不定积分方法的再思考.docx

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不定积分方法的再思考

不定积分方法的再思考

【摘要】不定积分是数学分析的一个重要方面，不定积分的方法有很多，常用的不定积分方法有“凑”微分法、换元积分法、分部积分法、有理函数积分法等[]；对某些无理函数的积分求解通常使用换元法。

这几种方法规定了不定积分方法的大方向，是进行不定积分的总原则。

通过分析不定积分计算教与学中的困难，提出老师和学生要注意的问题，并对几种常用方法作了分析。

能熟练掌握这些方法，可以卓有成效的解决复杂的数学难题。

【关键词】不定积分；分析；常用方法

引言：

学习不定积分的方法，重在提高自己的逻辑思考能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想与运算能力以及应用能力。

熟练掌握不定积分的方法对于学生的科学思维和文化素质的培养，所起的作用极为明显，随着社会进入信息时代，积分的语言已经渗透到各个领域，数学成了语言能达到的最高境界。

熟练掌握不定积分的各种方法，会使我们在今后的工作和研究中占有绝对明显的个人优势。

论文正文：

不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。

然而我们在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。

本文论述了我在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。

一、“凑”微分法

由于不定积分的概念少、基础理论少；公式多，计算多、方法性强、基础性强。

因此，我们必须弄清楚凑微分法的适用范围，虽然各种计算方法之间有一定的联系，但明白使用范围可以帮助我们快速的选择最有效的计算方法，从而达到事半功倍的效果。

我们知道，在不定积分的计算中，如果被积函数是复合函数，我们可以先考虑采用“凑”微分法，但是给定的积分怎么样进行“凑”微分，有时不易一眼看出，常需要将原积分进行化简、变形，直到看出怎么样“凑”微分为止。

这样可以把新旧知识紧紧联系起来，有助于学生弄清“凑”微分法的实质。

有些不定积分，将积分变量进行一定的变换后就能由基本积分公式求出所需积分。

例如求在基本积分公式中只有比较这两个积分，我们发现只是的幂次相差一个常数因子，因此，如果凑上一个常数因子2，试使成为

（1.1）

再令2x=u，那么上述积分就变为

（1.2）

右端积分在基础积分表中可以查到，然后再代回原来的变量x，就求得不定积分

（1.3）

例1、计算不定积分

解：

从被积函数可以看出，该函数是一个幂函数，而由积分基本公式得。

先靠上公式，由于被积函数是复合函数，其复合部分是。

因其复合部分是，而，所以：

从这个例子可以看到，求不定积分时，首先要与已知的积分公式相对比，并利用简单的变量代换，把要求的积分化成可利用基本积分公式的形式，求出以后，再把原来的变量代回。

这样既可以熟练的掌握基本公式、还可以更加快速的解决所要求的题目。

二、换元积分法

“凑”微分法实际上是一种简单的换元积分法，但是有些积分并不能很容易的凑出微分，而是一开始就要作代换，把要求的积分化简，然后再求出积分，这两种方法的基本思想是一致的，只是具体步骤上有所不同。

换元积分法主要是通过对所求积分进行化简。

常见的换元法有:

1、根式代换

如果被积函数中，含有因子，我们可以通过去掉根式，以便化简后的积分式能直接用积分基本公式，故选取要保证去掉根式。

例2：

求

解：

（分析：

所求积分含有根式，因此我们可以考虑用根式代换求解）

令，则有

2、三角代换

当出现，形式时，一般使用，，三种代换形式。

注意的使用[]。

例3、求

（1）、分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。

例4、被积函数上下同乘变形为

令，则为

（2）、只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系[]，注意的使用。

例5、求

解：

三角函数之间都存在着转换关系。

被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。

（3）、函数的降次[]

①形如积分（m，n为非负整数）

当m为奇数时，可令，于是

，

转化为多项式的积分

当n为奇数时，可令，于是

，

同样转化为多项式的积分。

当m，n均为偶数时，可反复利用下列三角公式：

不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。

②形如和的积分（n为正整数）

令，则，，从而

已转化成有理函数的积分。

类似地，可通过代换转为成有理函数的积分。

③形如和的积分（n为正整数）

当n为偶数时，若令，则，于是

已转化成多项式的积分。

类似地，可通过代换转化成有理函数的积分。

3、倒数代换

当积分表达式分母中自变量的幂较高于分子时，我们可以采用进行化简求解。

例6：

求

解：

（分析;所求积分的分母的次数大于分子的次数，因此我们考虑用倒数代换）

则有

三、分部积分法

分部积分法是求解积分时一种十分重要的方法，它可以求解一些利用直接积分法和换元积分法无法求解的问题。

运用此方法时关键在于u和dv的选取。

分部积分法是由两个函数乘积的微分运算推得的一种求积分的基本方法，主要是解决某些被积函数是两类不同函数乘积的不定积分。

1、分部积分法的基本步骤

分部积分公式或中的两个积分与成为互补积分，他们的和等于代数式。

如果互补积分中有一个能被求出，那么两一个也随之被计算出来。

因此，在积分计算中，当给定的积分不易计算时，就可以转而求它的补积分[]。

具体步骤是：

第一步将表示为或将表示为的形式；

第二步由与分别求出和；

第三步应用分部积分公式，将已知积分的计算转化为它的补积分的计算；

第四步计算补积分，写出最后结果。

例7：

求不定积分；

解：

因为已知积分用前面介绍的几种积分法均不能奏效，所以考虑用分部积分法

将表示为，即令

，

，

应用积分公式，得

；

计算补积分

，

对分部积分法熟悉之后，可以不必设出，只要心中有数，将解题步骤连贯起来顺序写出解题过程即可。

2、选取与的原则

分部积分的目的，是将较难计算的积分转化为容易计算的补积分，因此具体积分时，首先必须将给定的被积表达式恰当的分成与两部分，其原则当然是要使的原函数容易求得，且使新的积分能够简化。

例8：

计算下列积分：

解:

令，则得

；

；

把看成未知数，解出上列方程组。

得

；；

作为方程组的解，得到的是一个原函数，因为所求的是不定积分，故还需加上一个任意常数。

3、几点注意

（1）、比较复杂的积分，往往需要连续多次应用分部积分法才能求出结果。

（2）、某些被积函数的次数较高，虽然不能一下求得它的积分，但通过分部积分使之降次，得到一个递推公式，从而原则上求出了它。

（3）、有些积分，经若干次分部积分后，所求积分重复出现，即得到含有所求积分的方程，解此方程即得。

四、有理函数积分法

有理函数积分法主要分为两步：

1.化有理假分式为有理真分式；2.化有理真分式为部分分式之和。

有理假分式化为有理真分式的方法由我们已经掌握的代数学的方法可得，这里不做讨论[]。

1.有理真分式化为部分分式之和求解

（1）、简单的有理真分式的拆分

例9、求

解：

（2）、注意分子和分母在形式上的联系

例10、求

解：

此类题目一般还有另外一种题型：

例11、求

解：

2、注意分母（分子）有理化的使用

例12、求

解：

3、特殊题型

该类题目一般被积函数形式比较复杂，一般在竞赛中较常出现。

但在平时训练这些题型有助于提高数学的思维逻辑能力。

（1）、善于利用，因为其求导后不变。

例13、求

解：

这道题目中首先会注意到，因为其形式比较复杂。

但是可以发现其求导后为与分母差，另外因为求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以。

1.某些题正的不行倒着来

例14、求

解：

这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用，然而这样的换元方法是解不出本题的。

我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当这类一般的换元法行不通时尝试下。

这种思路类似于证明题中的反证法。

（3）、注意复杂部分求导后的导数

例15、

注意到:

本题把被积函数拆为三部分：

，的分子为分母的导数，的值为1，的分子为分母因式分解后的一部分。

此类题目出现的次数不多，一般在竞赛中出现。

4.对于型积分，考虑的符号来确定取不同的变换。

如果，设方程两个实根为，令

，

可使上述积分有理化。

如果，则方程没有实根，令

，

可使上述积分有理化。

此中情况下，还可以设

，

至于采用哪种替换，具体问题具体分析。

结论：

为什么不定积分可以有这么多的方法来解决问题，那是因为积分类型的多样造成的，对于一些简单的基本的不定积分，我们可以通过基础的积分公式直接进行求解，对于难以用基本积分公式的积分，我们有凑微分法、换元积分法以及分部积分法，对于某些特殊类型的不定积分，如一些有理函数和一些可以化为有理函数的不定积分，无论不定积分有多么复杂，我们都可以按照一定的步骤求解。

对于有理函数的不定积分，我们可以利用待定系数法把它拆分成一些分式的和，再按照基本积分公式求解；对于高阶的积分，我们可以运用多次分部积分法递推公式，也可以通过一些公式代换将它化成有理函数的不定积分，但是具体计算时，硬根据被积函数的特点而采用简单灵活的代换；一些无理根式的不定积分，可以运用换元法将其化成有理函数的不定积分，再按照有理函数的不定积分方法进行求解。