广东省台山侨中高三第二次模考.docx

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广东省台山侨中高三第二次模考

广东省台山侨中2010届高三第二次模考

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题（每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）

1．若复数

（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（）

（A）-2（B）6（C）4（D）

2.已知

，

是两个不共线的单位向量，向量

=3

-

，

=t

+2

，且

∥

，则t=（）A．-6B．6C．-3D．3

3.

的值为（）

A．－4B．－2C．

D．4

4．已知高为3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是边长为1的正三角形（如图1所示），

则三棱锥B′—ABC的体积为（）

A．

B．

C．

D．

5．

中，若

，则

的外接圆半径为（）

A．

B．

C．

D．

6．若实数

满足条件

目标函数

，则（）

A．

B．

C．

D．

7．底面是矩形的四棱柱

中，

，

，

，则

（）

A．

B．

C．

D．

x

8.幂函数

，当

取不同的正数时，在区间

上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点

连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数

的图像三等分，即有

那么，αβ=（）

A．1B．2C．

D．

第II卷（非选择题共110分）

二、填空题（每小题5分，共30分）

9.已知

，若，

则

。

10已知|

|＝1，|

|＝2，|

|＝2，则|

|＝　　　　　　

11．函数

的最大值是。

12．函数

的图象恒过定点

，若点

在直线

上，则

的最小值为．

13.已知等差数列

的前

项和为

，且

，

，则过点

和

N*）的直线的斜率是__________。

选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）极坐标系内，曲线

上的动点P与定点

的最近距离等于__________.

15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB是⊙O的直径，CB切⊙O与B，CD切⊙O与D，交BA的延长线于E。

若AB=3，ED=2，则BC的长为_______.

三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）

（16）（本小题满分12分）已知函数

.

（1）求

的定义域；

（2）讨论

的奇偶性；（3）证明

在（0,1）内单调递减.

17.已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=

．

（1）若b=4，求sinA的值；

（2）若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值．（本题12分）

18.已知数列

是首项为

，公比

的等比数列，，

设

，数列

.（本题满分14分）

（1）求数列

的通项公式；

（2）求数列

的前n项和Sn.

19．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园

，公园由长方形的休闲区

和环公园人行道（阴影部分）组成。

已知休闲区

的面积为

平方米，人行道的宽分别为

米和

米（如图）（Ⅰ）若设休闲区的长和宽的比

，求公园

所占面积

关于

的函数

的解析式；（Ⅱ）要使公园所占面积最小，休闲区

的长和宽该如何设计？

20.（本题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：

平面BCD；

（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；

（III）求点E到平面ACD的距离．

21.（本题满分14分）已知

，

，

（1）若f（x）在

处取得极值，试求c的值和f（x）的单调增区间；

（2）如右图所示，若函数

的图象在

连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：

即一定存在

使得

？

（用含有a,b,f（a）,f（b）的表达式直接回答）

（3）利用

（2）证明：

函数y=g（x）图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.

参考答案

一．选择题（每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

B

D

C

C

B

A

二、填空题（每小题5分，共30分）

9．

10．

11．6

12．413．414．

15.__3____.

三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）

16.（本题满分12分）

⑴

故f（x）的定义域为（－1,0）∪（0,1）．4分

⑵　∵

，　∴f（x）是奇函数。

3分

⑶　设0＜x1＜x2＜1，则

∵　0＜x1＜x2＜1，　∴x2－x1＞0，　x1x2＞0，

∴　

，

5分

∴

，　即

　　∴

在（0,1）内递减。

另解：

　　∴当x∈（0,1）时，

　　　故

在

内是减函数。

17【解析】（本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力）

（1）∵cosB=

>0，且0

∴sinB=

.……2分

由正弦定理得

，……4分

.……6分

（2）∵S△ABC=

acsinB=4，……8分

∴

，∴c=5.……10分

由余弦定理得b2=a2+c2－2accosB，

∴

.……14分

18解

（1）由题意知，

，……………2分

又

，

故

……………4分

（2）由

（1）知，

……………6分

……7分

于是

…………………………9分

两式相减，得

…………………………12分

……………14分

19．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园

，公园由长方形的休闲区

和环公园人行道（阴影部分）组成。

已知休闲区

的面积为

平方米，人行道的宽分别为

米和

米（如图）（Ⅰ）若设休闲区的长和宽的比

，求公园

所占面积

关于

的函数

的解析式；（Ⅱ）要使公园所占面积最小，休闲区

的长和宽该如何设计？

19.解：

（Ⅰ）设休闲区的宽为

米，则其长为

米，

∴

，

∴

（Ⅱ）

，当且仅当

时，公园所占面积最小，此时，

，即休闲区

的长为

米，宽为

米。

20.（本题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（I）求证：

平面BCD；

（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；

（III）求点E到平面ACD的距离．

解：

方法一：

（I）证明：

连结OC

………1分

在

中，由已知可得

而

即

……………3分

又

平面

……………5分

（II）解：

取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。

……………6分

在

中，

……………7分

是直角

斜边AC上的中线，

……………8分

异面直线AB与CD所成角大小的余弦为

；……………9分

（III）解：

设点E到平面ACD的距离为

……………11分

在

中，

……………12分

而

……………13分

点E到平面ACD的距离为

……………14分

方法二：

（I）同方法一．……………5分

（II）解：

以O为原点，如图建立空间直角坐标系，

则

………………6分

…………7分

………9分

异面直线AB与CD所成角大小的余弦为

；……………10分

（III）解：

设平面ACD的法向量为

则

……………11分

令

得

是平面ACD的一个法向量．……………12分

又

点E到平面ACD的距离

……………14分

21.（本题满分14分）已知

，

，

（1）若f（x）在

处取得极值，试求c的值和f（x）的单调增区间；

（2）如右图所示，若函数

的图象在

连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：

即一定存在

使得

？

（用含有a,b,f（a）,f（b）的表达式直接回答）

（3）利用

（2）证明：

函数y=g（x）图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.

解：

（1）

，………1分

依题意，有

，即

．……………2分

，

．

令

得

，……………4分

从而f（x）的单调增区间为：

；……………5分

（2）

；……………8分

（3）

，…………9分

……………10分

………12分

由

（2）知，对于函数y=g（x）图象上任意两点A、B，在A、B之间一定存在一点

使得

，又

，故有

，证毕．………14分