学而思初一数学暑假班第3讲有理数四则运算教师版.docx
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学而思初一数学暑假班第3讲有理数四则运算教师版
3
有理数四则运算
模块一有理数的加减法
定义
有理数加法法则：
．．．．．．．
值相加．
对值
．．．．
绝对值．
示例剖析
3 + 5 = 8
-5 + 3 = - （5 - 3） = -2
-3 + 0 = -3
③一个数同 0 相加，仍得这个数．
有理数加法的运算步骤：
法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：
①确定和的符号；
②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差．
有理数加法的运算技巧：
①分数与小数均有时，应先化为统一形式．
②带分数可分为整数与分数两部分参与运算．
③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零．
④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加．
⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起．
⑥符号相同的数可以先结合在一起．
有理数加法的运算律：
① 两个数相加，交换加数的位置，和不变．
② 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后
两个数相加，和不变．
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．
有理数减法的运算步骤：
a + b = b + a （加法交换律）
（a + b） + c = a + （b + c） （加法结合律）
a - b = a + （-b） （减法法则）
第 3 讲·尖端预备班·教师版
1
①把减号变为加号（改变运算符号）
②把减数变为它的相反数（改变性质符号）
③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行
3 - 0.15 - 9 + 5 - 11 = （+3） + （-0.15） + （-9） + （+5） + （-11）
它的含义是正 3，负 0．15，负 9，正 5，负 11 的和．
运算．
有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法；
②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果．
注意：
根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则
转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和 0 的和，这个和称为代数和．为了书写简便，可以把加
号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式．
夯实基础
【例1】 计算：
⑴
⎝ 5 ⎭ ⎝ 5 ⎭
7 ⎛ 53 ⎫
6 ⎝ 6 ⎭
【解析】⑴ 11.1；⑵ -11.1 ；⑶ - 23 ．
3
【例2】 计算：
⑴ -20 + （-15） - （-28） - 17
（人大附中期中）
⑵
⑶
2 1 ⎛ 1 ⎫ ⎛ 3 ⎫
3 8 ⎝ 3 ⎭ ⎝ 8 ⎭
1 1 3 2
- 2 + 2 - 3
4 3 4 3
（北京师范大学附属实验）
【解析】⑴ -24 ；⑵ 1 ；⑶ -3 ．
2
【例3】 计算：
⑴ -7.34 + （-12.74 ） + 12.34 + 7.34
1⎛1 ⎫⎛1 ⎫
3⎝3 ⎭⎝2 ⎭
⑶
23132
34243
2第 3 讲·尖端预备班·教师版
32
55
【解析】⑴ -0.4 ；⑵ -7 ；⑶ 1；⑷ - 1 ；⑸ 9．
2
能力提升
【例4】 计算：
⎛⎛4 ⎫
⎝⎝5 ⎭
127
＋（－）]＋[（－）＋6]
127712
⑶ 11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999
151191411711
2612203042567290
⑸
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
2 3 4 59 60 3 4 5 59 60
3 3 3 3 3 58 59
4 4 6 59 60 59 60
【解析】⑴ - 100
⑵ 10
4
7
⑶添上 9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：
原式 = 20＋200＋2×10 3 ＋2×10 4 ＋…＋2×10 9 -（9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）
= 2222222220-45
= 2222222175．
⑷ 原式
⎛1 ⎫ ⎛1 ⎫⎛1 ⎫ ⎛1 ⎫ ⎛1 ⎫⎛1 ⎫ ⎛1 ⎫⎛1 ⎫ ⎛1 ⎫
⎝2 ⎭ ⎝6 ⎭⎝12 ⎭ ⎝20 ⎭ ⎝30 ⎭⎝42 ⎭ ⎝56 ⎭⎝72 ⎭ ⎝90 ⎭
⎛ 111111111 ⎫
++-----
⎝ 2612203042567290 ⎭
⎛ 1111 ⎫ ⎛ 11111 ⎫
⎝ 261220 ⎭ ⎝ 3042567290 ⎭
⎛1 ⎫ ⎛ 11 ⎫73
⎝5 ⎭ ⎝ 510 ⎭1010
1212312359
+ （ + ） + （ ++ ）+Λ +（+++Λ +）
23344460606060
第 3 讲·尖端预备班·教师版
3
=
1 2 3 4 59
+ + + +Λ +
2 2 2 2 2
1
=（1 + 2 + 3+Λ +59）
2
1（1 + 59） ⨯ 59
=⨯
22
= 885
模块二有理数乘除法
定义
．．．．．．．．．．
．．
有理数乘法运算律：
①两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把
后两个数相乘，积相等．
③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分
示例剖析
3 ⨯ 4 = 12
-3 ⨯ 4 = -（3 ⨯ 4） = -12
-3 ⨯ （-4） = 12
ab = ba （乘法交换律）
abc = a（bc） （乘法结合律）
a（b + c） = ab + ac （乘法分配律）
别同这两个数相乘，再把积相加．
有理数乘法法则的推广：
①几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；
负因数的个数是奇数时，积为负数．（奇负偶正）
②几个数相乘，如果有一个因数为 0，则积为 0．
③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小
数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算．
在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝
对值，有括号的先算括号里的数．
有理数除法法则：
除以一个不等于 0 的数，等
于乘这个数的倒数；
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值
相除；
0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0．
有理数除法的运算步骤：
首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值．
夯实基础
【例5】 计算：
4第 3 讲·尖端预备班·教师版
1 3
3 ÷ 5 = 3 ⨯ =
5 5
1
a ÷ b = a ⋅ （ b ≠ 0 ）
b
-4 ÷ 2 = -2
⑴
ç ⎪ ç ⎪ ç ⎪
3
【解析】⑴ 35 3 ；⑵ -9 ．
10
【例6】 计算：
⎛ 11111 ⎫
⎝ 23469 ⎭
⎛ 1111 ⎫ （
⎝ 436612 ⎭
⑶
⎝ ⎝ ⎝ 16 ⎭
⑷ （-0.25）⨯ ⎛ -5 1 ⎫ + 1 ⨯ （-3.5） + ⎛ - 1 ⎫ ⨯ 2
⎝2 ⎭4⎝ 4 ⎭
【解析】⑴11；⑵ -6 2 ；⑶ -12 9 ；⑷ 0
316
模块三有理数四则混合运算
定义示例剖析
有理数混合运算的运算顺序：
⑴ 先乘方（下节课学习），再乘除，最后加减；
⑵ 同级运算，从左到右进行；
⑶ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、
中括号、大括号依次进行．
加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方
及开方（以后学）称为三级运算．
．．．． ．．
．． ．． ．．
同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运
算，应先算三级运算，然后二级，最后一级；
如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先
算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．
易错点 1：
注意运算顺序，先乘除后加减，同级的从左到右依次运算，有括号的先算括号里的．
易错点 2：
如果只有乘除的，先确定符号，把所有的数都变为正数进行运算．
能力提升
第 3 讲·尖端预备班·教师版
5
【例7】 计算：
⎛1 ⎫4
⎝2 ⎭ 11
（北师大附属实验中学期中）
⑵ -9 + 12 ÷ （-6） - （-4）⨯ （-4） ÷ （-8）
⎡ 2⎛ 517 ⎫⎤
⎣ 13⎝ 8612 ⎭⎦
（清华附中期中）
【解析】⑴ -6 ；⑵ -9 ；⑶ 4 10
13
⎧⎡5⎛1 ⎫1 ⎤⎛ 12 ⎫⎫
⎩⎣ 12⎝2 ⎭6 ⎦⎝ 23 ⎭⎭
⑵ 2005×
2003 1001
－1001×
2004 1002
⑶ 2008 ⨯ 200920092009 - 2009 ⨯ 200820082008
【解析】⑴ -30
1001
－（1002－1）×
20041002
20031001
= （2003－1001）＋（＋）
20041002
2001
=1003．
2004
⑶ 原式 = 2008 ⨯ 2009 ⨯100010001 - 2009 ⨯ 2008 ⨯100010001
= 0
探索创新
【例9】 从下面每组数中各取一个数，将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是．
1
3
11
315
5
12
【解析】所有乘积的总和是：
（-5 + 3 1 + 4.25 + 5.75） ⨯ （-2 1 + 1 ） ⨯ （2.25 + 5 - 4） = 680 = 25 5
3315122727
6第 3 讲·尖端预备班·教师版
【例10】⑴ 用“＞”或“＜”填空
①如果 ab
b
c
0；
0．
⑵ 如果 ac
【解析】⑴ ① < ；② < ；
c
b
又因为 ac > 0 ，所以 a < 0 ；
b
因为 a（b - c） > 0 ，所以 b - c < 0 ，
进而得 b < c ，且 bc < 0 ，
所以 b < 0 ， c > 0 .
【例11】⑴ 若19a + 98b = 0 ，则 ab 是（）
A．正数B．非正数C．负数D．非负数
⑵ 已知有理数 x, y, z 两两不等，则 x - y , y - z , z - x
）
A．1 个B．2 个C．3 个D．0 个或 2 个
⑶ 若 a ， b ， c ， d 是互不相等的整数，且 abcd = 9 ，则 a + b + c + d 的值为（）
A．0B．4C． 8D．无法确定
⑷ 如果 4 个不同的正整数 m ， n ， p ， q 满足 （7 - m）（7 - n）（7 - p）（7 - q） = 4 ，
那么 m + n + p + q 的值是多少？
b
【解析】 ⑴ B．由19a + 98b = 0 ，得19a = -98b ，可知 a 、 的符号相反或者 a = b = 0 ，故有 ab ≤ 0 ；
b c d±
⑵ B．三数乘积为 1，则要么为 3 正，要么为 1 正 2 负；分析可知为 1 正 2 负．
⑶ A． a，，， 4 个数分别是 ±1， 3 ，所以 a + b + c + d = 0 ；
⑷ （7 - m）（7 - n）（7 - p）（7 - q） = 1⨯ （-1）⨯ 2 ⨯ （-2） ，
所以 m, n, p, q 这 4 个数分别为 5 ， 6 ， 8 ， 9 ，
所以 m + n + p + q = 28 ．
1261
7+ 3- 2
12612
43757 4 + 3 3
261
4 + 3 3 ，b = 0.125，c = 9 7 - 2 5 ，则
5
）．
第 3 讲·尖端预备班·教师版
7
c
×（b＋）
ab + ca
=
a ab + c
×
ab + c a
= 1．
【点评】此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：
7 1261 ，因此，采用变量替换就大大减少了计算量．
4375
8第 3 讲·尖端预备班·教师版
实战演练
知识模块一有理数加减法 课后演练
【演练1】 填空：
⑴1.32 3
【解析】⑴1.3；⑵ 3 ．
2
【演练2】 ⑴5.53.22.54.8
1
4 1.25
⑵8.53 1
1
3 11
1
2
⑶2
3
5
6 2.8
1
3 2
4
5
5
6
⑷5 17
37
9.5 4
3
74 7.5
⑸5.53.22.54.8
⑹32 172317
【解析】⑴11；⑵ 0；⑶ 1； ⑷ 7.5；⑸1.4；⑹89 ．
知识模块二 有理数乘除法 课后演练
【演练3】 ⑴0.03
3
1 1
2 33 3
⑵1
1
4
4
5 16
⑶ 1 2
7
3
4
15
14
5
8
【解析】⑴ 7 ；⑵ 2；⑶1．
2
【演练4】 计算：
⑴71 15
第 3 讲·尖端预备班·教师版
9
⎡735 （ ）⎤ （
⎣ 1246⎦
15 ⎛1 ⎫2 ⎛ 5 ⎫
34 ⎝2 ⎭5 ⎝ 2 ⎭
【解析】⑴ 575 1 ；⑵ -12 ；⑶ 245
28
知识模块三 有理数加减乘除混合运算 课后演练
【演练5】 计算：
⎩⎣ ⎭
【解析】 1
6
ab
bc
⑵ 已知整数 a, b, c, d 满足 abcd = 25 ，且 a > b > c > d ，那么 a - b + c - d =．
【解析】⑴ a < 0 说明 a 、b 异号； b < 0 说明 b 、c 异号，所以 a 、c 同号，所以 ac 的符号为正；
bc
⑵ 易知 a = 5 ， b = 1 ， c = -1， d = -5 ，则 a - b + c - d = 5 - 1 + （-1） - （-5） = 8
10第 3 讲·尖端预备班·教师版
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