植树问题.docx
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植树问题
植树问题
(1)非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
A:
如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:
株数=段数+1=全长÷株距+1
全长=株距×(株距-1)
株距=全长÷(株距-1)
B:
如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
C:
如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:
株数=段数-1=全长÷(株距-1)
株距=全长÷(株距+1)
(2)封闭线路上的植树问题的数量关系如下:
株数=段数=全长÷株距
全长=株距×株数
株距=全长÷株数
例子1,长方形场地:
一个长84米,宽54米的长方形苹果园中,苹果树的株距是2米,行距是3米.这个苹果园共种苹果树多少棵?
解法一:
①一行能种多少棵?
84÷2=42(棵).|
②这块地能种苹果树多少行?
54÷3=18(行).
③这块地共种苹果树多少棵?
42×18=756(棵).
如果株距、行距的方向互换,结果相同:
(84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵).
解法二:
①这块地的面积是多少平方米?
84×54=4536(平方米).
②一棵苹果树占地多少平方米?
2×3=6(平方米).
③这块地能种苹果树多少棵?
4536÷6=756(棵).
当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时,可用上述两种方法中的任意一种来解;当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时,就只能用第二种解法来解.
但有些问题从表面上看,并没有出现“植树”二字,但题目实质上是反映封闭线段或不封闭线段长度、分隔点、每段长度三者之间的关系。
锯木头问题就是典型的不封闭线段上,两头不植树问题。
所锯的段数总比锯的次数多一。
上楼梯问题,就是把每上一层楼梯所需的时间看成一个时间间隔,那么:
上楼所需总时间=(终点层—起始层)×每层所需时间。
而方阵队列问题,看似与植树问题毫不相干,实质上都是植树问题。
例子2,直线场地:
在一条马路的两旁植树,每隔3米植一棵,植到头还剩3棵;每隔2.5米植一棵,植到头还缺少37棵,求这条马路的长度。
解:
设一共有A棵树
【(A-3)/2-1】X3=【(A+37)/2-1】X2.5
A=205
马路长:
【(205-3)/2-1】X3=300
得:
马路长度为300米
例子3,圆形场地(难题):
有一个圆形花坛,绕它走一圈是120米。
如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花,再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。
可栽丁香花多少株?
可栽月季花多少株?
每2株紧相邻的月季花相距多少米?
解:
根据棵数=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数:
120÷6=20(株)
由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花,丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等,因此,可栽月季花:
2×20=40(株)
由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的,而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份,因此紧相邻2株月季花之间距离为:
6÷3=2(米)
答:
可栽丁香花20株,可栽月季花40株,2株紧相邻月季花之间相距2米。
例5在圆形水池边植树,把树植在距离岸边均为3米的圆周上,按弧长计算,每隔2米植一棵树,共植了314棵。
水池的周长是多少米?
(适于六年级程度)
解:
先求出植树线路的长。
植树线路是一个圆的周长,这个圆的周长是:
2×314=628(米)
这个圆的直径是:
628÷3.14=200(米)
由于树是植在距离岸边均为3米的圆周上,所以圆形水池的直径是:
200-3×2=194(米)
圆形水池的周长是:
194×3.14=609.16(米)
综合算式:
(2×314÷3.14-3×2)×3.14
=(200-6)×3.14
=194×3.14
=609.16(米)
相遇问题
相遇路程=速度和×相遇时间
相遇时间=相遇路程÷速度和
速度和=相遇路程÷相遇时间
例一:
南京到上海的水路长392千米,同时从两港各开出一艘轮船相对而行,从南京开出的船每小时行28千米,从上海开出的船每小时行21千米,经过几小时两船相遇?
解392÷(28+21)=8(小时)
答:
经过8小时两船相遇。
例2小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步,小李每秒钟跑5米,小刘每秒钟跑3米,他们从同一地点同时出发,反向而跑,那么,二人从出发到第二次相遇需多长时间?
解“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。
因此总路程为400×2
相遇时间=(400×2)÷(5+3)=100(秒)
答:
二人从出发到第二次相遇需100秒时间。
例3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行,甲每小时行15千米,乙每小时行13千米,两人在距中点3千米处相遇,求两地的距离。
解“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。
从题中可知甲骑得快,乙骑得慢,甲过了中点3千米,乙距中点3千米,就是说甲比乙多走的路程是(3×2)千米,因此,
相遇时间=(3×2)÷(15-13)=3(小时)
两地距离=(15+13)×3=84(千米)
答:
两地距离是84千米。
追及问题
追及距离=速度差×追及时间
追及时间=追及距离÷速度差
速度差=追及距离÷追及时间
例:
甲、乙同时起跑,绕300米的环行跑道跑,甲每秒跑6米,乙每秒跑4米,
第二次追上乙时,甲跑了几圈?
基本等量关系:
追及时间×速度差=追及距离
本题速度差为:
6-4=2(米/每秒)。
甲第一次追上乙后,追及距离是环形跑道的周长300米。
第一次追上后,两人又可以看作是同时同地起跑,因此第二次追及的问题,就转化为类似于求解第一次追及的问题。
甲第一次追上乙的时间是:
300÷2=150(秒)
甲第一次追上乙跑了:
6×150=900(米)
这表明甲是在出发点上追上乙的,因此,第二次追上问题可以简化为把第一次追上时所跑的距离乘二即可,得
甲第二次追上乙共跑了:
900+900=1800(米)
那么甲跑了1800÷300=6(圈)
盈亏问题
(盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的分数
(大盈+小盈)÷两次分配量之差=参加分配的分数
(大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的分数
例1.老猴子给小猴子分梨。
每只小猴子分6个梨,就多出12个梨;每只小猴子分7个梨,就少11个梨。
有几只小猴子和多少个梨?
梨和小猴子都是固定不变的
梨-12=小猴子×6,减少12个梨可以每个猴子分6个
梨+11=小猴子×7,增加11个梨可以每个猴子分7个
盈亏
每只猴子梨的数量
多12
6
少11
7
12+11=23(盈+亏/盈-盈/亏-亏)
7-6=1(乘数之差)
(12+11)÷(7-6)=23只猴子
6×23+12=150个梨或者7×23-11=150个梨
例2.丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。
如果每人分3个,多16个;如果每人分5个,那么就差4个。
有多少小朋友?
有多少个苹果?
盈亏
每人苹果数
多16
3
少4
5
(16+4)÷(5-3)=10个小朋友
3×10+16=46个苹果
例3.北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。
如果每车坐65人,则有15人不乘车。
如果每车多坐5人,恰好多余了一辆车。
一共有几辆汽车?
有多少学生?
盈亏
每车人数
多15
65
少65+5=70
65+5=70
(15+70)÷(70-65)=17车
65×17+15=1120
例4.小明的爷爷买回一筐梨,分给全家人。
如果小明和小妹每人分4个梨,其余每人分2个梨,还多出4个梨。
如果小明1人分6个梨,其余每人分4个梨,又差12个梨。
小明家有多少人?
这筐梨子有多少个?
盈亏
每人梨数
多2×2+4=8
2
少12-(6-4)=10
4
人的数量=(10+8)÷(4-2)=9
梨的数量=4×2+2×(9-2)+4=8+14+4=26
和差倍问题
(和+差)÷2=大数
(和-差)÷2=小数
和÷(倍数+1)=小数
小数×倍数=大数(或小数+差=大数)
差÷(倍数-1)=小数
例题:
1、李师傅生产的零件个数是徒弟的6倍,如果两个人各再生产20个,那么李师傅生产零件的个数是徒弟的4倍,两人原来各生产零件多少个?
20×6-20是6份和4份的差除以6份和4份的份数差求出的是50.
问为什么这个值不是原来1份徒弟的,而是加了20以后徒弟的。
应该这么想,徒弟是1份,师傅是6份。
这是6倍关系。
徒弟是1份+20,师傅是6份+20。
这是4倍关系。
在4倍关系中,师傅比徒弟多多少,应该是(6份+20)-(1份+20)=原来的5份。
也是现在的3份。
现在的3份=(原来的1份+20)×3
=原来的3份+60
再和原来的5份一比,60个零件是2份,
30个零件是1份。
李师傅生产的零件180个,徒弟是30个。
2、某班买来单价为0.5元的练习本若干,如果将这些练习本只给女生,平均每人可得15本;如果将这些练习本只给男生,平均每人可得10本。
那么,将这些练习本平均分给全班同学,每人应付多少钱?
男生,平均每人可得10本,这两句话说男生多。
女生每人交15×0.5=7.5元
男生每人交10×0.5=5.0元
根据1510,可得男女比例为3:
2。
女生占2/5,男生占3/5。
[7.5×3/5+5.0×2/5]/1=6元
这些练习本平均分给全班同学,每人应付6元
很遗憾,以上计算是错误的
根据15,10,得出男女生比例是15:
10.假设男生为15份,女生为10份。
则总本数为15×10=150
0.5×150÷(15+10)=3元。
正确答案为3元。
如图:
:
流水行船问题
流水问题是研究船在流水中的行程问题,因此,又叫行船问题。
在小学数学中涉及到的题目,一般是匀速运动的问题。
这类问题的主要特点是,水速在船逆行和顺行中的作用不同。
流水问题有如下两个基本公式:
顺水速度=船速+水速
(1)
逆水速度=船速-水速
(2)
这里,顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程;船速是指船本身的速度,也就是船在静水中单位时间里所行的路程;水速是指水在单位时间里流过的路程。
公式
(1)表明,船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。
这是因为顺水时,船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进,同时这艘船又在按着水的流动速度前进,因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。
公式
(2)表明,船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。
根据加减互为逆运算的原理,由公式
(1)可得:
水速=顺水速度-船速(3)
船速=顺水速度-水速(4)
由公式
(2)可得:
水速=船速-逆水速度(5)
船速=逆水速度+水速(6)
这就是说,只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个,就可以求出第三个。
另外,已知某船的逆水速度和顺水速度,还可以求出船速和水速。
因为顺水速度就是船速与水速之和,逆水速度就是船速与水速之差,根据和差问题的算法,可知:
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2(7)
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2(8)
例1一只渔船顺水行25千米,用了5小时,水流的速度是每小时1千米。
此船在静水中的速度是多少?
解:
此船的顺水速度是:
25÷5=5(千米/小时)
因为“顺水速度=船速+水速”,所以,此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。
5-1=4(千米/小时)
综合算式:
25÷5-1=4(千米/小时)
答:
此船在静水中每小时行4千米。
例2一只渔船在静水中每小时航行4千米,逆水4小时航行12千米。
水流的速度是每小时多少千米?
解:
此船在逆水中的速度是:
12÷4=3(千米/小时)
因为逆水速度=船速-水速,所以水速=船速-逆水速度,即:
4-3=1(千米/小时)
答:
水流速度是每小时1千米。
例3一只船,顺水每小时行20千米,逆水每小时行12千米。
这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少?
解:
因为船在静水中的速度=(顺水速度+逆水速度)÷2,所以,这只船在静水中的速度是:
(20+12)÷2=16(千米/小时)
因为水流的速度=(顺水速度-逆水速度)÷2,所以水流的速度是:
(20-12)÷2=4(千米/小时)
答略。
例4某船在静水中每小时行18千米,水流速度是每小时2千米。
此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。
求甲、乙两地的路程是多少千米?
此船从乙地回到甲地需要多少小时?
解:
此船逆水航行的速度是:
18-2=16(千米/小时)
甲乙两地的路程是:
16×15=240(千米)
此船顺水航行的速度是:
18+2=20(千米/小时)
此船从乙地回到甲地需要的时间是:
240÷20=12(小时)
答略。
例5某船在静水中的速度是每小时15千米,它从上游甲港开往乙港共用8小时。
已知水速为每小时3千米。
此船从乙港返回甲港需要多少小时?
解:
此船顺水的速度是:
15+3=18(千米/小时)
甲乙两港之间的路程是:
18×8=144(千米)
此船逆水航行的速度是:
15-3=12(千米/小时)
此船从乙港返回甲港需要的时间是:
144÷12=12(小时)
综合算式:
(15+3)×8÷(15-3)
=144÷12
=12(小时)
答略。
例6甲、乙两个码头相距144千米,一艘汽艇在静水中每小时行20千米,水流速度是每小时4千米。
求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时,由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时?
解:
顺水而行的时间是:
144÷(20+4)=6(小时)
逆水而行的时间是:
144÷(20-4)=9(小时)
答略。
例7一条大河,河中间(主航道)的水流速度是每小时8千米,沿岸边的水流速度是每小时6千米。
一只船在河中间顺流而下,6.5小时行驶260千米。
求这只船沿岸边返回原地需要多少小时?
解:
此船顺流而下的速度是:
260÷6.5=40(千米/小时)
此船在静水中的速度是:
40-8=32(千米/小时)
此船沿岸边逆水而行的速度是:
32-6=26(千米/小时)
此船沿岸边返回原地需要的时间是:
260÷26=10(小时)
综合算式:
260÷(260÷6.5-8-6)
=260÷(40-8-6)
=260÷26
=10(小时)
答略。
例8一只船在水流速度是2500米/小时的水中航行,逆水行120千米用24小时。
顺水行150千米需要多少小时?
解:
此船逆水航行的速度是:
120000÷24=5000(米/小时)
此船在静水中航行的速度是:
5000+2500=7500(米/小时)
此船顺水航行的速度是:
7500+2500=10000(米/小时)
顺水航行150千米需要的时间是:
150000÷10000=15(小时)
综合算式:
150000÷(120000÷24+2500×2)
=150000÷(5000+5000)
=150000÷10000
=15(小时)
答略。
例9一只轮船在208千米长的水路中航行。
顺水用8小时,逆水用13小时。
求船在静水中的速度及水流的速度。
解:
此船顺水航行的速度是:
208÷8=26(千米/小时)
此船逆水航行的速度是:
208÷13=16(千米/小时)
由公式船速=(顺水速度+逆水速度)÷2,可求出此船在静水中的速度是:
(26+16)÷2=21(千米/小时)
由公式水速=(顺水速度-逆水速度)÷2,可求出水流的速度是:
(26-16)÷2=5(千米/小时)
答略。
例10A、B两个码头相距180千米。
甲船逆水行全程用18小时,乙船逆水行全程用15小时。
甲船顺水行全程用10小时。
乙船顺水行全程用几小时?
解:
甲船逆水航行的速度是:
180÷18=10(千米/小时)
甲船顺水航行的速度是:
180÷10=18(千米/小时)
根据水速=(顺水速度-逆水速度)÷2,求出水流速度:
(18-10)÷2=4(千米/小时)
乙船逆水航行的速度是:
180÷15=12(千米/小时)
乙船顺水航行的速度是:
12+4×2=20(千米/小时)
乙船顺水行全程要用的时间是:
180÷20=9(小时)
综合算式:
180÷[180÷15+(180÷10-180÷18)÷2×3]
=180÷[12+(18-10)÷2×2]
=180÷[12+8]
=180÷20
=9(小时)
练习1、一只油轮,逆流而行,每小时行12千米,7小时可以到达乙港。
从乙港返航需要6小时,求船在静水中的速度和水流速度?
分析:
逆流而行每小时行12千米,7小时时到达乙港,可求出甲乙两港路程:
12×7=84(千米),返航是顺水,要6小时,可求出顺水速度是:
84÷6=14(千米),顺速-逆速=2个水速,可求出水流速度(14-12)÷2=1(千米),因而可求出船的静水速度。
解:
(12×7÷6-12)÷2=2÷2=1(千米)
12+1=13(千米)
答:
船在静水中的速度是每小时13千米,水流速度是每小时1千米。
练习2、某船在静水中的速度是每小时15千米,河水流速为每小时5千米。
这只船在甲、乙两港之间往返一次,共用去6小时。
求甲、乙两港之间的航程是多少千米?
分析:
1、知道船在静水中速度和水流速度,可求船逆水速度15-5=10(千米),顺水速度15+5=20(千米)。
2、甲、乙两港路程一定,往返的时间比与速度成反比。
即速度比是10÷20=1:
2,那么所用时间比为2:
1。
3、根据往返共用6小时,按比例分配可求往返各用的时间,逆水时间为6÷(2+1)×2=4(小时),再根据速度乘以时间求出路程。
解:
(15-5):
(15+5)=1:
2
6÷(2+1)×2=6÷3×2=4(小时)
(15-5)×4=10×4=40(千米)
答:
甲、乙两港之间的航程是40千米。
练习3、一只船从甲地开往乙地,逆水航行,每小时行24千米,到达乙地后,又从乙地返回甲地,比逆水航行提前2.5小时到达。
已知水流速度是每小时3千米,甲、乙两地间的距离是多少千米?
分析:
逆水每小时行24千米,水速每小时3千米,那么顺水速度是每小时24+3×2=30(千米),比逆水提前2.5小时,若行逆水那么多时间,就可多行30×2.5=75(千米),因每小时多行3×2=6(千米),几小时才多行75千米,这就是逆水时间。
解:
24+3×2=30(千米)
24×[30×2.5÷(3×2)]=24×[30×2.5÷6]=24×12.5=300(千米)
答:
甲、乙两地间的距离是300千米。
练习4、一轮船在甲、乙两个码头之间航行,顺水航行要8小时行完全程,逆水航行要10小时行完全程。
已知水流速度是每小时3千米,求甲、乙两码头之间的距离?
分析:
顺水航行8小时,比逆水航行8小时可多行6×8=48(千米),而这48千米正好是逆水(10-8)小时所行的路程,可求出逆水速度48÷2=24(千米),进而可求出距离。
解:
3×2×8÷(10-8)=3×2×8÷2=24(千米)
24×10=240(千米)
答:
甲、乙两码头之间的距离是240千米。
解法二:
设两码头的距离为“1”,顺水每小时行,逆水每小时行,顺水比逆水每小时快-,快6千米,对应。
3×2÷(-)=6÷=240(千米)
答:
(略)
练习5、某河有相距120千米的上下两个码头,每天定时有甲、乙两艘同样速度的客船从上、下两个码头同时相对开出。
这天,从甲船上落下一个漂浮物,此物顺水漂浮而下,5分钟后,与甲船相距2千米,预计乙船出发几小时后,可与漂浮物相遇?
分析:
从甲船落下的漂浮物,顺水而下,速度是“水速”,甲顺水而下,速度是“船速+水速”,船每分钟与物相距:
(船速+水速)-水速=船速。
所以5分钟相距2千米是甲的船速5÷60=(小时),2÷=24(千米)。
因为,乙船速与甲船速相等,乙船逆流而行,速度为24-水速,乙船与漂浮物相遇,求相遇时间,是相遇路程120千米,除以它们的速度和(24-水速)+水速=24(千米)。
解:
120÷[2÷(5÷60)]=120÷24=5(小时)
答:
乙船出发5小时后,可与漂浮物相遇。
浓度问题
浓度问题公式分成4种,分别是求溶液的质量、浓度、溶质的重量、溶液的重量,其中题目中最常见的就是已知溶液的重量和浓度求溶质的重量。
浓度问题公式:
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度
溶液的重量×浓度=溶质的重量
溶质的重量÷浓度=溶液的重量
例1.有含盐15%的盐水20千克,要使盐水的浓度变为20%,需加盐多少千克?
解:
设加盐χ千克,由题意:
(20×15%+χ)/(20+χ)=20%
解得:
χ=1.25(千克)
答:
需加盐1.25千克。
例2.在浓度为50%的硫酸溶液100千克中,再加人多少千克浓度为5%的硫酸溶液,就可以配制成浓度为25%的硫酸溶液?
解:
设加入浓度5%的硫酸溶液χ千克,由题意:
100×50%+5%×χ=25%
解得:
χ=125(千克).
答:
加入浓度5%的硫酸溶液125千克。
利润和折扣问题
数量关系:
1.利润率=﹙售价-成本﹚÷成本×100%
2.售价=成本×﹙1+利润率﹚
3.售价=原价×折扣
4.定价=成本×﹙1+期望的利润率﹚﹙利润率也称利润百分数,售价也称卖价﹚
例1某商品按定价的80%出售,仍能获得20%的利润。
定价时期望的利润百分数是多少?
解:
设定价为“1”。
商品的实际卖价为:
1×80%=0.8
商品的成本为:
0.8÷﹙1+20%﹚=
定价时期望的利润百分数为:
﹙1-
﹚÷
=50%
答:
定价时期望的利润百分数是50%。
例2甲、乙两种商品成本共200元。
甲商品按30%的利润定价,乙商品按20%的利润定价,后来两种商品都按定价的90%出售,共获利润27.7元。
甲、乙两种商品的成本各是多少元?
解:
设甲商品的成本是χ元,则乙商品的成本是﹙200-χ﹚元。
[﹙1+30%﹚χ+﹙1+20%﹚﹙200-χ﹚]×90%=200+27.7χ=130
200-130=70﹙元﹚
答:
甲、乙两种商品的成本分别为130元、70元。
例3张大爷有5000元钱,打算存入银行两年。
已知有两种储蓄办法:
一种是存两年期的,年利率为2.43%;另一种是先存一年期的,年利率为2.25%,第一年到期时把本金和利息取出来合在一起,再存一年。
选择哪种办法得到的利息多一些?
﹙利息税率为5%﹚
解:
﹙1﹚存两年期可得利息:
5000×2.43%×2×﹙1-5%﹚=230.85(元)
﹙2﹚存两个一年期可得利息:
第一年得利息:
5000×2.25%×﹙1-5%﹚≈107(元)
第二年得利息:
(5000+107)×2.25%×