江西省重点中学盟校届高三数学下学期第二次联考 理.docx
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江西省重点中学盟校届高三数学下学期第二次联考理
江西省重点中学盟校2022届高三第二次联考
数学（理）试卷
第I卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（）
2．设复数且，则复数的虚部为（）
A．B．C．D．
3．定义在上的偶函数满足：
对任意，且都有，则（）
A．B．
C．D．
4．已知向量，，，则（）
A．B．C．D．
5．方程所表示的曲线是（）
A．焦点在轴上的椭圆B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线D．焦点在轴上的双曲线
1
正视图
1
侧视图
6．若某多面体的三视图（单位：
cm）如右图所示，
则此多面体的体积是（）
A．cm3
1
俯视图
B．cm3
C．cm3
D．cm3
数学试卷第1页（共2页）理科
7．2022年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码。
公司规定：
凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）
A．2000B．4096C．5904D．8320
8．对于使恒成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界。
若，且，则的上确界为（）
A．B．C．D．
9．若函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为，则的展开式中常数项为
ABCD
123…202220222022
35…40194021
8…8040
…
M
10．给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是1,2,3,…,2022，从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数M，则这个数M是（）
A．
B．
C．
D．
第II卷
二、填空题本大题共5个小题,每小题5分,共25分
11．已知等差数列中，是函数的两个零点，则
开始
输入
输出
输出
输出
输出
结束
是
是
是
否
否
否
第（13）题图
12．设，若是的充分
不必要条件，则的取值范围是
13．如图：
若，，，
则输出的数为
14．给出以下三个命题：
数学试卷第2页（共2页）理科
（A）已知是椭圆上的一点，、是左、右两个焦点，若的内切圆的半径为，则此椭圆的离心率；
（B）过椭圆上的任意一动点，引圆的两条切线、，切点分别为、，若，则椭圆的离心率的取值范围为；
（C）已知、，是直线上一动点，则以、为焦点且过点的双曲线的离心率的取值范围是。
其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）。
15．选作题（请在下列2小题中选做一题，全做的只计算第（A）题得分）
（A）在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线C1与C2交于两点，则线段的长度为。
（B）若不等式恒成立，则的取值范围为。
三、解答题（共75分）
16．（本小题满分12分）
已知数列的前项和满足为常数，且，数列是等比数列，且
（1）求的通项公式；
（2）求的值
17．（本小题满分12分）
已知中，角的对边分别为，且的面积，
（1）求的取值范围；
（2）求函数的最值
18．（本小题满分12分）
某汽车配件厂生产A、B两种型号的产品，A型产品的一等品率为，二等品率为；B型产品的一等品率为，二等品率为。
生产1件A型产品，若是一等品则获得4万元利润，若是二等品则亏损1万元；生产1件B型产品，若是一等品则获得6万元利润，若是二等品则亏损2万元。
设生产各件产品相互独立。
（1）求生产4件A型产品所获得的利润不少于10万元的概率；
（2）记单位：
万元为生产1件A型产品和1件B型产品可获得的利润，求的分布列及期望值
19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，，
为的中点，
（1）求证：
20．（本小题满分13分）
已知函数
（1）当且，时，试用含的式子表示，并讨论的单调区间；
（2）若有零点，，且对函数定义域内一切满足的实数有
①求的表达式；
②当时，求函数的图象与函数的图象的交点坐标
21．（本小题满分14分）
已知抛物线和直线没有公共点（其中、为常数），动点是直线上的任意一点，过点引抛物线的两条切线，切点分别为、，且直线恒过点
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点为原点，连结交抛物线于、两点，证明：
江西省重点中学盟校2022届第二次联考数学试卷（理）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
C
B
D
C
B
D
A
第10题提示：
第一行公差为1；第二行公差为2；……；第2022行公差为22022，第2022行只有，发现规律，得。
或从第一行为1,2,3及1,2,3,4,5的两个“小三角形”结合选项归纳得结果为及猜一般为。
二、填空题
11、
12、
13、
14、C提示：
（1）设是的角平分线与轴的交点，则：
（为内心），，∴
∵∴
（或以内心为顶点，面积分割，用定义可得结果）
（2）由得，∵
∴，∴，∴
（3）在轴上时，双曲线上点到左焦点距离最小，∴，∴，∴
又，∴
15、（A）（B）
三、解答题
16．解：
（1）时，
时，，得
∴………………4分
（2）时，
时，
时，…………8分
∴∴…………12分
17．解：
（1）………………2分
则………………4分
………………6分
2………………9分
无最小值，时取得最大值为………………12分
18．解：
（1）由题意得一等品件数为3或4…………2分
即生产4件A型产品所获得的利润不少于10万元的概率为………………5分
（2）由题意的所有可能取值为且
;
………………9分
所以，的分布列为
X
-3
2
5
10
P
………………12分
19．
2
2
2
……4分
……8分
在中，
∴二面角的正切值为
则，，，
∴，
设平面的法向量为，
由及
得，取
∴
又平面的一个法向量
∴
∵所求二面角的平面角为锐角
∴二面角的正切值为
……12分
……12分
20．解：
（1）………………2分
由，故
时由得的单调增区间是，
由得单调减区间是
同理时，的单调增区间，，单调减区间为…………5分
（2）①由
（1）及（i）
又由有知的零点在内，设，
则，结合（i）解得，………………8分
∴………………9分
②又设，先求与轴在的交点
∵，由得
故，在单调递增
又，故与轴有唯一交点
即与的图象在区间上的唯一交点坐标为为所求…………13分
21．解：
（1）如图，设，
由，得∴的斜率为
的方程为同理得
设代入上式得，
即，满足方程
故的方程为………………4分
上式可化为，过交点
∵过交点，∴，
∴的方程为………………6分
（2）要证，即证
设，
则……（Ⅰ）
∵，
∴直线方程为，
与联立化简
∴……①……②…………10分
把①②代入（Ⅰ）式中，则分子
…………（Ⅱ）
又点在直线上，∴代入Ⅱ中得：
∴
故得证………………14分
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