高中数学组卷概率+与统计.docx
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高中数学组卷概率+与统计
高中数学组卷概率与统计
一．解答题（共10小题）
1．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差x（°C）
10
11
13
12
8
6
就诊人数y（个）
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：
先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程
=bx+a；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问
（2）中所得线性回归方程是否理想？
参考公式：
b=
=
，a=
．
2．某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：
小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：
[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
附：
K2=
．
3．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：
第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（Ⅱ）在
（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
4．如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛10场得分可用茎叶图表示如图：
（1）某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎叶图中用m表示，若甲运动员成绩的中位数是33，求m的值；
（2）估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[20，40]内的概率．
5．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19．
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．
6．某校高一
（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
7．某市为了了解今年高中毕业生的体能情况，从本市某高中毕业班中抽取了一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格，把所得数据进行整理后，分成六组画出频率分布直方图的一部分，如图，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第六小组的频数是7．
（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；
（2）若从第一小组和第二小组中随机抽取两个人的测试成绩，则两个人的测试成绩来自同一小组的概率是多少？
8．某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元；未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：
盒，100≤x≤200）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：
元）表示这个开学季内经销该产品的利润．
（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的中位数；
（2）将y表示为x的函数；
（3）根据直方图估计利润不少于4800元的概率．
9．当前襄阳市正在积极创建文明城市，市某交警支队为调查市民文明驾车的情况，在市区某路口随机检测了40辆车的车速．现将所得数据分成六段：
[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），并绘得如图所示的频率分布直方图．
（1）现有某汽车途径该路口，则其速度低于80km/h的概率是多少？
（2）根据直方图可知，抽取的40辆汽车经过该路口的平均速度约是多少？
（3）在抽取的40辆且速度在[60，70）km/h内的汽车中任取2辆，求这两辆车车速都在[65，70）km/h内的概率．
10．长沙梅溪湖步步高购物中心在开业之后，为了解消费者购物金额的分布，在当月的电脑消费小票中随机抽取n张进行统计，将结果分成6组，分别是：
[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600]，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在[0，600]元的区间内）．
（1）若在消费金额为[400，600]元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票均来自[400，500）元区间的概率；
（2）为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案．
方案一：
全场商品打八折．
方案二：
全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免．利用直方图的信息分析：
哪种方案优惠力度更大，并说明理由（直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）．
高中数学组卷概率与统计
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题）
1．（2017•金凤区校级四模）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差x（°C）
10
11
13
12
8
6
就诊人数y（个）
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：
先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y关于x的线性回归方程
=bx+a；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问
（2）中所得线性回归方程是否理想？
参考公式：
b=
=
，a=
．
【解答】解：
（1）设柚到相邻两个月的教据为事件A．因为从6组教据中选取2组教据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，抽到相邻两个月份的教据的情况有5种，所以
．
（2）由教据求得
，由公式求得
，再由
．
所以y关于x的线性回归方程为
．
（3）当x=10时，
；同样，当x=6时，
，
所以该小组所得线性回归方程是理想的．
2．（2017•花都区二模）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：
小时）．
（1）应收集多少位女生的样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：
[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
附：
K2=
．
【解答】解：
（1）300×
=90，所以应收集90位女生的样本数据．
（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，
所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．
（3）由
（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生
女生
总计
每周平均体育运动时间
不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间
超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
结合列联表可算得K2=
=
≈4.762＞3.841
所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
3．（2017•大石桥市校级学业考试）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：
第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（Ⅱ）在
（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
【解答】解：
（Ⅰ）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：
第3组：
×6=3；第4组：
×6=2；第5组：
×6=1．
所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人；
（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，．则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），
（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共有10种．
其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），
（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），共有7种
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为
．
4．（2017•湖南学业考试）如图，甲、乙两名篮球运动员的季后赛10场得分可用茎叶图表示如图：
（1）某同学不小心把茎叶图中的一个数字弄污了，看不清了，在如图所示的茎叶图中用m表示，若甲运动员成绩的中位数是33，求m的值；
（2）估计乙运动员在这次季后赛比赛中得分落在[20，40]内的概率．
【解答】解：
（1）由茎叶图性质得：
中位数为：
=33，
解得m=4．
（2）∵篮球运动员乙的季后赛10场得分中有5场得分在区间[20，40]内，
∴可以估计乙运动员在一场季后赛比赛中得分落在[20，40]内的概率为
．
5．（2017•射洪县校级模拟）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如表：
初一年级
初二年级
初三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19．
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．
【解答】解：
（1）∵在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19
即：
=0.19，
∴x=380．
（2）初三年级人数为y+z=2000﹣（373+377+380+370）=500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，
应在初三年级抽取的人数为
×500=12名．
（3）由题意，y+z=500，y≥245，z≥245，基本事件共有11个，y＞z，共有5个
则y＞z的概率为
．
6．（2017•乐山三模）某校高一
（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
【解答】解：
（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，
由茎叶图知：
分数在[50，60）之间的频数为2，
∴全班人数为
．
（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为
．
（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，
在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，
其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，
故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是
．
7．（2017•铁东区校级四模）某市为了了解今年高中毕业生的体能情况，从本市某高中毕业班中抽取了一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格，把所得数据进行整理后，分成六组画出频率分布直方图的一部分，如图，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第六小组的频数是7．
（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；
（2）若从第一小组和第二小组中随机抽取两个人的测试成绩，则两个人的测试成绩来自同一小组的概率是多少？
【解答】解：
（1）第6小组的频率为：
1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14
则此次测试总人数为50人，又第四、五、六组成绩均合格，所以合格的人数为
50（0.28+0.30+0.14）=36人（4分）
（2）由已知可知第一组含两个样本，第二组含5个样本，将第一组的学生成绩编号为（a1，a2），
将第二组的学生成绩编号为（b1，b2，b3，b4，b5），从一二组中随机取两个元素的基本事件空间Ω中共有21个元素，而且这些基本事件出现时等可能的．
用A表示“两个元素来自同一组”这一事件，则A里包含的基本事件有11个，
∴
，
答：
所求事件概率为
（12分）
8．（2017•惠州模拟）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元；未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：
盒，100≤x≤200）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：
元）表示这个开学季内经销该产品的利润．
（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的中位数；
（2）将y表示为x的函数；
（3）根据直方图估计利润不少于4800元的概率．
【解答】解：
（1）由频率直方图得：
需求量为[100，120）的频率为0.05×20=0.1，
需求量为[120，140）的频率为0.01×20=0.2，
需求量为[140，160）的频率为0.015×20=0.3，
则中位数x=140+
．
（2）∵每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，
∴当100≤x≤160时，y=50x﹣30×（160﹣x）=80x﹣4800，
当160＜x≤200时，y=160×50=8000，
∴y=
．
（3）∵利润不少于4800元，
∴80x﹣4800≥4800，解得x≥120，
∴由
（1）知利润不少于4800元的概率p=1﹣0.1=0.9．
9．（2017•襄城区校级模拟）当前襄阳市正在积极创建文明城市，市某交警支队为调查市民文明驾车的情况，在市区某路口随机检测了40辆车的车速．现将所得数据分成六段：
[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），并绘得如图所示的频率分布直方图．
（1）现有某汽车途径该路口，则其速度低于80km/h的概率是多少？
（2）根据直方图可知，抽取的40辆汽车经过该路口的平均速度约是多少？
（3）在抽取的40辆且速度在[60，70）km/h内的汽车中任取2辆，求这两辆车车速都在[65，70）km/h内的概率．
【解答】解：
（1）由频率分布直方图得速度低于80km/h的频率为：
（0.010+0.020+0.040+0.060）×5=0.65，
∴现有某汽车途径该路口，则其速度低于80km/h的概率是0.65．
（2）根据直方图可知，抽取的40辆汽车经过该路口的平均速度约是：
0.010×5×62.5+0.020×5×67.5+0.040×5×72.5+0.060×5×77.5+0.050×5×82.5+0.020×5×87.5=77（km/h）．
（3）在抽取的40辆且速度在[60，70）km/h内的汽车共有：
40×（0.010×5+0.020×5）=6辆，
其中速度在[60，65）km/h内的汽车抽取40×0.010×5=2辆，
速度在[65，70）km/h内的汽车抽取40×0.020×5=4辆，
从中任取2辆，基本事件总数n=
=15，
这两辆车车速都在[65，70）km/h内包含的基本事件个数m=
=6，
∴这两辆车车速都在[65，70）km/h内的概率p=
=
=
．
10．（2017•湖南模拟）长沙梅溪湖步步高购物中心在开业之后，为了解消费者购物金额的分布，在当月的电脑消费小票中随机抽取n张进行统计，将结果分成6组，分别是：
[0，100），[100，200），[200，300），[300，400），[400，500），[500，600]，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在[0，600]元的区间内）．
（1）若在消费金额为[400，600]元区间内按分层抽样抽取6张电脑小票，再从中任选2张，求这2张小票均来自[400，500）元区间的概率；
（2）为做好五一劳动节期间的商场促销活动，策划人员设计了两种不同的促销方案．
方案一：
全场商品打八折．
方案二：
全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免．利用直方图的信息分析：
哪种方案优惠力度更大，并说明理由（直方图中每个小组取中间值作为该组数据的替代值）．
【解答】解：
（1）由直方图可知，按分层抽样在[400，600]内抽6张，
则[400，500）内抽4张，记为a，b，c，d，在[500，600]内抽2张，记为E、F，
设两张小票均来自[400，500）为事件A，
从中任选2张，有以下选法：
ab、ac、ad、aE、aF、bc、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种．
其中，两张小票均来自[400，500）的有ab、ac、ad、bc、bd、cd，共6种，
∴
．
（2）解法一：
由直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05．
方案一购物的平均费用为：
0.8×（50×0.1+150×0.2+250×0.25+350×0.3+450×0.1+550×0.05）=0.8×275=220（元）
方案二购物的平均费用为：
50×0.1+130×0.2+230×0.25+270×0.3+370×0.1+430×0.05=228（元）．
∴方案一的优惠力度更大．
（2）解法二：
由直方图可知，各组频率依次为0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，
方案一平均优惠金额为：
0.2×（50×0.1+150×0.2+250×0.25+350×0.3+450×0.1+550×0.05）=0.2×275=55（元）．
方案二平均优惠金额为：
20×（0.2+0.25）+80×（0.3+0.1）+120×0.05=47（元）
∴方案一的优惠力度更大．
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