第12讲 对称性问题解析版.docx

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第12讲对称性问题解析版

第12讲对称性问题

一、考情分析

通过近几年各地高考试题可以发现,对对称性问题的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题.

二、经验分享

1.对于圆锥曲线的相交的动点问题，设出交点，由交点（或韦达定理）结合条件解决问题，在求解过程中、数形结合是常用的打开思路的方式、形是引路、数是依据、二者联手，解决问题就易如反掌、设面不求、灵活消参是常用的策略。

2.中点弦问题（点差法）的呈现有多种形式，处理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形式转化，常规的思路是:

联立方程组消去成y,得到一个二次方程，设交点，韦达定理代人垂直的数量积坐标公式整理求解。

3.涉及弦长要注意圆的几何性质的应用。

三、题型分析

（一）中点弦问题（点差法）

例1．已知椭圆

x2＋y2＝1（a>b>0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标

a2b2

为（1，－1），则E的方程为

A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1C．x2＋y2＝1D．x2

y21

4536

3627

2718

＋＝

189

【答案】D

【解析】设A（x1,y1）,B（x2,y2），则x1+x2=2，y1+y2=－2，

x2y2x2y2

1+1=1①2+2=1②

a2b2a2b2

①－②得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，

y-y

a2

b2（x

b2

+x）b2

0+11

b21

22222

∴kAB=12=-12=

，又kAB=

=，∴

=，又9=c=a

-b，解得b=9，a=18，

x-xa2（y+y）a2

3-12

a22

12

+=

x2y2

∴椭圆方程为

189

12

1，故选D.

【变式训练1】过点M（1,1）作斜率为-1的直线与椭圆C：

x

y2

+

2

=1（a>b>0）相交于A,B两点，若M

2

是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．

a2b2

2

【答案】

2

【解析】设A（x1,y1），B（x2,y2），分别代入椭圆方程相减得

（x1-x2）（x1+x2）+（y1-y2）（y1+y2）=0，根据题意有x+x

=2,y+y

=2，

a2

且y1-y2

=-1，所以2

b21212

+2⨯（-1）=0，得a2=2b2，整理a2=2c2，

x-x2a2b22

12

2

所以e=．

2

【变式训练2】（2011陕西）设椭圆C:

x2+y2=1（a>b>0）过点（0，4），离心率为3

a2b25

（Ⅰ）求C的方程；

4

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为

5

的直线被C所截线段的中点坐标．

【解析】（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得16=1，∴b=4

b2

c3a2-b29

又e==得=

a5

即1-16=9

a225

a225

，∴a=5

+=

x2y2

∴C的方程为1．

2516

（Ⅱ）过点（3,0）且斜率为4

5

的直线方程为y=

4（x-3），

5

设直线与Ｃ的交点为A（x1,y1），B（x2,y2），

将直线方程y=

4（x-3）代入C的方程，得x

x-32

（）

+=1，

2

2

52525

即x2-3x-8=0，解得x

=3-

1

2

41，x

=3+41，

2

∴AB的中点坐标x=x1+x2=3，

22

25

⎝⎭

y=y1+y2=2（x+x-6）=-6，即中点为⎛3,-6⎫．

25125ç⎪

（二）点关于直线对称

+

2

2

2

2

例2．（2015安徽）设椭圆E的方程为xy=1（a>b>0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），

ab

点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足BM

（Ⅰ）求E的离心率e；

=2MA，直线OM的斜率为5．

10

（Ⅱ）设点C的坐标为（0，-b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为7，求E

2

的方程．

21

【解析】

（1）由题设条件知，点M的坐标为（3a,3b），又kOM

=，从而b=

5

5

102a10

，进而得

a2-b2

c25

a=5b,c==2b，故e==．

a5

（2）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线AB的方程为

x+y=1，点N的坐标为（

5b

b

5b,-1b），

22

（x,）

设点N关于直线AB的对称点S的坐标为7，则线段NS的中点T的坐标为（5b+x1,-1b+7）．又

124244

⎪42

⎧5b+x1

⎪

-1b+7

+44=1

⎪

点T在直线AB上，且kNS⋅kAB=-1,从而有⎨

⎪

5

⎩

2

⎪

5bb

7+1b

5

5b

22=

，解得b=3，所以b=3，

故椭圆E的方程为

x2y2

+=

1．

459

⎪⎪x1-

2

【变式训练1】已知椭圆C：

x2+y2=1（a>b>0）的离心率为

，点P（0，1）和点

a2b22

A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．

（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；

（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：

y轴上是否存在点Q，使得

∠OQM=∠ONQ？

若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

⎧b=1,

⎪

⎪c2

a

【解析】（Ⅰ）由题意得⎨=

⎪2

解得a2=2．故椭圆C的方程为x

2

2

+y2=1．

⎪⎩a2=b2+c2.

设M（xN，0）．因为m≠0，所以-1

直线PA的方程为y-1=

n-1x，

m

所以x=m

，即M（m,0）．

M1-n

1-n

m

（Ⅱ）因为点B与点A关于x轴对称，所以B（m,-n），设N（xN,0），则xN=1+n．

“存在点Q（0,yQ）使得∠OQM=∠ONQ等价”，

“存在点Q（0,y

）使得

=”即y满足y

2=xx．

OM

OQ

OQ

ON

QQQMN

mmm22

因为xM

=1-n，xN=1+n，2+n

=1，

2

所以yQ=xMxN

m2

==

1-n22．

2

2

所以yQ=或yQ=-．

故在y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ．

点Q的坐标为（0,2）或（0,-

2）．

（三）圆锥曲线的光学性质

例3.从P（-

3,4）

出发的一条光线经x轴反射后经过椭圆x

2+y2=

4

1的上顶点，以该椭圆的右顶点A为圆心，

r（r>0）为半径的圆与反射光线没有公共点则r的取值范围为.

⎛45⎫

5

【答案】ç0，⎪

⎝⎭

【解析】由已知，P（-3,4）关于x轴的对称点P'（-3,-4）在反射光线所在直线上，又椭圆的上顶点为B（0,2），所以反射光线所在的直线方程P'B为：

2x-y+2=0；又以右顶点A（1,0）为圆心，r为半径的圆A方程为：

222

4⎛45⎫

（x-1）+y=r，因为圆A与直线P'B无公共点，则r<

，所以r的取值范围为ç0，⎪。

5⎝5⎭

【变式训练1】.从P（-

3,4）

出发的一条光线经x轴反射后经过椭圆x

2+y2=

4

1的上顶点，以该椭圆的右顶

点A为圆心，r（r>0）为半径的圆与反射光线没有公共点则r的取值范围为.

⎛45⎫

5

【答案】ç0，⎪

⎝⎭

【解析】由已知，P（-3,4）关于x轴的对称点P'（-3,-4）在反射光线所在直线上，又椭圆的上顶点为B（0,2），所以反射光线所在的直线方程P'B为：

2x-y+2=0；又以右顶点A（1,0）为圆心，r为半径的圆A方程为：

222

4⎛45⎫

（x-1）+y=r，因为圆A与直线P'B无公共点，则r<

，所以r的取值范围为ç0，⎪。

5⎝5⎭

四、迁移应用

1.

2

若一个圆x2+y2-4x-4y-24=0上至少有三个不同的点到直线l:

y=x+b的距离为2

则b的取

值范围是（）

A.[-1,1]

B.[-4,4]

C.[-8,8]

D.[2,+∞）

【答案】B

2

，

【解析】圆x2+y2-4x-4y-24=0⇒（x-2）2+（y-2）2=32所以圆心和半径分别为（2,2）、4

2

要求圆上至少有三个不同的点到直线l:

y=x+b的距离为2

b

2

2

则圆心到直线的距离d=≤2

⇒-4≤b≤4，故选:

B.

-x2+4x

2.若曲线y=和直线l:

y=kx+4-4k有两个交点,则实数k的取值范围是（）

3

A.（,1）

4

3

B.（,1]

4

C.（,+∞）4

D.[1,+∞）

3

【答案】B

-x2+4x

【解析】由题意可得，直线l过点定点P（4,4），y=⇒（x-2）2+y2=4（y≥0）相切时圆心（2,0）

4-2k

k2+1

到直线l的距离d==2⇒k=3，直线l过坐标原点时k=1，因此3

B.

44

3.已知∆ABC是边长为2的正三角形，P是平面ABC内一点，则PA⋅（PB+PC）的最小值是（）

A.-2

【答案】B

B.

-3

2

C.

-4

3

D.

-1

【解析】以BC所在的直线为x轴，以BC边上的高所在在直线为y轴建立平面直角坐标系，则

A（0,

3）,B（-1,0）,C（1,0）,设P（x,y），则PB+PC=（-2x,-2y）,PA=（-x,

-y）,

3

∴PA⋅（PB+PC）=2x2+2y2-2

⎛⎫

2

3

2

-

3

3y=2x+2çy-⎪

⎝2⎭2

当x=0,y=3时，PA⋅（PB+PC）取得最小值-3。

故选B.

22

2

4.已知双曲线C：

x

a2

-

y2b2

=1（a>0,b>0）的右顶点为A，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于

两点P,Q,若∠PAQ=60o，且OQ=3OP（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）

A.72

B.

37C.

7

D.2

7

7

【答案】A

b

【解析】设双曲线的一条渐近线方程为y=

（）⎛bm⎫（m>0），由OQ=3OP，可得

x,Aa,0,Pçm,⎪

a⎝a⎭

4m+

2

4b2m2

a2

⎛3bm⎫c⎛2bm⎫

Qç3m,

⎝

⎪，圆的半径R=PQ=

a⎭

=2m⋅，PQ的中点为Hç2m,

a⎝

⎪，由AH⊥PQ,

a⎭

2bm

可得

=-a

，解得：

m=

a,R=a

ab

d=

，点A到渐近线的距离=

ab,则

a（2m-a）b

3

2

2c2c

a2+b2c

R2-d2

PQ=2

=R,即d=

R,即有ab=

3

2c

⋅a2

3

2c

⇒b=

a

，解得e=

3

2

。

故选A。

7

2

1y2+x2

=>>

5．已知离心率为2的椭圆a2

b21（ab

0）内有一个内接三角形ABC，O为坐标原点，边AB、BC、

AC的中点分别为D、E、F，直线AB、BC、AC的斜率分别为k1,k2,k3，且均不为0，若直线OD、OE、

OF斜率之和为1，则1+1+

k1k2

1=（）

k3

A.-43

B.43

C.-34

D.34

【答案】C

【解析】椭圆焦点在y轴上，由e=c=1

可得：

a2=4

a2b23

由题意可知：

k1k

=-a2=-4，KCDb23

2K

=-a2=-4，kkb3

=-a2=-4

OFb23

OE23

可得：

1+1+1

=-3（k+k+k）=-3

k1k2k3

4ODOEOF4

6．已知抛物线C：

y2=2px的焦点F与双曲线4x2-4y2=1的右焦点相同，过点F分别做两条直线l,l，

312

直线l1与抛物线C交于A,B两点，直线l2抛物线C交于D，E两点，若l1与l2斜率的平方和为1，则AB+DE

的最小值为（）

A、16B、20C、24D、32

【答案】：

C

【解析】由双曲线方程可得：

焦点坐标为（1,0）所以：

抛物线C：

y2=4x

12

设A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3），D（x4,y4）,其中：

k2+k2=1.L1：

y=k1（x-1），L2:

y=k2（x-1）

⎧⎪y=k1（x-1）44

1

由⎨

⎪⎩y

2=4x

可得：

k1x2-（2k1+4）x+k2=0所以：

x1+x2=2+2

k

12

1

同理：

x3+x4=2+

k22

k

2

|AB|+|DE|=2p+x1+x2+x3+x4=4+2+4

1

+2+4

k22

=8+4

12

k2k

2，则k2+k2=1≥2

k2k2

12

所以：

k2k

2≤1

故得（|AB|+|DE|）的最小值为24。

124

+

2

2

2

2

7.设椭圆E的方程为xy=1（a>b>0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为

ab

（0，b），点M在线段AB上，满足BM

=2MA，直线OM的斜率为．

5

10

（Ⅰ）求E的离心率e；

（Ⅱ）设点C的坐标为（0，-b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为7

2

5

5

的方程．

，求E

21

【解析】

（1）由题设条件知，点M的坐标为

，又k=，从而b

=，进而得

a=5b,c=

a2-b2

c25

=2b，故e==．

（a,b）

33

OM10

2a10

a5

（2）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线AB的方程为

x+=1，点N的坐标为（

5b

y

b

5b,-1b），

22

75x17

设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x,），则线段NS的中点T的坐标为（b+1,-b+）．又

124244

⎪42

⎧5b+x1

⎪

-1b+7

+44=1

⎪

点T在直线AB上，且kNS⋅kAB=-1,从而有⎨

⎪

5

⎪

5bb

7+1b

5

5b

22=

，解得b=3，所以b=3，

⎩

2

⎪⎪x1-

+=

2

2

故椭圆E的方程为xy1．

459

8．已知椭圆

x2+2

y

2

=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+1对称．

2

（Ⅰ）求实数m的取值范围；

（Ⅱ）求∆AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

【解析】（Ⅰ）由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y=-1x+b．

m

⎧y=-1x+b

由⎪m消去y，得（1+1）x2-2bx+b2-1=0．

⎨x2

2m2m

⎪+y2=1

⎩⎪2

因为直线y=-1

m

x+b与椭圆

x2+2

y

2

=1有两个不同的交点，

所以Δ=-2b2+2+4

m2

>0，①

2mbm2b

设M为AB的中点，则M（m2+2,m2

+2），

1m2+2

代入直线方程y=mx+解得b=-．②

22m2

6

6

由①②得m<-或m>．

33

（Ⅱ）令t=1∈（-6,0）（0,6），则

m22

|AB|=

t2+1⋅

t2+1

2

，

-2t4+2t2+3

2

2

t2+1

t2+1

且O到直线AB的距离d=．

设ΔAOB的面积为S（t），所以

1

2

-2（t2-1）2+2

2

S（t）=1|AB|⋅d=≤2，

22

当且仅当t2=1时，等号成立．

2

2

故ΔAOB面积的最大值为．

2

2

9．（2017天津）设椭圆x

a2

y21

+=1（a>b>0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为

b22

．已知A是抛物

线y2=2px（p>0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为1．

2

（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相

交于点D．若△APD的面积为6，求直线AP的方程．

2

【解析】（Ⅰ）设F的坐标为（-c,0）.依题意，c=1，p=a，a-c=1，解得a=1，c=1，p=2，

于是b2=a2-c2=3.

4

24y2

a2222

2

所以，椭圆的方程为x+=1，抛物线的方程为y

3

=4x.

2

（Ⅱ）设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），与直线l的方程x=-1联立，可得点P（-1,-

），故

m

224y2

Q（-1,）.将x=my+1与x+=1联立，消去x，

m

整理得（3m

2+4）y2

3

+6my=0，解得y=0，或y=

-6m

3m2+4.

-3m2+4

43m

2

由点B异于点A，可得点B（3m2+,

-6m）.

+4

2-6m2-3m2+42

由Q（-1,m），可得直线BQ的方程为（3m2+4

-）（x+1）-（

m

3m2+4

+1）（y-

）=0，令y=0，解得

m

2-3m2

x=3m2+2，

2-3m2

2-3m2

6m2

故D（,0）.所以|AD|=1-=.

3m2+23m2+23m2+2

6

6

16m22

又因为△APD的面积为

，故⨯⨯=，

223m2+2|m|2

6

整理得3m2-2

|m|+2=0，解得|m|=

，所以m=±6.

6

33

所以，直线AP的方程为3x+

6y-3=0，或3x-

6y-3=0.