共点力作用下物体的平衡.docx

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共点力作用下物体的平衡

《共点力作用下物体的平衡》复习讲义

南充市白塔中学尹晟

考点剖析：

【教学要求】

1．了解共点力作用下物体平衡的概念，知道共点力作用下物体的平衡条件，并用来计算有关平衡的问题。

（不要求解决复杂连接体的平衡问题）

2．用共点力平衡的条件解释生活中的有关问题。

【知识再现】

一、平衡状态、平衡力：

二、物体的平衡条件：

议一议：

物体的速度为零和物体处于平衡状态是一回事吗？

为什么？

三、解题方法：

当物体在两个共点力作用下平衡时，这两个力一定等值反向；当物体在三个共点力作用下平衡时，往往采用平行四边形定则或三角形定则；当物体在四个或四个以上共点力作用下平衡时，往往采用正交分解法。

重点突破：

知识点一平衡状态和平衡条件

下列情况可作平衡来处理：

（1）静止：

v=0，a=0；

（2）匀速直线运动：

v=恒量，a=0；（3）匀速转动：

ω=恒量。

知识点二物体的平衡条件的推论

共点力作用下物体的平衡条件的推论：

1、物体受两个共点力作用平衡，这两个力必大小相等，方向相反，作用在一条直线上。

2、物体受三个共点力作用平衡，则三个力的作用线必相交于同一点。

其中任意两个力的合力，一定与第三个力等值反向。

3、三个以上力依次类推，而且三个以上的力最终都可归结为三个力的平衡。

所以，三个力平衡在共点力作用下物体的平衡问题中具有典型性。

4、一个物体受三个共点力而平衡，若其中第一个力为恒力，第二个力方向不变，第三个力大小、方向都改变，则当第三个力与第二个力垂直时最小。

方法探究：

类型一平衡条件的应用问题

1．静态平衡问题的分析方法

【例1】（2003年理综）如图甲所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。

一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60°。

两小球的质量比为

A．

B．

C．

D．

点评：

此题设计巧妙，考查分析综合能力和运用数学处理物理问题的能力，要求考生对于给出的具体事例，选择小球m1为对象，分析它处于平衡状态，再用几何图形处理问题，从而得出结论。

解析：

小球受重力m1g、绳拉力F2=m2g和支持力F1的作用而平衡。

如图乙所示，由平衡条件得，F1=F2，，得。

故选项A正确。

变式练习：

氢气球重10N，空气对它的浮力为16N，用绳拴住，由于受水平风力作用，绳子与竖直方向成30°角，则绳子的拉力大小是__________，水平风力的大小是________.

2．动态平衡类问题的分析方法

【例4】重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。

若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？

解：

由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状态，因此所受合力为零。

应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须在F1所在的直线上，由作图可知，挡板逆时针转动90°过程，F2矢量也逆时针转动90°，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大。

（当F2⊥F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）

点评：

力的图解法是解决动态平衡类问题的常用分析方法。

这种方法的优点是形象直观。

【例5】如图7所示整个装置静止时，绳与竖直方向的夹角为30º。

AB连线与OB垂直。

若使带电小球A的电量加倍，带电小球B重新稳定时绳的拉力多大？

【解析】小球A电量加倍后，球B仍受重力G、绳的拉力T、库伦力F，但三力的方向已不再具有特殊的几何关系。

若用正交分解法，设角度，列方程，很难有结果。

此时应改变思路，并比较两个平衡状态之间有无必然联系。

于是变正交分解为力的合成，注意观察，不难发现：

AOB与FBT′围成的三角形相似，则有：

AO/G=OB/T。

说明系统处于不同的平衡状态时，拉力T大小不变。

由球A电量未加倍时这一特殊状态可以得到：

T=Gcos30º。

球A电量加倍平衡后，绳的拉力仍是Gcos30º。

点评：

相似三角形法是解平衡问题时常遇到的一种方法，解题的关键是正确的受力分析，寻找力三角形和结构三角形相似。

本题的关键是正确对研究对物体进行正确的受力分析，灵活运用平衡条件和数学中三角形有关知识进行求解。

4．整体法与隔离法的应用

【例8】有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑。

AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。

现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是

A．FN不变，f变大B．FN不变，f变小C．FN变大，f变大D．FN变大，f变小

解：

以两环和细绳整体为对象求FN，可知竖直方向上始终二力平衡，FN=2mg不变；以Q环为对象，在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P环向左移的过程中α将减小，N=mgtanα也将减小。

再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA对P环的摩擦力f作用，因此f=N也减小。

答案选B。

点评：

正确选取研究对象，可以使复杂的问题简单化，整体法是力学中经常用到的一种方法。

：

若研究对象由多个物体组成，首先考虑运用整体法，这样受力情况比较简单，在本题中，马上可以判断绳子1是竖直的；但整体法并不能求出系统内物体间的相互作用力，故此时需要使用隔离法，所以整体法和隔离法常常交替使用．

【例9】如图1所示，甲、乙两个带电小球的质量均为m，所带电量分别为q和-q，两球间用绝缘细线连接，甲球又用绝缘细线悬挂在天花板上，在两球所在的空间有方向向左的匀强电场，电场强度为E，平衡时细线都被拉紧．

（1）平衡时可能位置是图1中的（）

（2）1、2两根绝缘细线的拉力大小分别为（）

A．

，

B．

，

C．

，

D．

，

解析：

（1）若完全用隔离法分析，那么很难通过对甲球的分析来确定上边细绳的位置，好像A、B、C都是可能的，只有D不可能．用整体法分析，把两个小球看作一个整体，此整体受到的外力为竖直向下的重力2mg，水平向左的电场力qE（甲受到的）、水平向右的电场力qE（乙受到的）和上边细绳的拉力；两电场力相互抵消，则绳1的拉力一定与重力（2mg）等大反向，即绳1一定竖直，显然只有A、D可能对．

再用隔离法，分析乙球受力的情况．乙球受到向下的重力mg，水平向右的电场力qE，绳2的拉力F2，甲对乙的吸引力F引．要使得乙球平衡，绳2必须倾斜，如图2所示．故应选A．

（2）由上面用整体法的分析，绳1对甲的拉力F1=2mg．由乙球的受力图可知

因此有

应选D

点评：

若研究对象由多个物体组成，首先考虑运用整体法，这样受力情况比较简单，在本题中，马上可以判断绳子1是竖直的；但整体法并不能求出系统内物体间的相互作用力，故此时需要使用隔离法，所以整体法和隔离法常常交替使用

类型二临界极值问题

【例2】跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上，已知物体A的质量为m，物体A与斜面的动摩擦因数为μ（μ

解析：

先选物体B为研究对象，它受到重力mBg和拉力T的作用，根据平衡条件有：

T=mBg①

再选物体A为研究对象，它受到重力mg、斜面支持力N、轻绳拉力T和斜面的摩擦力作用，假设物体A处于将要上滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向下，这时A的受力情况如图（乙）所示，根据平衡条件有：

N-mgcosθ＝0②

T-fm-mgsinθ＝0③

由摩擦力公式知：

fm=μN④

以上四式联立解得mB=m（sinθ＋μcosθ）

再假设物体A处于将要下滑的临界状态，则物体A受的静摩擦力最大，且方向沿斜面向上，根据平衡条件有：

N-mgcosθ=0⑤

T＋fm-mgsinθ=0⑥

由摩擦力公式知：

fm=μN⑦

①⑤⑥⑦四式联立解得mB=m（sinθ-μcosθ）

综上所述，物体B的质量的取值范围是：

m（sinθ-μcosθ）≤mB≤m（sinθ＋μcosθ）

静摩擦力是被动力，其大小和方向均随外力的改变而改变，因此，在解决这类问题时，思维要灵活，思考要全面。

否则，很容易造成漏解或错解。

【例7】用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。

求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f。

解：

从分析木块受力知，重力为G，竖直向下，推力F与竖直成30°斜向右上方，墙对木块的弹力大小跟F的水平分力平衡，所以N=F/2，墙对木块的摩擦力是静摩擦力，其大小和方向由F的竖直分力和重力大小的关系而决定：

当

时，f=0；当

时，

，方向竖直向下；当

时，

，方向竖直向上。

类型三辨析题

【例3】．在倾角为α的斜面上，一条质量不计的皮带一端固定在斜面上端，另一端绕过一中间有一圈凹槽的圆柱体，并用与斜面夹角为β的力拉住，使整个装置处于静止状态，如图所示。

不计一切摩擦，圆柱体质

量为m，求拉力F的大小和斜面对圆柱体的弹力N的大小。

某同学分析过程如下：

将拉力F沿斜面和垂直于斜面方向进行分解。

沿斜面方向：

Fcosβ＝mgsinα

沿垂直于斜面方向：

Fsinβ＋N＝mgcosα

问：

你同意上述分析过程吗？

若同意，按照这种分析方法求出F及N的大小；若不同意，指明错误之处并求出你认为正确的结果。

导示：

不同意。

因为平行于斜面的皮带对圆柱体也有力的作用，该同学没有考虑。

（1）式应改为：

Fcos＋F＝mgsin

由上式得F＝mg

所以，N＝mgcos－Fsin

＝mgcos－mgsin

类型四实际问题分析

【例4】我国第一座跨度超千米的特大悬索桥在江阴正式通车．该桥主跨为1385m,桥全长3071m,桥下通航高度为50m，两岸的桥塔高196m横跨长江南北两岸的两根主缆绕过桥塔顶鞍座，由南北锚旋固定，整个桥面和主缆的4.8万吨重量都悬在这两根主缆上．为计算方便起见，其整体结构可简化为如图所示，每根主缆的张力约为（）

A、2.4×108NB、6×108N

C、1.2×l09ND、2.4×109N

【解析】选择B。

对大桥进行受力分析（如图），

图甲中大桥受整个桥面和主缆的总重力以及四段钢索的拉力，这些力的合力为零，大桥处于静止的平衡状态．这些力可等效为平面共点力系，设其延长线相交于O点，其受力如图乙所示．设总重力为G（4．8×108N），四段钢缆每段拉力均为F，则由相似三角形关系：

解得F=5．8×108N．故选项B正确．

成功体验：

1、如图所示，A与B两个物体用轻绳相连后，跨过无摩擦的定滑轮，A物体在Q位置时处于静止状态，若将A物体移到P位置，仍然能够处于静止状态，则A物体由Q移到P后，作用于A物体上的力中增大的是（）

A．地面对A的摩擦力B．地面对A的支持力

C．绳子对A的拉力

D．A受到的重力

2、如图示，用光滑的粗铁丝做成一直角三角形，BC边水平，AC边竖直，∠ABC=β，AB及AC两边上分别套有细线系着的铜环M、N，当它们静止时，细线跟AB所成的角θ的大小为（细线长度小于BC）（）

A.θ=βB.θ>π/2C.θ<βD.β<θ<π/2

3．如图物体A在竖直向上的拉力F的作用下能静止在斜面上，则关于A受力的个数，下列说法中正确的是（）

A、A一定是受两个力作用

B、A一定是受四个力作用

C、A可能受三个力作用

D、A不是受两个力作用就是受四个力作用

4、如图所示，整个装置处于静止状态，A、B两球由一根跨过定滑轮的轻绳相连接，A为一带孔小球，穿在光滑固定的竖直杆OD上，且A球与斜面不接触，B与斜面的接触面光滑，C处滑轮摩擦不计，C、B之间的绳与竖直方向成300角，C、A之间的绳与斜面平行，斜面倾角

为300，则A、B两球的质量比为（）

A、

B、1C、

D、

5、如图所示，质量为ｍ、顶角为α的直角劈和质量为Ｍ的正方体放在两竖直墙和水平面问，处于静止状态.若不计一切摩擦，求：

（1）水平面对正方体的弹力大小；

（2）墙面对正方体的弹力大小。

如图所示，要在客厅里挂一幅质量m=1.2kg的画（含画框），已知画框背面有两个相距l=0.8m、位置固定的挂钩。

现将轻质细绳的两端分别固定在两个挂钩上，把画对称地挂在插入竖直墙壁的光滑钉子上，挂好后整条细绳呈绷紧状态。

若细绳能够承受的最大拉力为Fmax=10N，g取10m/s2，要使细绳不被拉断，求细绳的最小长度。

导示；画（含画框）受到重力mg和两个大小相等的细绳拉力F的作用而处于静止状态，当

时，对应于细绳不被拉断的最小长度x；作细绳拉力的合力F合（见图），

由平衡条件有：

由相似三角形的相似比有

代入数据解得x=1m。

答案：

1、AB2、D3、D4、C

5、

（1）（M+m）g

（2）mg/tanα

【例7】用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。

求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f。

解：

从分析木块受力知，重力为G，竖直向下，推力F与竖直成30°斜向右上方，墙对木块的弹力大小跟F的水平分力平衡，所以N=F/2，墙对木块的摩擦力是静摩擦力，其大小和方向由F的竖直分力和重力大小的关系而决定：

当

时，f=0；当

时，

，方向竖直向下；当

时，

，方向竖直向上。

【例9】如图1所示，甲、乙两个带电小球的质量均为m，所带电量分别为q和-q，两球间用绝缘细线连接，甲球又用绝缘细线悬挂在天花板上，在两球所在的空间有方向向左的匀强电场，电场强度为E，平衡时细线都被拉紧．

（1）平衡时可能位置是图1中的（）

（2）1、2两根绝缘细线的拉力大小分别为（）

A．

，

B．

，

C．

，

D．

，

解析：

（1）若完全用隔离法分析，那么很难通过对甲球的分析来确定上边细绳的位置，好像A、B、C都是可能的，只有D不可能．用整体法分析，把两个小球看作一个整体，此整体受到的外力为竖直向下的重力2mg，水平向左的电场力qE（甲受到的）、水平向右的电场力qE（乙受到的）和上边细绳的拉力；两电场力相互抵消，则绳1的拉力一定与重力（2mg）等大反向，即绳1一定竖直，显然只有A、D可能对．

再用隔离法，分析乙球受力的情况．乙球受到向下的重力mg，水平向右的电场力qE，绳2的拉力F2，甲对乙的吸引力F引．要使得乙球平衡，绳2必须倾斜，如图2所示．故应选A．

（2）由上面用整体法的分析，绳1对甲的拉力F1=2mg．由乙球的受力图可知

因此有

应选D

针对训练

1．把重20N的物体放在倾角为30°的粗糙斜面上，物体右端与固定在斜面上的轻弹簧相连接，如图所示，若物体与斜面间的最大静摩擦力为12N，则弹簧的弹力为（）

A．可以是22N，方向沿斜面向上

B．可以是2N．方向沿斜面向上

C．可以是2N，方向沿斜面向下

D．可能为零

2两个物体A和B，质量分别为M和m，用跨过定滑轮的轻绳相连，A静止于水平地面上，如图所示，不计摩擦力，A对绳的作用力的大小与地面对A的作用力的大小分别为（）

A．mg，（M－m）g

B．mg，Mg

C．（M－m）g，Mg

D．（M+m）g，（M－m）g

3如图所示，当倾角为45°时物体m处于静止状态，当倾角θ再增大一些，物体m仍然静止（绳子质量、滑轮摩擦不计）下列说法正确的是（）

A．绳子受的拉力增大

B．物林m对斜面的正压力减小

C．物体m受到的静摩擦力可能增大

D．物体m受到的静摩擦力可能减小

4．如图所示，两光滑硬杆AOB成θ角，在两杆上各套上轻环P、Q，两环用细绳相连，现用恒力F沿OB方向拉环Q，当两环稳定时细绳拉力为（）

A．Fsinθ

B．F/sinθ

C．Fcosθ

D．F/cosθ

5．如图所示，一个本块A放在长木板B上，长木板B放在水平地面上．在恒力F作用下，长木板B以速度v匀速运动，水平弹簧秤的示数为T．下列关于摩擦力的说法正确的是（）

A．木块A受到的滑动摩擦力的大小等于T

B．木块A受到的静摩擦力的大小等于T

C．若长木板B以2v的速度匀速运动时，木块A受到的摩擦力大小等于2T

D．若用2F的力作用在长木板上，木块A受到的摩擦力的大小等于T

6．如图所示，玻璃管内活塞P下方封闭着空气，P上有细线系住，线上端悬于O点，P的上方有高h的水银柱，如不计水银、活塞P与玻璃管的摩擦，大气压强为p0保持不变，则当气体温度升高时（水银不溢出）（）

A．管内空气压强恒为（p0十ρgh）（ρ为水银密度）

B．管内空气压强将升高

C．细线上的拉力将减小

D．玻璃管位置降低

7．如图（甲）所示，将一条轻而柔软的细绳一端拴在天花板上的A点．另一端拴在竖直墙上的B点，A和B到O点的距离相等，绳的长度是OA的两倍。

图（乙）所示为一质量可忽略的动滑轮K，滑轮下悬挂一质量为m的重物，设摩擦力可忽略，现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？

8．长L的绳子，一端拴着半径为r，重为G的球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面的A点上，如图所示，试求绳子中的张力

参考答案：

1．ABCD2．A3．BCD4．B5．AD6．D

7．

8．

6．绳中张力问题的求解

【例11】重G的均匀绳两端悬于水平天花板上的A、B两点。

静止时绳两端的切线方向与天花板成α角。

求绳的A端所受拉力F1和绳中点C处的张力F2。

F2

解：

以AC段绳为研究对象，根据判定定理，虽然AC所受的三个力分别作用在不同的点（如图中的A、C、P点），但它们必为共点力。

设它们延长线的交点为O，用平行四边形定则作图可得：