《整式加减》例题讲解与同步练习学案1.docx
《《整式加减》例题讲解与同步练习学案1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《整式加减》例题讲解与同步练习学案1.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
《整式加减》例题讲解与同步练习学案1
整式加减
整式的加减是全章的重点，是我们今后学习方程，方程组及分式，根式等知识的基础知识，我们应掌握整式加减的一般步骤，达到能熟练地进行整式加减运算。
一、本讲知识重点
1．同类项：
在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
例如，在多项式3m2n+6mn2-mn2-m2n中，3m2n与-m2n两项都含字母m,n，并且m的次数都是2，n的次数都是1，所以它们是同类项；6mn2与-mn2两项，都含有字母m,n，且m的次数都是1，n的次数都是2，所以它们也是同类项。
在判断同类项时要抓住“两个相同”的特点，（即所含字母相同，并且相同字母的次数也相同）并且不忘记几个常数也是同类项。
2．合并同类项：
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项的法则是：
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
例如：
合并同类项3m2n+6mn2-mn2-m2n中的同类项：
原式=（3m2n-m2n）+（6mn2-mn2）
=（3-）m2n+（6-）mn2
=m2n+mn2
合并同类项的依据是：
加法交换律，结合律及分配律。
要特别注意不要丢掉每一项的符号。
例如，合并下式中的同类项：
-3x2y+5xy2-6xy2+4-7x2y-9
解：
原式=-3x2y+5xy2-6xy2+4-7x2y-9（用不同记号将同类项标出，不易出错漏项）
=（-3x2y-7x2y）+（5xy2-6xy2）+（4-9）（利用加法交换律，结合律将同类项分别集中）
=（-3-7）x2y+（5-6）xy2-5（逆用分配律）
=-10x2y-xy2-5（运用法则合并同类项）
多项式中，如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，这两项就相互抵消，结果为0。
如：
7x2y-7x2y=0，-4ab+4ab=0，-6+6=0等等。
有时我们可以利用合并同类项的法则来处理一些问题，如，多项式2（a+b）2-3（a+b）2-（a+b）2-0.25（a+b）2中，我们可以把（a+b）2看作一个整体，于是可以利用合并同类项法则将上式化简：
原式=（2-3--0.25）（a+b）2
=-（a+b）2，在这里我们将合并同类项的意义进行了扩展。
3．去括号与添括号法则：
我们在合并同类项时，有时要去括号或添括号，一定要弄清法则，尤其是括号前面是负号时要更小心。
去括号法则：
括号前面是“+”号，去掉括号和“+”号，括号里各项都不变符号；括号前面是“-”号，去掉括号和“-”号，括号里各项都改变符号。
即a+（b+c）=a+b+c；a-（b+c）=a-b-c。
添括号法则：
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。
即a+b+c=a+（b+c）,a-b+c=a-（b-c）
我们应注意避免出现如下错误：
去括号a2-（3a-6b+c）=a2-3a-6b+c，其错误在于：
括号前面是“-”号，去掉括号和“-”号，括号里的各项都要改变符号，而上述作法只改变了3a的符号，而其它两项末变，因此造成错误。
正确做法应是：
a2-（3a-6b+c）=a2-3a+6b-c。
又如在m+3n-2p+q=m+（ ）中的括号内应填上3n-2p+q，在
m-3n-2p+q=m-（ ）中的括号内应填上3n+2p-q。
4．整式加减运算：
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接。
如单项式xy2,-3x2y,4xy2,
-5x2y的和表示xy2+（-3x2y）+4xy2+（-5x2y），又如：
a2+ab+b2与2a2+3ab-b2的差表示为（a2+ab+b2）-（2a2+3ab-
b2）
（2）整式加减的一般步骤：
①如果遇到括号，按去括号法则先去括号；
②合并同类项
③结果写成代数和的形式，并按一定字母的降幂排列。
整式加减的结果仍是整式。
从步骤可看出合并同类项和去括号、添括号法则是整式加减的基础。
二、例题
例1、合并同类项
（1）（3x-5y）-（6x+7y）+（9x-2y）
（2）2a-[3b-5a-（3a-5b）]
（3）（6m2n-5mn2）-6（m2n-mn2）
解：
（1）（3x-5y）-（6x+7y）+（9x-2y）
=3x-5y-6x-7y+9x-2y （正确去掉括号）
=（3-6+9）x+（-5-7-2）y （合并同类项）
=6x-14y
（2）2a-[3b-5a-（3a-5b）]（应按小括号，中括号，大括号的顺序逐层去括号）
=2a-[3b-5a-3a+5b] （先去小括号）
=2a-[-8a+8b] （及时合并同类项）
=2a+8a-8b （去中括号）
=10a-8b
（3）（6m2n-5mn2）-6（m2n-mn2）（注意第二个括号前有因数6）
=6m2n-5mn2-2m2n+3mn2 （去括号与分配律同时进行）
=（6-2）m2n+（-5+3）mn2 （合并同类项）
=4m2n-2mn2
例2．已知：
A=3x2-4xy+2y2，B=x2+2xy-5y2
求：
（1）A+B
（2）A-B （3）若2A-B+C=0，求C。
解：
（1）A+B=（3x2-4xy+2y2）+（x2+2xy-5y2）
=3x2-4xy+2y2+x2+2xy-5y2（去括号）
=（3+1）x2+（-4+2）xy+（2-5）y2（合并同类项）
=4x2-2xy-3y2（按x的降幂排列）
（2）A-B=（3x2-4xy+2y2）-（x2+2xy-5y2）
=3x2-4xy+2y2-x2-2xy+5y2 （去括号）
=（3-1）x2+（-4-2）xy+（2+5）y2 （合并同类项）
=2x2-6xy+7y2 （按x的降幂排列）
（3）∵2A-B+C=0
∴C=-2A+B
=-2（3x2-4xy+2y2）+（x2+2xy-5y2）
=-6x2+8xy-4y2+x2+2xy-5y2 （去括号，注意使用分配律）
=（-6+1）x2+（8+2）xy+（-4-5）y2 （合并同类项）
=-5x2+10xy-9y2 （按x的降幂排列）
例3．计算：
（1）m2+（-mn）-n2+（-m2）-（-0.5n2）
（2）2（4an+2-an）-3an+（an+1-2an+1）-（8an+2+3an）
（3）化简：
（x-y）2-（x-y）2-[（x-y）2-（x-y）2]
解：
（1）m2+（-mn）-n2+（-m2）-（-0.5n2）
=m2-mn-n2-m2+n2 （去括号）
=（-）m2-mn+（-+）n2 （合并同类项）
=-m2-mn-n2 （按m的降幂排列）
（2）2（4an+2-an）-3an+（an+1-2an+1）-（8an+2+3an）
=8an+2-2an-3an-an+1-8an+2-3an （去括号）
=0+（-2-3-3）an-an+1 （合并同类项）
=-an+1-8an
（3）（x-y）2-（x-y）2-[（x-y）2-（x-y）2] [把（x-y）2看作一个整体]
=（x-y）2-（x-y）2-（x-y）2+（x-y）2 （去掉中括号）
=（1--+）（x-y）2 （“合并同类项”）
=（x-y）2
例4求3x2-2{x-5[x-3（x-2x2）-3（x2-2x）]-（x-1）}的值，其中x=2。
分析：
由于已知所给的式子比较复杂，一般情况都应先化简整式，然后再代入所给数值x=-2，去括号时要注意符号，并且及时合并同类项，使运算简便。
解：
原式=3x2-2{x-5[x-3x+6x2-3x2+6x]-x+1} （去小括号）
=3x2-2{x-5[3x2+4x]-x+1} （及时合并同类项）
=3x2-2{x-15x2-20x-x+1} （去中括号）
=3x2-2{-15x2-20x+1} （化简大括号里的式子）
=3x2+30x2+40x-2 （去掉大括号）
=33x2+40x-2
当x=-2时，原式=33×（-2）2+40×（-2）-2=132-80-2=50
例5．若16x3m-1y5和-x5y2n+1是同类项，求3m+2n的值。
解：
∵16x3m-1y5和-x5y2n+1是同类项
∴对应x,y的次数应分别相等
∴3m-1=5且2n+1=5
∴m=2且n=2
∴3m+2n=6+4=10
本题考察我们对同类项的概念的理解。
例6．已知x+y=6，xy=-4，求:
（5x-4y-3xy）-（8x-y+2xy）的值。
解：
（5x-4y-3xy）-（8x-y+2xy）
=5x-4y-3xy-8x+y-2xy
=-3x-3y-5xy
=-3（x+y）-5xy
∵x+y=6，xy=-4
∴原式=-3×6-5×（-4）=-18+20=2
说明：
本题化简后，发现结果可以写成-3（x+y）-5xy的形式，因而可以把x+y，xy的值代入原式即可求得最后结果，而没有必要求出x,y的值，这种思考问题的思想方法叫做整体代换，希望同学们在学习过程中，注意使用。
三、练习
（一）计算：
（1）a-（a-3b+4c）+3（-c+2b）
（2）（3x2-2xy+7）-（-4x2+5xy+6）
（3）2x2-{-3x+6+[4x2-（2x2-3x+2）]}
（二）化简
（1）a>0，b<0，|6-5b|-|3a-2b|-|6b-1|
（2）1 （三）当a=1，b=-3，c=1时，求代数式a2b-[a2b-（5abc-a2c）]-5abc的值。
（四）当代数式-（3x+6）2+2取得最大值时，求代数式5x-[-x2-（x+2）]的值。
（五）x2-3xy=-5，xy+y2=3，求x2-2xy+y2的值。
练习参考答案：
（一）计算：
（1）-a+9b-7c
（2）7x2-7xy+1 （3）-4
（二）化简
（1）∵a>0,b<0
∴|6-5b|-|3a-2b|-|6b-1|
=6-5b-（3a-2b）-（1-6b）
=6-5b-3a+2b-1+6b=-3a+3b+5
（2）∵1 ∴|1-a|+|3-a|+|a-5|=a-1+3-a+5-a=-a+7
（三）原式=-a2b-a2c=2
（四）根据题意，x=-2,当x=-2时，原式=-
（五）-2（用整体代换）
测试
选择题
1．若ak+m·bm与ak+2b2为同类项，且k为非负整数，则满足条件的k值有（ ）
A、1组 B、2组 C、3组 D、无数组
2．若a=-，b=-，则2a-3b-[-4a+（a+2b）]-（3a-2b）的值是（ ）
A、0 B、1 C、-1 D、2
3．若a|2n|b与-a6bm+1是同类项，则（ ）
A、n=2，m=2 B、n=3，m=0 C、n=±3，m=0 D、n=±3，m=2
4．已知：
A=x2+2xy，B=x2+3xy+y2，则[3（A-B）-2A]+[2（A+2B）-2A]-A的值为（ ），（其中x
，y满足等式
（y-3）2+|x+4|=0。
）
A、5 B、4 C、3 D、-2
5．如果关于x的多项式ax2-abx+b与bx2+abx+2a的和是一个单项式，那么a与b的关系是（ ）
A、a=b B、a=-b或b=-2a C、a=0或b=0 D、ab=1
答案与解析
答案：
1、D 2、B 3、C 4、A 5、B
解析：
1、分析：
由同类项的定义可得因此不管k取什么非负整数，k+m=k+2总是成立的，所以k可
以取所有的非负整数，故选D。
2、分析：
原式=2a-3b-[-4a+a+2b]-3a+2b
=-a-b-[-3a+2b]
=-a-b+3a-2b=2a-3b
当a=-，b=-时，原式的值=2×（-）-3×（-）=-1+2=1。
3、分析：
∵a|2n|b与-a6bm+1是同类项，
∴|2n|=6，且1=m+1。
∴n=±3，m=0。
故本题应选C。
4、分析：
[3（A-B）-2A]+[2（A+2B）-2A]-A
=（A-B）-A+（A+2B）-A-A
=A-B-A+A+2B-A-A
=（1-+1-1-）A+（-1+2）B
=B-2A
当A=x2+2xy,B=x2+3xy+y2时，
原式=（x2+3xy+y2）-2（x2+2xy）
=x2+3xy+y2-2x2-4xy=-x2-xy+y2
∵（y-3）2+|x+4|=0
∴由非负数性质得x=-4，y=3。
当x=-4，y=3时，-x2-xy+y2=-（-4）2-（-4）×3+32=-16+12+9=5。
5、分析：
两个多项式进行相加，合并同类项得到（a+b）x2+b+2a，要使结果是单项式，那么a+b=0或b+2a=0就可以保证（a+b）x2+b+2a是单项式了。
中考解析
考点扫描：
理解同类项的概念，掌握合并同类项的方法。
名师精讲:
1．同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。
判断同类项的标准有两条：
（1）所含字母相同；
（2）相同字母的指数也分别相同。
两个条件同时满足，缺一不可。
同类项与项的系数没有关系，和项中字母的位置排列顺序也没有关系。
任何两个常数项也可看作同类项。
2．合并同类项：
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
不是同类项不能合并。
合并同类项的法则（步骤）是：
（1）系数相加，所得的结果作为系数。
（2）字母和字母的指数不变。
合并同类项的法则是整式加减运算的基础，在合并同类项中，要先准确地找出各个同类项，然后再正确地应用合并同类项的法则。
在合并同类项中常见下列错误：
（1）系数相加后，丢掉字母和字母指数，如6a2-2a2=4。
（2）系数相加，字母的指数也相加：
如4a3+2a3=6a6。
（3）系数相加得0后，结果还写出字母及字母指数。
如-2ab2+2ab2=ab2。
中考典例:
1．（宜昌市）下列各式不是同类项的是（多选）（ ）
A、a2b与ab2 B、x与2x C、a2b与ab2 D、ab与ba
考点：
同类项
评析：
同类项是指几个单项式中所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项。
B、D选项符合该条件，Ａ、C中虽然含字母相同，但相同字母的指数不同，所以不是同类项的应选Ａ、C。
2．（黑龙江省哈尔滨市）单项式3xm+2ny8与-2x2y3m+4n是同类项，则m+n=_______。
考点：
同类项的概念。
评析：
该题考查学生运用同类项概念解答相关问题的能力。
因为给的两个单项式是同类项，所以根据同类项的定义，可得方程组，
（2）-
（1）可得：
2m+2n=6，进而求得：
m+n=3。
说明：
方程组的解法见人教版5.2节、5.3节。
此处设置此题一是此类题目主要应用同类项概念；二是可培养学生探究能力。
真题专练:
1．（黄石市）4ay+4b3x-1与-a2x-2b1-2y是同类项则 （ ）
A、 B、 C、 D、
1、A（提示：
可将四个选项代入验证，看哪组数值代入后，二者是同类项）
去括号与添括号
考点扫描:
掌握去括号、添括号的法则，能根据要求熟练地去括号和添括号。
名师精讲:
1．去括号法则：
（1）括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变符号；
（2）括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号。
去括号时，首先要看准括号前是“+”号还是“-”号，再正确运用去括号法则。
其中括号前是“-”号的去括号法则是本节的重点、难点，也是本节的易错点。
容易出现“只改变第一项的符号，其余各项的符号不改变”的错误。
遇到多重括号时，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
若有同类项，可以去一次括号，合并一次同类项，也可以把括号全部去掉，再一次完成合并同类项。
2．添括号法则：
（1）添括号时，括号前添“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
（2）添括号时，括号前添“-”号，括到括号里的各项都改变符号。
使用添括号法则时要弄清两点：
①哪些项括进括号内？
②括号前是什么符号？
括进括号内的各项要不要改变符号？
同样，添括号法则中，括号前是“-”号的法则是本节的重点、难点，容易出现第一项改变符号而其余各项不改变符号，甚至括进括号内的各项都没有改变符号的错误。
说明：
本节知识虽然单独命题较少，但它是整式运算，分式运算，方程化简的基础，其中的重点、难点。
“括号前是负号”时的去（添）括号法则是学生易错点，因而是教学的重点、难点。
中考典例:
1．（咸宁市）-[-（-2）]=_______。
考点：
去括号
评析：
按照去括号的法则，括号前是“-”号，将括号连同“-”号一起去掉时，括号内的每一项变号，可从里到外去括号，即-[2]=-2，也可从外到里，去掉中括号，原式=（-2），再去掉小括号结果为-2。
真题专练:
1．（北京燕山）把-（a-b）变形后的正确结果为 （ ）
A、-a+b B、-a-b C、a+b D、a-b
答案：
1、A
整式的加减
考点扫描:
熟练地掌握整式的加减运算。
名师精讲:
整式的加减运算，包括单项式与单项式之间或单项式与多项式之间或多项式与多项式之间的加减运算。
几个整式相加减时，一般先用括号把每个整式括起来，再用加号或减号连接。
整式的加减运算实际上就是合并同类项，所以在这一节里，实际上就是前面所学去括号法则及合并同类项知识的综合运用。
整式加减运算的一般步骤是：
（1）先按去括号法则去掉括号。
（2）合并同类项。
对于一些求代数式的值的问题，一般要先化简，再求值。
一般不要直接代入计算。
说明：
整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用。
中考典例:
1．（金华市）计算2a+5a的结果正确的是 （ ）
A、10a B、7a C、10a2 D、7a2
考点：
整式加法
评析：
因为2a与5a是同类项，根据合并同类项的法则进行加法运算即可，结果等于7a，选B。
真题专练
1．（镇江市）a3b-4a3b=_______。
答案：
1、-3a3b
课外拓展
整式释疑
初接触整式的加减，我们要对其实质进行把握，它的实质就是合并同类项。
在这一章中出现许多概念问题，同学们在学习中要注意真正理解这些概念。
以下就让我们一起来“合”一下这一章的知识点：
一．理解“三式”的含义:
“三式”就是指单项式，多项式和整式。
1．单项式是数与字母的积的代数式，单独一个字母或一个数字也是单项式。
（例：
-3a2bc,x,-5）
2．多项式是几个单项式的和。
（例：
-3a2bc+x-5）
3．整式是单项式和多项式的统称。
注意：
因为，所以是多项式。
二．弄清“四数”的含义
“四数”就是指单项式的系数和次数，多项式的项数和次数。
单项式的系数
单项式中的数字因数
例：
-8xy的系数是-8
单项式的次数
所有字母的指数之和
a2bc,-3x2y2的次数都是4
多项式的次数
最高次项的次数
x2y-3xy+1的最高次项是x2y，所以是3次
多项式的项数
多项式中含单项式的个数
x2y-3xy+1含有x2y，-3xy,1这三项
注意：
1.单独一个字母和只含有字母因数的单项式，系数是1或-1，如n、-ab的系数分别是1和-1。
2.6xy2是三次单项式，这里x的指数是1而不是0。
3.单项式中的次数仅与单项式中的字母有关，而与系数的指数无关。
如：
32a2bc的次数是三个字母a、b、c的指数之和4，而不是2+2+1+1=6。
4.单项式2πab中，π虽是字母，实际上它表示圆周率，是一个常数，所以它的系数是2π，次数是2而不是3。
5.多项式的次数不要与单项式的次数混淆，而误认为是多项式的次数是各项次数之和。
三．掌握“一个概念”和“三个法则”
“一个概念”就是指同类项的概念。
“三个法则”就是指合并同类项法则，去括号法则和添括号法则。
1．判断是同类项的两条标准：
①所含字母相同；②相同字母的次数也分别相同，而与它们的系数无关，与字母的排列顺序无关。
如：
2x2yz3与-7z3x2y是同类项，3ab2与3ba2尽管它们所含字母相同，总次数相同，但相同字母的指数不同，所以它们不是同类项。
2．合并同类项时要注意：
①只有同类项才能合并，也必须合并。
②抓住一个相加，两个不变。
即系数相加，字母和字母的指数不变。
3．掌握去括号法则的关键是要把括号和其前面的符号看作一个整体一起去掉。
注意：
①括号前的系数不是1的时候，要用系数乘以括号里的每一项，且要正确确定符号。
若含有多重括号时可用从内到外或从外到内的方法去括号。
如3x2-[7x-（4x-2x2）]，从内到外：
原式=3x2-[7x-4x+2x2]=3x2-3x-2x2=x2-3x;
从外到内：
原式=3x2-7x+（4x-2x2）=3x2-7x+4x-2x2=x2-3x,添括号的过程和去括号相反，道理是一样的。
四．学会“两种排列”
“两种排列”就是指升幂排列和降幂排列。
升级会员 