第二章 投影基础.docx

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第二章投影基础

第二章点、直线、平面的投影

§2.1投影法的基本概念

一、投影法的基本知识

物体在光线照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。

人们根据这种自然现象加以抽象研究，总结其中规律，提出投影的方法。

如图2－1所示，有一平面P以及不在该平面上的点S，需作出点A在平面P上的图象。

过点S和点A连一直线，作出SA与平面的交点a，交点即点A的图象。

点a称为点A在P平面上的投影。

点S称为投射中心，平面P称为投影面，直线SAa称为投射线。

这种产生图象的方法称为投影法。

图2－1投影法图2－2中心投影法

投影法可分为中心投影法和平行投影法两类。

1．中心投影法

如图2－2所示，从投射中心S引出三根投射线分别过△ABC的三个顶点与投影面P相交于a、b、c；直线ab、bc、ca分别是直线AB、BC、CA的投影；△abc就是△ABC的投影。

这种投射线都通过投射中心的投影法称为中心投影法，所得的投影称为中心投影。

2．平行投影法

当投射中心与投影面的距离为无穷远时，则投射线相互平行。

这种投射线相互平行的投影法称为平行投影法。

按照平行投影法作出的投影称为平行投影，如图2－3所示。

（a）（b）

图2－3平行投影法

平行投影法按投射线与投影面相对位置的不同可分为斜投影法和正投影法两种。

（1）斜投影法投射线与投影面相倾斜的平行投影法称为斜投影法，如图2－3a所示，由此法所得的投影称为斜投影。

（2）正投影法投射线与投影面相垂直的平行投影法称为正投影法，如图2－3b所示，由此法所得的投影称为正投影。

工程图样主要用正投影法来绘制，通常将“正投影”简称为“投影”

§2.2点的投影

任何立体都可以看作是点的集合。

点是基本几何要素，研究点的投影性质和规律是掌握其他几何要素投影的基础。

图2-4点的投影

如图2－4所示，过空间点A向投影面作投射线（即垂线），与投影面的交点即为A点在投影面上的投影a。

反之，若已知投影a，从点a所作投影面的垂线上的各点（如A、A0等）的投影都位于a，就不能唯一确定点A的空间位置。

因此，确定一个空间点至少需要两个投影。

在工程制图中通常选取相互垂直的两个或多个平面作为投影面，向这些投影面作投影，形成多面正投影。

……

一、点在两投影面体系中的投影

图2－5两投影面体系的建立

1．两投影面体系的建立

如图2－5所示为空间两个互相垂直的投影面，处于正面直立位置的投影面称为正立投影面，用大写字母V表示，简称正面或V面；处于水平位置的投影面称为水平投影面，用大写字母H表示，简称水平面或H面；V面与H面的交线称为投影轴，用OX表示。

两个投影面把空间分成四个分角，分别称为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分角。

2．点的两面投影

下面我们研究点在第一分角内的投影。

如图2－6a所示，过空间点A向H面作垂线，其垂足就是点A在H面上的水平投影，用a表示；由点A向V面作垂线，其垂足就是点A在V面上的正面投影，用a′表示。

通常用大写字母表示空间的几何元素，用相应的小写字母表示其水平投影，用相应的小写字母加一撇表示其正面投影。

（a）（b）（c）

2－6点在第一分角的投影

（

投影线Aa和Aa′决定的平面必然分别与V面和H面垂直，并与OX轴交于一点ax，Aaaxa′是一个矩形，OX轴垂直于该矩形平面。

所以，axa′⊥OX，axa⊥OX，且a′ax＝Aa，aax＝a′A，即点A的正面投影a′到投影轴OX的距离，等于点A到H面的距离；点A的水平面投影a到投影轴OX的距离，等于点A到V面的距离。

现将H面绕OX轴向下旋转90º与V面处于同一平面，点A的水平投影a也跟着旋转，水平投影a与正面投影a′也处于同一平面，如图2－6b所示，这样就得到了点的两面投影图。

由于在同一平面上，过OX轴上的点ax作OX轴的垂线只有一条，所以a′axa共线，即a′a⊥OX，a′a称为投影连线（用细实线绘制）。

投影面可根据需要扩大，通常不必画出投影面的边界，如图2－6c所示即为点的两面投影图。

反之，已知点A的两面投影图，就可确定空间点的位置。

如图2－6c中，可以想象，将OX轴以上的V面保持直立位置，将OX轴以下的H面绕OX轴向上转90º呈水平位置，再分别从a、a′作H面、V面的垂线，两条垂线的交点即为空间点A的空间位置。

由前面的讨论可概括出点在两投影面体系中的投影规律：

（1）点的投影连线垂直于投影轴，即aa′⊥OX。

（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相邻投影面的距离，即aax＝Aa′、a′ax＝Aa。

二、点在三投影面体系中的投影

由前述可知，两投影面体系已能唯一地确定点的空间位置，但为了进一步研究和表达其他几何元素，往往还需画出三面投影图。

1.三投影面体系的建立

（a）（b）（c）

图2－7点在三投影面体系中的投影

如图2－7a所示，如在两投影面体系上再加上一个与H、V面均垂直的投影面，该投影面称为侧立投影面，以W表示，简称侧面或W面，这样三个互相垂直的H、V、W面就组成一个三投影面体系。

V、W面的交线为投影轴OZ；H、W面的交线为投影轴OY，三根投影轴的交点为原点O，同时，三根投影轴OX、OY、OZ必定相互垂直。

2.点的三面投影

如图2－7a所示空间点A，分别向H、V、W面进行投影得a、a′、a″，a″称为点A的侧面投影。

通常，用相应小写字母加上两撇来表示侧面投影。

如图2－7b所示，沿OY轴分开H面和W面，V面保持正立，H面向下转，W面向右转，使三个投影面处在一个平面内，即得点的三面投影图。

其中OY轴随H面旋转后，以OYH表示；随W面旋转后以OYW表示。

并且存在下述关系：

aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW，OaYH=OaYW。

通常在投影图中只画出其投影轴，不画出投影面的边界，另外，为了作图方便，可用450辅助线，aaYH、a″aYW的延长线必与这条辅助线交于一点，如图2－7c所示。

3.点的直角坐标和投影规律

若将三投影面体系看作直角坐标系，则投影面为坐标面，投影轴为坐标轴，这时点O即为坐标原点，如图2－7a所示。

规定OX轴从点O向左为正，OY轴从点O向前为正，OZ轴从点O向上为正。

反之为负。

从图2－7a可得点A（xA、yA、zA）的投影与坐标有下述关系：

xA（OaX）＝aZa′＝aYHa＝a″A（点到W面的距离）；

yA（OaY）＝＝aXa＝aZa″＝a′A（点到V面的距离）；

zA（OaZ）＝aXa′＝aYWa″＝aA（点到H面的距离）。

根据以上分析，可以得到点在三投影面体系中的投影规律：

（1）点的投影连线垂直于相应的投影轴。

即a′a⊥OX、a′a″⊥OZ和aaYH⊥OYH、a″aYW⊥OYW。

（2）点的投影到投影轴的距离等于点的一个坐标，也就是该点与对应投影轴的相邻投影面的距离。

图2－8已知点的两面投影求其第三投影

因此，若已知点的坐标（x，y，z），就可以画出该点的投影图。

因每一投影反映点的两个坐标值，所以只要已知点的两面投影就可以知道点的三个坐标（x，y，z），也就可以画出点的第三投影。

【例题一】已知点A的正面投影a′和水平投影a,求A的侧面投影a″（图2－8）。

（一）分析

由于已知点A的正面投影和水平投影，则A点的空间位置可以确定，因此可作出其侧面投影。

（二）作图

过a作OYH的垂线与45º辅助线相交，过交点作OYW的垂线与过a′的水平线相交，交点即为a″。

【例题二】已知点A的坐标（20，0，10）；点B的坐标（30，10，0）；点C的坐标（15，0，0），求作各点的三面投影图（图2－9）。

图2－9根据点的坐标作出投影

（一）分析

由于yA＝0，则点A在V面上，而zB＝0，点B在H面上，又由于yC=0，zC=0，点C在OX轴上。

（二）作图

点A的投影：

从O分别沿X、Z轴上量取OaX=xA=20，OaZ=zA=10，然后从aX、aZ作出所在轴的投影连线，相交决定a′，由于yA＝0，所以A点与a′重合；a与aX重合；a″与az重合。

点B的投影：

从O分别沿X、Y轴上量取ObX=xB=30，ObYH=ObYW=yB=10，然后由bX、bYH作出所在轴的投影连线，相交得b点，由于zB=0，所以B点与b重合，b′与bX重合，b″与bYW重合。

点C的投影：

从O点在X轴上量取OcX=xC=15，由于yC=0，zC=0，所以点C与c′、c、cX都重合，c″与原点O重合。

三、两点的相对位置

两点的投影沿上下、前后、左右三个方向所反映的坐标差，即这位两个点对H、V、W的距离差，能确定两点的相对位置；反之，若已知两点的相对位置以及其中一个点的投影，也能确定另一个点的投影。

已知空间两点A、B，在投影图中判断其相对位置如图2－10所示：

1.b′在a′的上方（或b″在a″的上方），即zB＞zA，表示点B在点A的上方，两点的上下距离由z坐标差|zB－zA|确定；

2.b在a的下方（或b″在a″的右方），即yB＞yA，表示点B在点A的前方，两点的前后距离由y坐标差|yB－yA|确定；

3.b′在a′的右方（或b在a的右方），xB＞yA即，表示点B在点A的右边，两点的左右距离由x坐标差|xB－xA|确定。

在判别相对位置的过程中还应该注意：

对水平投影而言，由ＯYH轴向下就代表向前；对侧面投影而言，由ＯYW轴向右也代表向前。

（a）（b）

图2－10两点的相对位置

四、重影点

（a）（b）

图2－11重影点的投影

当两点的某两个坐标相同时，该两点将处于同一投射线上，因而在由相同两坐标确定的投影面上具有重合的投影，则这两投影称为对该投影面的重影点。

如图2－11所示的C、D两点，其中xC=xD，zC=zD，因此，它们的正面投影c′和d′重影为一点，由于yC＞yD，所以从前面向后看时点C是可见的，点D是不可见的。

通常规定把不可见的点的投影打上括弧，如（d′）。

又如C、E两点，其中xC=xE，yC=yE，因此，它们的水平投影（c）、e重影为一点，由于zE＞zC，所以从上面向下看时点E是可见的，点C是不可见的。

再如C、F两点，其中yC=yF，zC=zF，它们的侧面投影c″、（f″）重影为一点，由于xC＞xF，所以从左面向右看时，点C是可见的，点F是不可见的。

由此可见，对正投影面、水平投影面、侧投影面的重影点，它们的可见性应分别是前遮后、上遮下、左遮右。

§2.３直线的投影

空间一直线的投影可由直线上两点（通常取线段两个端点）的同面投影来确定，如图2－12所示，求作直线的三面投影图时，可分别作出两端点的投影（a、a′、a″），（b、b′、b″），然后将其同面投影连接起来（用粗实线绘制）即得直线AB的三面投影图（ab、a′b′、a″b″）。

（a）（b）（c）

图2－12直线的投影

当直线与投影面垂直时，直线在该投影面上的投影就是直线与该投影面的交点。

直线上任一点的投影也重合在这一点上，这种投影性质称为积聚性。

一、直线对投影面的各种相对位置

根据直线在三投影面体系中的位置可将直线分为三类，即投影面平行线、投影面垂直线及一般位置直线。

前两类直线又称为特殊位置直线。

直线与水平投影面、正面投影面、侧面投影面的夹角，分别称为该直线对该投影面的倾角分别用α、β、γ表示（如图2－12a所示）。

1．投影面平行线

平行于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。

平行V面的直线称为正平线；平行于H面的直线称为水平线；平行于W面的直线称为侧平线。

在表3－1中分别列出正平线、水平线和侧平线的投影及其投影特性。

表2-1投影面平行线的投影特性

名称

正平线（AB∥V面）

水平线（AB∥H面）

侧平线（AB∥W面）

轴测图

投影图

投影特性

（1）a′b′反映实长，a′b′与OX、OZ的夹角分别反映角α、γ。

（2）ab∥OX，a″b″∥OZ，ab、a″b″均小于实长。

（1）ab反映实长，ab与OX、OYH的夹角分别反映角β、γ。

（2）a′b′∥OX，a″b″∥OYH，a′b′、a″b″均小于实长。

（1）a″b″反映实长，a″b″与OYW、OZ的夹角分别反映角α、β。

（2）a′b′∥OZ，ab∥OYW，ab、a′b′均小于实长。

从表2－1中可概括出投影面平行线的投影特性：

（1）在平行的投影面上的投影，反映实长；它与投影轴的夹角，分别反映直线对另两投影面的真实倾角。

（2）在另外两个投影面上的投影，分别平行于相应的投影轴，长度缩短。

2．投影面垂直线

垂直于一个投影面即与另外两个投影面都平行的直线称为投影面垂直线。

垂直V面的直线称为正垂线；垂直于H面的直线称为铅垂线；垂直于W面的直线称为侧垂线。

在表2－2中分别列出正垂线、铅垂线和侧垂线的投影及其投影特性。

表2-2投影面垂直线的投影特性

名称

正垂线（AB⊥V面）

铅垂线（AB⊥H面）

侧垂线（AB⊥W面）

轴测图

投影图

投影特性

（1）a′b′积聚为一点

（2）ab⊥OX，a″b″⊥OZ，ab、a″b″均反映实长。

（1）ab积聚为一点

（2）a′b′⊥OX，a″b″⊥OYW，a′b′、a″b″均反映实长。

（1）a″b″积聚为一点

（2）a′b′⊥OZ，ab⊥OYH，ab、a′b′均反映实长。

从表2－2中可概括出投影面垂直线的投影特性：

（1）在直线垂直的投影面上的投影，积聚成一点。

（2）在另外两个投影面上的投影，分别垂直于相应的投影轴，且反映实长。

3.一般位置直线

（1）一般位置直线的投影特性

与三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。

如图2－12a所示。

则直线的实长，投影长度和倾角之间的关系为：

ab=ABcosα；a′b′=ABcosβ；a″b″=ABcosγ

一般位置直线的α、β、γ都大于0º小于90º，因此其三个投影长（ab、a′b′、a″b″）均小于实长。

一般位置直线的投影特性为：

1）三个投影都与投影轴倾斜，长度都小于实长；

2）与投影轴的夹角都不反映直线对投影面的倾角。

二、直线上的点

点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，且点分直线段长度之比等于其投影分直线段投影长度之比。

反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则该点一定在直线上。

如图2－13所示直线AB上有一点C，则点C的三面投影c、c′、c″必定分别在直线AB的同面投影ab、a′b′、a″b″上，且有AC：

CB＝ac：

cb＝a′c′：

c′b′＝a″c″：

c″b″。

（a）（b）

图2－13直线上点的投影

【例题二】已知线段AB的投影，试将AB分成2：

3两段，求分点C的投影（图2－14）。

图2－14求AB上的分点C

（一）分析

根据直线上点的投影特性，可先将线段AB的任一投影分为2：

3，从而得到分点C的一个投影，然后再作点C的另一投影。

（二）作图

（1）由a作任意线，在其上量取5个单位长度，得B0。

在aB0上量取C0，使aC0：

C0B0=2：

3。

（2）连接B0和b，作C0c//B0b，与ab交于c。

（3）由c作投影连线，与a′b′交于c′。

三、两直线的相对位置

空间两直线的相对位置关系有三种情况：

平行、相交、交叉（亦称异面）。

1．两直线平行

若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必定互相平行。

如图2－15所示，由于AB//CD，则ab//cd，a′b′//c′d′,a″b″//c″d″。

反之，如果两直线同面投影都互相平行，则两直线在空间必定互相平行。

（a）（b）

图2－15平行两直线的投影

若空间两直线相互平行，则该两线段长度比相于其投影比。

如图2－15所示，由于AB//CD，则AB：

CD=ab：

cd=a′b′：

c′d′=a″b″：

c″d″.

对于一般位置直线，若有两组同面投影相互平行，则空间两直线相互平行。

若直线为投影面的平行线，则要根据直线所平行的投影面上的投影是否平行来断定它们在空间是否是相互平行。

2．相交两直线

（a）（b）

图2－16相交两直线的投影

空间两直线若相交，它们的同面投影必定相交，且两直线的交点的投影必定为两直线投影的交点。

如图2－16所示，由于AB与CD相交，交点为K，则ab与cd、a′b′与c′d′a″b″与c″d″必定分别交于k、k′、k″，且符合交点K的投影规律。

反之，两直线在投影图上的各组同面投影都相交，且各组投影的交点符合空间一点的投影规律，则两直线在空间必定相交。

在一般情况下，若两组同面投影都相交，且两投影交点符合点的投影规律，则空间两直线相交。

但若两直线中有一直线为投影面平行面时，则两组同面投影中必须包括直线所平行的投影面上的投影。

3．交叉两直线

（a）（b）（c）

图2－17交叉两直线的投影

既不平行又不相交的两直线称为交叉两直线。

交叉两直线的投影可能会有一组或二组是互相平行，但决不会三组同面投影都互相平行，如图2－17所示。

交叉两直线的投影也可能是相交的，但各个投影的交点一定不符合同一点的投影规律，如图2－18所示。

对两组投影都相交的两直线，若其中有一直线为投影面平行线时，则可检查两直线在第三个投影面上的交点是否符合点的投影规律，如图2－18c所示，AB为侧平线，而a″b″与c″d″的交点与其他两投影面投影的交点不符合同一点的投影规律，故AB、CD为交叉两直线。

（a）（b）（c）

图2－18求交叉两直线同面投影的重影点的投影

交叉两直线在同一投影面上的交点为对该投影面的一对重影点，可从另一投影中用前遮后、上遮下、左遮右的原则来判别它们的可见性。

如图2－18b所示，对a′b′与c′d′的交点，可从水平投影中看出：

AB上的Ⅲ点在前，CD上的Ⅳ点在后，所以3′可见，4′不可见。

同理可分析ab与cd的交点的可见性。

【例题三】判断两侧平线AB、CD的相对位置（图2－19a）。

（a）（b）（c）（d）

图2－19判断两直线的相对位置

方法一（图2－19b）

根据AB、CD的V、W投影作出其W面投影，若a″b″//c″d″，则AB//CD；反之，则AB和CD交叉。

按作图结果可判断AB//CD。

方法二（图2－19c）

（一）分析

分别连接A和D、B和C，若AD、BC相交，则A、B、C、D四点共面，故AB//CD；反之，若AD、BC交叉，则A、B、C、D四点不共面，则AB和CD交叉。

（二）作图

连接a′d′、b′c′得交点k′,连接ad、bc得交点k，因k′k⊥OX，则AD、BC相交，故AB//CD。

方法三（图2－19d）

（一）分析

如两侧平线为平行两直线，则两直线的各同面投影长度比相等，但须注意，仅仅各同面投影长度比相等，还不能说明两直线一定平行，因为与V面、H面成相同倾角的侧平线可以有两个方向，它们能得到同样比例的投影长度，所以还必须检验两直线是否同方向。

（二）作图

从投影图上可以看出AB、CD两直线是同方向的。

在a′b′上取1，使a′1=c′d′，过a′作任意辅助线，并在该辅助线上取点2，使a′2=cd，取点3使a′3=ab，连接21和3b′。

因为21//3b′，所以有ab：

cd＝a′b′：

c′d′，则AB//CD。

【例题四】已知直线AB、CD的两面投影和点E的水平投影e，求作直线EF与CD平行，并与AB相交于点F（图2－20a）

（a）（b）

图2－20求作直线与一直线平行且与另一直线相交

如图2－20b，因所求直线EF//CD，故先过e作ef//cd；又因EF与AB相交，故ef与ab的交点f即为点F的水平投影；并按点的投影规律在a′b′上求得f′；然后从f′作f′e′//c′d′，使e′在过e的投影连线上。

ef和e′f′即为所求。

§2.4平面的投影

一、平面的表示法

1．用几何元素表示平面

由初等几何学可知，下列几何元素组都可以决定平面在空间的位置。

（1）不在同一直线上的三点；

（2）一直线和该直线外一点；

（3）相交两直线；

（4）平行两直线；

（5）任意平面图形。

（a）（b）（c）（d）（e）

图2－21平面在投影图上的表示方法

如图2－21所示，同一平面的表示方式是多种多样的，而且是可以相互转换的。

从图中看出，不在同一直线上的三点是决定平面位置最基本的几何元素。

2．用迹线表示平面

（a）（b）

图2－22平面的迹线表示

除了用几何元素表示平面外，有时也利用平面与投影面的交线（即平面的迹线）来表示平面。

图2－22中，平面P与H面的交线称为水平迹线，以PH表示；与V面的交线称为正面迹线，以PV表示；与W面的交线称为侧面迹线，以PW表示。

因为三平面相交时，一般情况下交于一点，故相邻的迹线若不平行，就必交于相应的投影轴上的一点，如PX、PY、PZ，这些称为迹线集合点。

由于迹线在投影面上，因此迹线在此投影面上的投影必定与其本身重合，并用迹线符号标记，即在投影图上直接用PV标记正面迹线的正面投影；用PH标记水平迹线的水平投影；用PW标记侧面迹线的侧面投影。

该迹线的另两个投影与相应的投影轴重合，一般不再标记。

二、平面对投影面的各种相对位置

根据平面在三投影面体系中的位置可分为：

投影面垂直面、投影面平行面和一般位置平面。

前两类平面又称为特殊位置平面。

平面与投影面H、V、W的两面角，分别称为平面对该投影面的倾角，分别用α、β、γ表示。

1．投影面垂直面

垂直于一个投影面与另外两个投影面都倾斜的平面称为投影面垂直面。

垂直于V面的平面称为正垂面；垂直于H面的平面称为铅垂面；垂直于W面的平面称为侧垂面。

表2－3中分别列出了铅垂面、正垂面和侧垂面（非迹线平面和迹线平面）的投影及其投影特性。

从表2－3可以概括出投影面垂直面的投影特性为：

（1）在所垂直的投影面上的投影，积聚成直线；积聚性的投影与投影轴的夹角，分别反映平面对另两个投影面的的倾角。

（2）在另外两投影面上的投影均为类似形。

表2－3投影面垂直面的投影特性

名称

铅垂面

（△ABC或P⊥H面）

正垂面

（△ABC或P⊥V面）

侧垂面

（△ABC或P⊥W面）

非迹线平面

轴测图

投影图

投影特性

（1）abc积聚为一直线。

它与OX、OYH的夹角分别反映β、γ角。

（2）△a′b′c′、△a″b″c″为类似形。

（1）a′b′c′积聚为一直线。

它与OX、OZ的夹角分别反映α、γ角。

（2）△abc、△a″b″c″为类似形。

（1）a″b″c″积聚为一直线。

它与OYW、OZ的夹角分别反映α、β角。

（2）△a′b′c、△abc为类似形。

迹线平面

轴测图

投影图

投影特性

（1）PH有积聚性。

它与OX、OYH的夹角分别反映β、γ角。

（2）PV⊥OX、PW⊥OYW。

（1）PV有积聚性。

它与OX、OZ的夹角分别反映α、γ角。

（2）PH⊥OX、PW⊥OZ。

（1）PW有积聚性。

它与OYW、OZ的夹角分别反映α、β角。

（2）PV⊥OZ、PH⊥OYH。

2．投影面平行面

平行于一个投影面即同时垂直于其他两个投影面的平面称为投影面平行面。

平行于H面的称为水平面；平行于V面的称为正平面；平行于W面的称为侧平面。

在表2－4中分别列出水平面、正平面和侧平面（非迹线平面和迹线平面）的投影及其投影特性。

表2－4投影面平行面的投影特性

名称

水平面

（△ABC或P∥H面）

正平面

（△ABC或P∥V面）