在操作中探究 在交流中内化.docx

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在操作中探究在交流中内化

在操作中探究　在交流中内化

　　使用教材：

义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）九年级上册

　　教学目标：

（1）知识与能力：

引导学生准确地建立三角形的中位线概念，掌握三角形的中位线定理，并能用它进行简单的计算和证明，及解决一些实际应用问题。

（2）过程与方法：

通过动手操作、观察、思考体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程，从中发展几何直觉，进一步发展推理论证能力；体会在证明过程中所运用的归纳、转化等数学思想方法。

　　（3）情感态度与价值观：

通过对三角形中位线定理的自主探究、猜想、验证，让学生获得亲自参与研究、探索的情感体验，增强学习数学的热情；感受证明的严谨性，体会事物之间的内在联系；通过与人交流合作、解决问题的过程，使学生认识自我，建立自信，树立正确的价值观。

　　教学重点、难点：

　　重点是观察思考，了解三角形的中位线定义及定理；进一步发展学生的逻辑思维能力，促使学生能用综合法证明三角形的中位线定理。

　　难点是准确、合理地找出证明方法有条理地对三角形的中位线定理予以证明。

　　教学过程

　　一、创设情景，问题引入

　　师：

请同学们拿出准备好的任意三角形纸片，用剪刀在纸片上只剪一刀，将分成的两块拼出一个平行四边形。

（要求：

同学之间可以交流合作，并请画出剪拼前后的示意图。

）

　　生：

分成学习小组，各组内部交流讨论，积极剪拼，画出示意图。

　　说明：

创设操作探究环境，营造合作气氛，为学生提供自主探索的平台。

　　教师请小组推举发言代表中的生1、生2两位同学到讲台上描述、演示剪拼方案。

并根据学生演示情况，用电脑模拟演示一种剪拼操作全过程，生成图形如下：

（学生们仔细聆听，以好奇的心态欣赏电脑演示全过程）

　　说明：

在实验操作中，演示保留各静态图形，为后面提出问题和解决问题作铺垫。

　　师：

若上图中剪下的位置，我们称为三角形的中位线，那么一个三角形有几条中位线？

　　生3：

三条。

　　师：

你能通过图形给出三角形的中位线定义吗？

　　生3：

三角形的中位线就是连接三角形两边中点的线段。

　　师：

很好，观察仔细，描述准确，请坐下。

（板书课题）

　　说明：

把下定义的任务让给学生，是为了对学生进行抽象、概括能力的训练和培养，发展其直观感知能力。

　　二、实验操作，探究发现

　　师：

通过大家的努力，我们明白了三角形的中位线定义。

对它予以研究，我们还可以得出什么结论呢？

（停顿片刻，意在激疑）现在，请大家回想前面的剪拼过程，并观察下图，试猜想中位线DE和第三边BC有什么关系？

　　（提示：

位置关系和数量关系）

　　生4：

DE∥BC和DE=1/2BC

　　说明：

教师作为引导者，提出思考问题的方向，不全面“灌知”，符合新课标精神。

　　师：

这一猜想是否准确呢？

请同学们用量角器和刻度尺进一步验证该结论。

　　（学生们立即画图，投入到热烈的自主探索气氛之中。

时过不久，学生陆续发言，肯定了生4的结论是正确的）

　　说明：

在得出猜想的基础上，用新的操作方法予以检验，体现了“做数学”的思想。

　　师：

那么，谁能用一句话概括我们的发现呢？

　　生5：

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

（学生边回答，教师边板书，并刻意在命题前空下两格）

　　说明：

仍然把提炼教学内容的任务交给学生，学生回答不够精练不要紧，教师可从旁指导，以培养学生的归纳、概括能力。

　　三、发散思维，严谨证明

　　师：

我们通过实践操作检验了这一猜想的正确性，真是实践出真知呀，但我们不能时时处处都这样啊，你能对这一猜想加以证明吗？

（请同学们独立思考）

　　说明：

有开有合，在此提出独立思考的要求，可发现不同学生的不同思维特点，并为得出不同的解法创造契机。

　　（全体学生陷入沉思之中。

其间，有的学生重新拼接，动手思索；有的学生画出草图，皱眉苦思；有的学生面对多媒体演示图形，会心而悟……几分钟后，学生开始窃窃私语）

　　师：

下面请同学们举手发言，说说你的想法。

　　生6：

首先，得写出已知，求证。

　　师：

哦，思考缜密，很好！

请继续说。

（师边说边补写出）

　　说明：

从教师的语气中可听出刚开始并没有意识到学生会这么答，可见，我们的学生多么聪明。

　　生6：

我由D、E分别是AB、AC的中点，想到AD/AB=1/2，AE/AC=1/2，所以AD/AB=AE/AC，而AD、AE与AB、AC分别所夹的角是同一个角，所以△ADE与△ABC相似，那么∠ADE与∠B就相等，DE与BC就平行了。

另外，可得出DE/BC=AD/AB=1/2，所以DE=1/2-BC。

　　师：

太好了，你真聪明，能从中点条件产生比值，联想到在八年级学过的相似形知识，使问题得以解决。

同学们，我们一起来为他鼓掌。

（一时间，掌声响遍教室，师生精神为之一振，生6也在掌声中自豪地坐了下去。

）

　　说明：

教师对学生调用知识的思路作以简单剖析，并给予积极评价，使师生情感交融、和谐，体现了教师驾驭课堂的能力。

　　师：

同学们还有其他的证法吗？

（语声刚落，已有学生应声举手）

　　生7：

我是这样想的，通过我们刚才剪拼图形的过程，我联想到作辅助线构造出平行四边形来解决，就像您用电脑演示的第三个图形那样。

　　师：

哦，是这样想的呀，好！

说说理由。

（边说边根据学生回答用鼠标点出如下图形）

　　生7：

过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则有∠F=∠ADE，又有∠CEF=∠AED，AE=CE，所以△CFE≌△ADE，那么CF=AD、EF=ED，而AD=BD，所以CF=BD，那么，四边形DBCF就是平行四边形，所以说DF与BC平行且相等，而DF=2DE，所以证得DE∥BC且DE=1/2BC。

　　师：

同学们说正确吗？

　　生：

（兴奋的齐声回答）正确。

　　师：

那好，我们也用掌声来感谢他为我们作的发言。

　　说明：

至此，已有两名学生口述了两种不同的证法，口语表达能力培养的意图很明显。

　　师：

下面请两位同学到讲台上把刚才两位同学的说理过程板书一遍，毛遂自荐者请上台。

　　（学生踊跃举手，最后生8、生9上台板书，其他学生在演草纸上书写）

　　（教师在巡视中，对学生书写中的问题予以指导纠正）

　　说明：

进行到这里，是让学生口述说理的自然延续，不仅培养学生严谨的思维，更要注意证明的严密性。

　　教师在对两位同学的板书作以评讲后发言，同学们都较好地掌握了这一猜想的证明。

这就是我们此堂课所要学习的重点内容：

三角形的中位线定理（在前面书写的命题前用红色粉笔补写出“定理”二字）。

下面请大家自阅课本第81页的内容。

　　说明：

教师补写出前面刻意留下的两个字：

“定理”，突显内容主题，使得整堂课自然流畅。

通过阅读，用课本中的证法，进一步规范学生的书写过程。

　　四、辨析训练，巩固新知

　　师：

请同学们把书翻到第82页，思考解答下方的随堂练习题。

（稍停后，学生回答）

　　生10：

因为在△ABC中，M、N分别是AC、BC的中点，所以MN是△ABC的中位线，那么MN=1/2AB，即AB=2MN，所以当小明测出MN的长，就可以算出AB长了。

　　说明：

学以致用，解决较为简单的实际问题。

　　师：

回答正确，你真棒！

下面请同学们再把书翻到第80页，自己阅读此页上半部分。

　　（学生默默阅读、思考）

　　师：

请问，图中的四个小三角形为什么全等呢？

　　（学生积极发言，能准确回答）

　　说明：

灵活处理教材，使教材功用最大化。

　　师：

同学们回答的很好，下面再看一例（电脑显示）：

　　如图，等腰三角形中AB=AC=6，BC=4，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则四边形DECF是什么形状的图形？

它的周长是多少？

　　（学生沉思片刻后，踊跃发言）

　　生11：

四边形DECF是平行四边形，它的周长是10。

　　五、指导应用，鼓励创新

　　师：

（打开几何画板软件边操作边口述，并显示题目）画任意四边形ABCD，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接各中点，得到四边形EFGH，不断运动A点，请猜想四边形EFGH是什么四边形？

并证明你的猜想，与同伴进行交流。

　　说明：

运用先进的教学手段，实物动态化，很好地展现出数学结论的确定性。

　　（学生积极思考，讨论分析）

　　生12：

四边形EFGH是平行四边形。

连接AC后，我们就知道HG、EF分别是△DAC和△BAC的中位线，由刚学的知识就可得出HG∥AC∥EF，且HG=1/2AC=EF，所以HG与EF平行且相等，那么四边形EFGH就是平行四边形了。

（待口述完毕，教师用鼠标点出相应证明过程）

　　师：

你能学以致用，联想到连接四边形的对角线，把四边形问题转化为三角形问题加以研究、解决，真聪明。

像这样，在我们研究四边形问题时，通过作辅助线，把其转化为三角形问题的方法，在今后的学习中，运用还较多，请同学们细心体会这种思考问题的方法。

　　说明：

必要的学习指导是一堂优质、高效的课必不可少的环节。

此处，教师清晰明了地提出了研究数学问题的常用思想和方法。

　　教师用电脑显示上例变式题：

在原例基础上，顺次连接四边形EFGH的各边中点，那么，所得四边形是什么形状的图形？

如果再顺次连接所得四边形的各边中点，并像这样，无限连接下去，问所得四边形的形状会发生改变吗？

　　生13：

仍然是平行四边形；不会发生改变，还是平行四边形。

　　说明：

对原例加以拓展，并渗透了极限化的数学思想。

　　六、品尝收获，自我评价

　　师：

这堂课中，同学们都能积极动手、勤于思考，回答问题清晰明白，这一切使老师很高兴，我相信大家一定会有很多收获。

现在请同学们回想一下，今天你学到了什么？

又有何感受呢？

　　说明：

对同学们的表现作以积极评价，再让学生自主评价，体验收获的快乐。

　　生：

我认识了三角形的中位线，并知道了它平行于第三边，且等于第三边的一半；

　　生6：

我很自豪，我用了一种与课本证法不一样的方法证明了三角形的中位线定理；

　　生：

我认识到三角形的中位线定理在证明和计算中的作用很大；

　　生：

我觉得从实验操作的过程中可以寻找到解决问题的方法；

　　生：

我认识到读题时，如题中有中点条件，不只要联想到三角形的中线，还要想到三角形的中位线；

　　生：

我从同学们的发言中学到很多，希望老师能让我们多交流。

　　说明：

实现不同的学生在数学上有不同的发展。

　　七、课后延伸，分类达标

　　教师安排作业：

　　基础题：

习题3.3中第3、4两题。

　　开放题：

请同学们根据所示图形，结合本节课所学习的内容或从前学过的数学知识，自己编一道数学题，并给出解答过程或说明理由。

　　说明：

开放题是由课本中和题目变式出来的，问题解决方法多样化，同时也体现出数学从生活中来，又用到生活中去的新课程理念。

　　（责任编辑：

张华伟）