．

45°

B．

40°

C．

25°

D．

20°

考点：

分析：

先由圆周角定理求出∠A与∠ADB的度数，然后根据三角形外角的性质即可求出∠P的度数．

解答：

解：

∵

和

所对的圆心角分别为90°和50°，

∴∠A=25°，∠ADB=45°，

∵∠P+∠A=∠ADB，

∴∠P=∠ADB﹣∠P=45°﹣25°=20°．

故选D．

点评：

此题考查了圆周角定理及三角形外角的性质，解题的关键是：

熟记并能灵活应用圆周角定理及三角形外角的性质解题．

7．（3分）（2015•永州）若不等式组

恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　）

A．

﹣1≤m＜0

B．

﹣1＜m≤0

C．

﹣1≤m≤0

D．

﹣1＜m＜0

考点：

分析：

先求出不等式的解集，根据题意得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．

解答：

解：

∵不等式组

的解集为m﹣1＜x＜1，

又∵不等式组

恰有两个整数解，

∴﹣2≤m﹣1＜﹣1，

解得：

﹣1≤m＜0

恰有两个整数解，

故选A．

点评：

本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的解集的应用，解此题的关键是能求出关于m的不等式组，难度适中．

8．（3分）（2015•永州）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）

A．

∠ABD=∠ACB

B．

∠ADB=∠ABC

C．

AB2=AD•AC

D．

考点：

分析：

根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．

解答：

解：

A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；

B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；

C、∵AB2=AD•AC，∴

，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；

D、

不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．

故选：

D．

点评：

本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．

9．（3分）（2015•永州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P（　　）

A．

有且只有1个

B．

有且只有2个

C．

组成∠E的角平分线

D．

组成∠E的角平分线所在的直线（E点除外）

考点：

分析：

根据角平分线的性质分析，作∠E的平分线，点P到AB和CD的距离相等，即可得到S△PAB=S△PCD．

解答：

解：

作∠E的平分线，

可得点P到AB和CD的距离相等，

因为AB=CD，

所以此时点P满足S△PAB=S△PCD．

故选D．

点评：

此题考查角平分线的性质，关键是根据AB=CD和三角形等底作出等高即可．

10．（3分）（2015•永州）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（　　）

A．

[x]=x（x为整数）

B．

0≤x﹣[x]＜1

C．

[x+y]≤[x]+[y]

D．

[n+x]=n+[x]（n为整数）

考点：

专题：

新定义．

分析：

根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算．

解答：

解：

A、∵[x]为不超过x的最大整数，

∴当x是整数时，[x]=x，成立；

B、∵[x]为不超过x的最大整数，

∴0≤x﹣[x]＜1，成立；

C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，

∵﹣9＞﹣10，

∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，

∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，

D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；

故选：

C．

点评：

本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年高考常考的题型．

二、填空题，共8小题，每小题3分，共24分

考点：

分析：

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答：

解：

将365000000用科学记数法表示为3.65×108．

故答案为：

3.65×108．

点评：

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．（3分）（2015•永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC=　120　度．

考点：

分析：

由已知一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到AB与DC平行，再利用两直线平行同旁内角互补，由∠A的度数即可求出∠ADC的度数．

解答：

解：

∵∠1=∠2，

∴AB∥CD，

∴∠A+∠ADC=180°，

∵∠A=60°，

∴∠ADC=120°．

故答案为：

120°

点评：

本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

13．（3分）（2015•永州）已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A（0，1），B（2，0），则当x　≥2　时，y≤0．

考点：

分析：

利用待定系数法把点A（0，﹣1），B（1，0）代入y=kx+b，可得关于k、b的方程组，再解出方程组可得k、b的值，进而得到函数解析式，再解不等式即可．

解答：

解：

∵一次函数y=kx+b的图象经过两点A（0，1），B（2，0），

∴

，

解得：

这个一次函数的表达式为y=﹣

x+1．

解不等式﹣

x+1≤0，

解得x≥2．

故答案为x≥2．

点评：

本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解不等式，把点的坐标代入函数解析式求出解析式是解题的关键．

14．（3分）（2015•永州）已知点A（﹣1，y1），B（1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数y=

（k＞0）的图象上．则　y1　＜　y3　＜　y2　（填y1，y2，y3）．

考点：

反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网

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