特殊的平行四边形专题题型详细分类doc.docx

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特殊的平行四边形专题题型详细分类doc

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特殊的平行四边形讲义

知识点归纳

矩形

菱形

正方形

边

对边平行且相等

对边平行，四边相等

对边平行，四边相等

角

四个角都是直角

对角相等

四个角都是直角

性

对

质

互相垂直平分，且每条对

互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角

角

互相平分且相等

角线平分一组对角

线

·有三个角是直角;

·四边相等的四边形；

·是平行四边形且有

·是平行四边形且有一组邻

·是矩形，且有一组邻边相等；

判定

一个角是直角;

边相等；

·是菱形，且有一个角是直角。

·是平行四边形且两

·是平行四边形且两条对角

条对角线相等.

线互相垂直。

对称性

既是轴对称图形，又是中心对称图形

矩

形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：

四边形分类专题汇总

专题一：

特殊四边形的判定

【知识点】

1.平行四边形的判定方法：

（1）______________

（2）______________（3）______________（4）______________

可编辑

.

（5）______________

2.矩形的判定方法：

（1）______________

（2）______________（3）______________

3.菱形的判定方法：

（1）______________

（2）______________（3）______________

4.正方形的判定方法：

（1）______________

（2）______________（3）______________

5.等腰梯形的判定方法：

（1）______________

（2）______________（3）______________

【练一练】

一．选择题

1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）．

A．AB∥CD，AD=BCB．∠A=∠B，∠C=∠D

C．AB=CD，AD=BCD．AB=AD，CB=CD

2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）．

A．相邻的角互补B．两组对角分别相等

C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线交点是两对角线中点

3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（）

A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边平行，一组对角相等

C.一组对边平行，一组邻角互补D.一组对边相等，一组邻角相等

4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）．

A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;

B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;

可编辑

.

C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;

D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形

5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（

）

A．AB=CD，AD=BC

B．AB∥CD，AB=CD

C．AB=CD，AD∥BC

D．AB∥CD，AD∥BC

6.

四边形ABCD

的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（

）

A．AO=CO，BO=DO

B．AO=BO=CO=DO

C．AB=BC，AO=CO

D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD

7.

四边形ABCD

的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（

）

A．AB=CD

B．AD=BC

C．AB=BC

D．AC=BD

8.

在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（

）

A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD

B、AD∥BC，∠A＝∠C

C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD

D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC

9.

在下列命题中，真命题是（

）

Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形

Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

10.在下列命题中，正确的是（

）

A一组对边平行的四边形是平行四边形

B有一个角是直角的四边形是矩形

C有一组邻边相等的平行四边形是菱形

D对角线互相垂直平分的四边形是正方形

11.如图，已知四边形

ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（

）

A．当AB=BC时，它是菱形

B．当AC⊥BD时，它是菱形

Ａ

C．当∠ABC=900

时，它是矩形

D

D．当AC=BD时，它是正方形

Ｆ

A

Ｅ

Ｂ

Ｄ

Ｃ

B

C

可编辑

.

12.如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，

不正确的是（）

．．．

A．四边形AEDF是平行四边形B．如果BAC90o，那么四边形AEDF是矩形

C．如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形

D．如果ADBC且ABAC，那么四边形AEDF是菱形

13.下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（）。

A、对角线互相垂直且相等的四边形B、一条对角线平分一组对角的矩形

C、对角线相等的棱形D、对角线互相垂直的矩形

14.下列命题中，假命题是（）。

A、四个内角都相等的四边形是矩形B、四条边都相等的平行四边形是正方形

C、既是菱形又是矩形的四边形是正方形D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

15.在四边形

ABCD中，O是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（

）。

A、AC

BD，AB//CD

B、AD//BC，A

C

C、AO

BOCODO，ACBD

D、AOCO，BO

DO，ABBC

16.下列命题正确的是（）

A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是等腰梯形

17.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（

）

A

D

A、当AB=BC时，它是菱形

B、当AC⊥BD时，它是菱形

C、当∠ABC=90°时，它是矩形

D、当AC=BD是，它是正方形

B

C

18.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）

A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形

可编辑

.

一．矩形

例1

：

若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为

600，则该矩形的面积为

例2

：

菱形具有而矩形不具有的性质是

（

）A．对角线互相平分；

B.四条边都相等；

C.对角相等；D.邻角互补

例3

：

已知：

如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点

E，F，G，?

H，求证：

?

四边形EFGH是矩形．

二．菱形

例1已知：

如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：

四边形AFCE是菱形．

例2、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。

求证：

AM=BE。

A

BMD

E

C

例3（中考题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

DC

求线段BE的长．

O

60

AEB

可编辑

.

例4、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。

请你猜想DE与

DF的大小有什么关系？

并证明你的猜想

例5、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：

△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由；

（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

三．正方形

例1、（2011

海南）如图，P是边长为

1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC

上，且PE=PB.

A

D

P

（1）求证：

①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）设AP=x,PBE△的面积为y.

①求出y关于x的函数关系式，并写出

x的取值范围；

B

E

C

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

可编辑

.

专题二：

矩形的有关线段计算

1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知AOD1200，AB=2.5，则AC的长为。

2.

如图，将矩形纸

ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形

EFGH，若EH＝3

厘米，EF＝4

厘米，则边AD的长是

厘米.

3.

如图，矩形ABCD中，AB

3，BC5．过对角线交点O作OE

AC交AD于E，则AE的长是（

）

A．1.6

B．2.5

C．3

D．3.4

4.

如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（

）

A．1

4

3

D．2

B．

C．

3

2

D

C

A′

AG

B

5.

将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，

AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝

3，折叠后，点C落在AD边上

的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（

）．

A、3

B、2

C、3

D、23

6.

如图矩形纸片

ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作

可编辑

.

PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_________cm.

7.把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，

则重叠部分△DEF的面积是cm2．

8.如图（十二），长方形ABCD中，E为BC中点，作AEC的角平分线交AD于F点。

若AB＝6，AD＝16，则FD

的长度为（）

A．4B．5C．6D．8

9.如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.

10.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的

点B1重合，则AC＝cm．

专题三：

菱形的有关线段计算

1.

已知一个菱形的周长是

20cm，两条对角线的比是

4∶3，则这个菱形的面积是（

）

A．12cm2

B．24cm2

C．48cm2

D．96cm2

2..若一个菱形的边长为

2，则这个菱形两条对角线的平方和为（

）

A16

B8

C4

D1

3.

如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是_________cm.

A

A

B

D

B

D

E

E

F

C

C

4.

菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接

AE、EF、AF，则△AEF的周长为（

）

A．23

B．33

C．43

D．3

可编辑

.

5.

已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC

4

cm，则菱形的边长是

__________cm；

6.

菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB

4cm．那么，菱形ABCD的面积是

，对角线BD

的长是

．

7.

已知菱形

ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°AC=4，

，则该菱形的面积是（

）

A、16

3

B、16

C、83

D、8

8.如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何（）

A、8B、9C、11D、12

9.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边

形ABCD的面积等于cm2．

专题四：

正方形的有关线段计算

1.如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A

落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N=;

AEMD

A'

C

BN

2.如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是cm2．

3.如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段

可编辑

.

CN的长是（

）

A．3cmA

B．4cm

D

C．5cm

D．6cm

M

A

D

F

1

4

E

3

N

F

2

BEC

题3BCG

4.如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、

DF，∠1=∠2，∠3=∠4.

（1）证明：

△ABE≌△DAF；

（2）若∠AGB=30°，求EF的长.

5.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B处，点A对应点为A，

且BC3，则AM的长是B

A．1.5Ｂ．2Ｃ．2.25Ｄ．2.5

专题五：

有关特殊四边形的角度计算

1.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是．

2.

如图，

l∥m

，矩形

ABCD

的顶点

BD

m上，则

度．

在直线

D

A

D

l

E

A

A

D

P

65°

A

P

C

C

E

P

m

C

F

3.

B

ABCD中，

ADC

72

oB

于点

，垂足为

B

CP

CPB

________

如图，在菱形

，的垂直平分线交对角线

，连接

，则

AD

BDB

P

E

度．

4.

如图，在菱形

ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（

）

A．35°

B．45°

C．50°

D．55°

可编辑

.

5.如图19，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′

的度数为度．

6.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，BEG60，现沿直线EG将纸片折

叠，使点B落在约片上的点H处，连接AH，则与BEG相等的角的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

四边形动点专题：

专题一：

证明与计算

与中点相关的证明，或构造平行四边形将条件集中，或构造出中位线等等。

1.如图l，在四边形A8CD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于

点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．

（温馨提示：

在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，可证得

HE=HF，从而∠

HFE=∠HEF，再利用平行线的性质，可证得∠

BME=∠CNE．）

问题一：

如图

2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分

别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．

问题二：

如图

3，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结

EF并延长，与

BA的延长线交于点

G，

若∠EFC=600，连结GD，判断△AGD的形状并证

M

A

N

A

G

F

D

C

A

1

FO

D

H

E

F

2

MN

B

E

CD

BB

E

C

明．

图1

图2

图3

可编辑

.

2.在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中

点是M．

（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，

求证：

FM=MH，FM⊥MH；

（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图

2，求证：

△

FMH是等腰直角三角形；

（3）将图2中的CE缩短到图14-3的情况，△

FMH还是等腰直角三角形吗？

F

G（N）

F

G

N

F

G

H

N

H

C

H

A

B

C（M）

D

A

B

C

A

B

D

E

D

M

图1

M

E

图3

图2

E