学年常州市高三上学期期末考试数学.docx
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学年常州市高三上学期期末考试数学
2019届高三模拟考试试卷（八）
数
学（满分160
分，考试时间120
分钟）
2019.1
一、填空题：
本大题共
14小题，每小题
5分，共70分.
1.
已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，1}，则A∩B＝
Ｗ.
2.
已知复数z满足z（1＋i）＝1－i（i是虚数单位），则复数z＝
Ｗ.
3.已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1，9.3，x，9.2，9.4，且这5个分数的平均
数为
9.3，则实数x＝Ｗ.
值为
4.一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出
Ｗ.
y的值为
1，则输入的实数
x的
Readx
Ifx≥1Then
2
y←x－2x－2
Else
y←x＋1
x－1
EndIf
Printy
（第
4题）
5.函数y＝1－lnx的定义域为
Ｗ.
6.某校开设5门不同的选修课程，其中
3门理科类和
2门文科类，某同学从中选修
2门
课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为
Ｗ.
x2
y2
7.已知双曲线
C：
a2－b2＝1（a>0，b>0）的离心率为
2，直线
x＋y＋2＝0经过双曲线
C的
焦点，则双曲线
C的渐近线方程为
Ｗ.
（第
8题）
8.已知圆锥SO，过SO的中点圆柱的下底面落在圆锥的底面上
P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，（如图），则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为
Ｗ.
y
1x
9.已知正数x，y满足x＋x＝1，则x＋y的最小值为
Ｗ.
10.若直线kx－y－k＝0与曲线y＝ex（e是自然对数的底数）相切，则实数k＝
Ｗ.
11.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>0，φ∈R）是偶函数，点（1，0）是函数y＝f（x）图象的对
称中心，则ω最小值为
Ｗ.
12.已知平面内不共线的三点
→
→
O，A，B，满足|OA|＝1，|OB|＝2，点C为线段AB的中点，
∠AOB的平分线交线段
→
→
Ｗ.
AB于点D.若|OC|＝
3，则|OD|＝
2
13.过原点的直线
l与圆x2＋y2＝1交于P，Q两点，点A是该圆与x轴负半轴的交点，
以AQ为直径的圆与直线
l有异于Q的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那
么直线l的方程为
Ｗ.
14.若数列{an}，{bn}满足bn＝an＋1＋（－1）nan（n∈N*），且数列{bn}的前n项和为n2.已知
数列{an－n}的前2018项和为1，则数列{an}的首项a1＝Ｗ.
二、解答题：
本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分14分）
如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别是棱AB，CC1的中点.求证：
（1）CM∥平面AB1N；
（2）平面A1BN⊥平面AA1B1B.
16.（本小题满分14分）
在△ABC中，a，b，c分别为三个内角
A，B，C的对边，且b2－2
3
bcsinA＋c2＝a2.
3
（1）求角A的大小；
（2）若tanBtanC＝3，且a＝2，求△ABC的周长.
17.（本小题满分
14分）
x2
y2
y2
x2
在平面直角坐标系
xOy中，椭圆
C1：
a2
＋b2＝1的焦点在椭圆
C2：
a2＋b2＝1上，其中
6
6
）是椭圆C1，C2
位于第一象限的交点.
a>b>0，且点（3，
3
（1）
求椭圆C1，C2的标准方程；
（2）
过y轴上一点P的直线l与椭圆C2相切，与椭圆
→3→
C1交于点A，B，已知PA＝PB，
5
求直线l的斜率.
18.（本小题满分16分）
某公园要设计如图①所示的景观窗格
（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个
全等的三角形所得，如图②所示的多边形
ABCDEFGH），整体设计方案要求：
内部井字形的
两根水平横轴AF＝BE＝1.6
m，两根竖轴CH＝DG＝1.2
m，记景观窗格的外框（图②实线部
分，轴和边框的粗细忽略不计
）总长度为lm.
（1）
2π，且两根横轴之间的距离为
0.6m，求景观窗格的外框总长度；
若∠ABC＝3
（2）
由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过
5m，当景观窗格的面积（多边形
ABCDEFGH的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠
ABC的大小与BC的长度.
19.（本小题满分16分）
已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＋3an＋4＝0，n∈N*.
（1）求证：
{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）数列{an}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？
若存在，
求满足条件的项；若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分16分）
已知函数m（x）＝x2，函数n（x）＝alnx＋1（a∈R）.
（1）若a＝2，求曲线y＝n（x）在点（1，n
（1））处的切线方程；
（2）
若函数f（x）＝m（x）－n（x）有且只有一个零点，求实数
a的取值范围；
（3）
若函数g（x）＝n（x）－1＋ex－ex≥0对x∈[1，＋∞）恒成立，求实数
a的取值范围.（e是
自然对数的底数，e≈2.71828⋯）
2019届高三模拟考试试卷（八）
数学附加题（满分40分，考试时间30分钟）
21.【选做题】
在A，B，C
三小题中只能选做
2题，每小题
10分，共
20分.若多做，
则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
A.（选修42：
矩阵与变换）
.
1x
已知点
（1，2）在矩阵
A＝
对应的变换作用下得到点
（7，6）.求：
2y
（1）矩阵A；
（2）矩阵A的特征值及对应的特征向量.
B.（选修44：
坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系
xOy中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系
.直线
2
x＝1＋
2t，
π
l的参数方程为
1
（t为参数），曲线C的极坐标方程为
ρ＝22sin（θ＋4），求直线
y＝2t
l被曲线C所截的弦长.
C.（选修45：
不等式选讲）
已知a>0，b>0，求证：
a＋b＋1≥ab＋a＋b.
【必做题】
第22，23
题，每小题
10分，共
20分.解答时应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤
.
22.如图，在空间直角坐标系
C，A分别在x轴和y轴上，且
Oxyz中，已知正四棱锥PABCD
AB＝2，点M是棱PC的中点.
的高
OP＝2，点
B，D
和
（1）求直线AM与平面PAB所成角的正弦值；
（2）求二面角APBC的余弦值.
23.是否存在实数
a，b，c，使得等式1·3·5＋2·4·6＋⋯＋n（n＋2）（n＋4）＝n（n＋1）
（an2
4
＋bn＋c）对于一切正整数
n都成立？
若存在，求出
a，b，c的值；若不存在，请说明理由.
2019届高三模拟考试试卷（八）（常州）
数学参考答案及评分标准
3
3
2
π
1.{1}2.－i3.9.54.35.（0，e]
6.5
7.y＝±3x
8.
8
9.410.e
11.2
2
12.3
13.y＝±3x14.32
15.证明：
（1）令AB1交A1B于点O，连结OM，ON，在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，且四边形AA1B1B是平行四边形，所以O为AB1的中点.
1
因为M为AB的中点，所以OM∥BB1，且OM＝2BB1.
因为N为CC1的中点，CN＝12CC1，
所以OM＝CN，且OM∥CN，所以四边形CMON是平行四边形，（5分）
所以CM∥ON.
又ON?
平面AB1N，CM?
平面AB1N，所以CM∥平面AB1N.（7分）
（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，CM?
平面ABC，所以BB1⊥CM.（9分）
又CA＝CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB.
又由
（1）知CM∥ON，所以ON⊥AB，ON⊥BB1.
因为AB∩BB1＝B，AB，BB1?
平面AA1B1B，所以ON⊥平面AA1B1B.（12分）
又ON?
平面A1BN，所以平面A1BN⊥平面AA1B1B.（14分）
16.
解：
（1）
由余弦定理得
2
2
2
2
－
2
3
2
2
a
＝b－2bccosA＋c，又b
3
bcsinA＋c＝a
，
2
2
2
2
3
2
2
3
所以b－2bccosA＋c＝b－
3
bcsinA＋c，即2bccosA＝
3
bcsinA.（3分）
2
2
从而sinA＝3cosA，若cosA＝0，则sinA＝0，与sin
A＋cosA＝1矛盾，所以cosA≠
π
0，所以tanA＝
3.又A∈（0，π），所以A＝3
.（7分）
（2）
tanB＋tanC＝tan（B＋C）＝tan（π－A）＝tan2π＝－
3.（9分）
1－tanBtanC
3
又tanBtanC＝3，所以tanB＋tanC＝－
3×（－2）＝2
3，解得tanB＝tanC＝
3.（11分）
又B，C∈（0，π），所以B＝C＝π
π，所以△ABC是正三角形.
3.因为A＝3
由a＝2得△ABC的周长为6.（14分）
x2
y2
c2
17.
解：
（1）
椭圆C1：
a2＋b2＝1的焦点坐标为
（±c，0），代入椭圆C2的方程得b2＝1，
点（
6
6
C1，C2的方程得
C1：
2
2
3，
3）的坐标代入椭圆
3a2＋3b2＝1，
2
c
b2＝1，
所以a2＝b2＋c2，解得a2＝2，b2＝c2＝1.（3分）
2
2
3a2＋
3b2＝1，
所以椭圆C1，C2的标准方程分别为x2
＋y2＝1，y2
＋x2＝1.（5分）
2
2
（2）由题意知直线
l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，
m），
y2
2
（kx＋m）
2
2
2
＋x
＝1，
＋x2＝1，即（1＋k）x2＋kmx＋m－1＝0，
联立2
消去y得
2
2
2
y＝kx＋m，
22
＝k2m2－4（1＋k）（m－1）＝0，即k2＋2－m2＝0.（7分）22
2
x＋y2＝1，
2
联立2
消去y得x
＋（kx＋m）2＝1，即（1＋k2）x2＋2kmx＋m2－1＝0.
y＝kx＋m，
2
2
因为直线l与椭圆C1相交，有
＝4k2m2－4（1＋k2）（m2－1）＝4（k2－1m2＋1）＞0
（*），
2
2
2
－2km±
4（k2－1
m2＋1）
x1，2＝
2
2
.（9分）
1＋k2）
2（2
→
3→
3
因为PA＝
5PA，即（x1，y1－m）＝5（x2，y2－m），有5x1＝3x2，所以
－2km＋
4（k2－1m2＋1）
－2km－
4（k2－1
m2＋1）
5
2
2
＝3
2
2
1＋k2）
1＋k2）
2（2
2（2
－2km－
2
1
2
1
－2km＋
2
1
2
1
4（k
－m
＋）
4（k
－m
＋）
或5
2
2
＝3
2
2
1＋k2）
1＋k2）
，
2（
2（2
2
化简得km＝4
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
）.（12分）
k－m
＋或km＝－4k
－m＋
，即k
m＝16（k
－
m＋
2
2
2
2
2
2
因为k2＋2－m2＝0，解得
k2＝2，
k2＝4，
m2＝4
或
符合（*）式，
m2＝6，
所以直线l的斜率为±2或±2.（14分）
18.解：
（1）记CH与AF，BE的交点为M，N，
在△BCN中，由∠ABC＝
2π
π
，其中CN＝HM＝1
（1.2－0.6）＝0.3（m），
可得∠CBN＝
3
6
2
所以BC＝
CN
＝
0.3
＝3（m），BN＝
CN
＝0.3＝33
（m）.（2分）
sin∠CBN
π
5
tan∠CBN
π
10
sin6
tan6
所以CD＝BE－2BN＝1.6－3
3＝8－3
3，则
5
5
AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FG＋GH＋HA＝2AB＋2CD＋4BC＝1.2＋
16－6
3＋12＝
5
5
34－63
5
（m）.（5分）
答：
景观窗格的外框总长度为
34－6
3
5
（m）.（6分）
（2）AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FG＋GH＋HA＝2AB＋2CD＋4BC≤5，
设∠CBN＝α，α∈（0，π
2），BC＝r，则CN＝rsinα，BN＝rcosα，
所以AB＝CH－2CN＝1.2－2rsin
α，CD＝BE－2BN＝1.6－2rcosα，
所以2（1.2－2rsin
α）＋2（1.6－2rcos
α）＋4r≤5，即4r（sin
α＋cosα－1）≥
3
.（8分）
5
设景观窗格的面积为
S，有
S＝1.2×1.6－2r2sin
αcosα≤48－
25
9sinαcosα
3
200（sinα＋cos
α－1）2[当且仅当
4r（sinα＋cosα－1）＝5时取等号].（9分）
令t＝sinα＋cos
α∈（1，
2]，则sin
αcosα＝
t2－1
2.
t2－1
所以S≤48－
9
2
2＝48－
9
（1＋
2），其中1＋2
≥1＋
2
（当且仅当t＝
2，
25
200（t－1）
25
400
t－1
t－1
2－1
π
即α＝4时取等号）.（12分）
所以S≤48－9
2
48－9
2
48－9
741－92，
25400（1＋t－1）≤25
400（1＋
2－1
）＝25
400（3＋2
2）＝400200
即S≤
74192
3
π
时，取等号]，
400－
200[当且
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