11 二次函数测试.docx
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11二次函数测试
考点一:
二次函数的定义
【考点分析】
1.二次函数的定义:
我们把形如
(其中
是常数,
≠0)的函数叫做二次函数.称
为二次项系数,
为一次项系数,
为常数项。
二次函数成立的两个条件:
次数最高为2次;
二次项系数不为0.
2.x与y的关系:
上面的形式,可以看成用含x的代数式表示出y;在已知a,b,c的值情况下,当已知x,可求出y的值
3.求二次项系数a或一次项系数b、常数项c:
要求a,b,c的几个,就要已知几组x,y的值,代入函数表达式,解方程或者解方程组求出系数和常数项即可。
4.题中若求y关于x的函数解析式,即把x当作已知数,把y当作未知数,用x的代数式表示出y即可。
【同步训练】
一、选择题
1.下列函数中y是x的二次函数的是( )
A.y=(x+1)(2x﹣1)﹣2x2B.y=
﹣2x+1
C.y=3x2﹣x+5D.y=ax2+bx+c
2.圆的面积公式S=πR2中,S与R之间的关系是( )
A.S是R的正比例函数B.S是R的一次函数
C.S是R的二次函数D.以上答案都不对
3.已知二次函数y=1﹣3x+5x2,则其二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是( )
A.a=1,b=﹣3,c=5B.a=1,b=3,c=5
C.a=5,b=3,c=1D.a=5,b=﹣3,c=1
4.已知x是实数,且满足(x﹣2)(x﹣3)
=0,则相应的函数y=x2+x+1的值为( )
A.13或3B.7或3
C.3D.13或7或3
5.对于y=ax2+bx+c,有以下四种说法,其中正确的是( )
A.当b=0时,二次函数是y=ax2+c
B.当c=0时,二次函数是y=ax2+bx
C.当a=0时,一次函数是y=bx+c
D.以上说法都不对
6.下列结论正确的是( )
A.y=ax2是二次函数
B.二次函数自变量的取值范围是所有实数
C.二次方程是二次函数的特例
D.二次函数自变量的取值范围是非零实数
7.如果函数y=(k﹣2)x
+kx+1是关于x的二次函数,那么k的值是( )
A.1或2B.0或2C.2D.0
8.在下列4个不同的情境中,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有( )
①设正方形的边长为x面积为y,则y与x有函数关系;
②x个球队参加比赛,每两个队之间比赛一场,则比赛的场次数y与x之间有函数关系;
③设正方体的棱长为x,表面积为y,则y与x有函数关系;
④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶,那么汽车行驶的里程y(km)与行驶时间x(h)有函数关系.
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.如果二次函数y=ax2+bx,当x=1时,y=2;当x=﹣1时,y=4,则a,b的值是( )
A.a=3,b=﹣1B.a=3,b=1
C.a=﹣3,b=1D.a=﹣3,b=﹣1
10.下表是变量x与y的一组对应值:
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
y
1
﹣0.5
﹣1
﹣0.5
1
3.5
从这组数据看,y与x的函数关系是( )
A.正比例函数B.常数项不为零的一次函数
C.二次函数D.反比例函数
11.若y=ax2+bx+c,则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( )
x
﹣1
0
1
ax2
1
ax2+bx+c
8
3
A.y=x2﹣4x+3B.y=x2﹣3x+4
C.y=x2﹣3x+3D.y=x2﹣4x+8
二、填空题
12.对于二次函数y=x2+3x﹣2,当x=﹣1时,y的值为 .
13.已知二次函数y=2﹣3x﹣x2,其中二次项系数a= ,一次项系数b= ,常数项系数c= .
14.当m= 时,函数y=(m2﹣4)
+(m﹣3)x+3是二次函数.
15.已知方程ax2+bx+cy=0(a,b,c是常数),请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式,则函数表达式为 ,成立的条件是 ,是 函数.
16.当m= 时,函数y=(m﹣1)x|m|+1是二次函数.
17.如图,正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上.若设AE=x,正方形EFGH的面积为y,则y与x的函数关系为 .
18.已知:
如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米,面积为S米2.则S与x的函数关系式 ;自变量的取值范围 .
三、解答题
19.下列函数哪些是二次函数?
并写出它们的二次项、一次项、常数项?
(1)3y=3(x﹣1)2+1
(2)y=﹣0.5(x﹣1)(x+4)
(3)s=3﹣2t2(4)y=2x(x2+3x﹣1)(5)y=1﹣
x2.
20.已知函数y=(9k2﹣1)x2+2kx+3是关于x的二次函数,求不等式
的解集.
21.判断
=
+2x是否为二次函数,并说明理由.
22.已知函数y=(m+3)
.
(1)当m为何值时,它是正比例函数?
(2)当m为何值时,它是反比例函数?
(3)当m为何值时,它是二次函数?
23.已知y与x2成正比例,且当x=3时,y=﹣18,写出y与x之间的函数解析式,它是二次函数吗?
24.设圆柱的高为6cm,底面半径为rcm,底面周长为Ccm,圆柱的体积为Vcm3.
(1)分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式;
(2)这三个函数中,哪些是二次函数?
【参考答案】
一、选择题
1.下列函数中y是x的二次函数的是( )
A.y=(x+1)(2x﹣1)﹣2x2B.y=
﹣2x+1
C.y=3x2﹣x+5D.y=ax2+bx+c
【解答】解:
A、不是二次函数,故此选项错误;
B、不是二次函数,故此选项错误;
C、是二次函数,故此选项正确;
D、当a=0时,不是二次函数,故此选项错误;
故选:
C.
2.圆的面积公式S=πR2中,S与R之间的关系是( )
A.S是R的正比例函数B.S是R的一次函数
C.S是R的二次函数D.以上答案都不对
【解答】解:
圆的面积公式S=πr2中,S和r之间的关系是二次函数关系,
故选C.
3.已知二次函数y=1﹣3x+5x2,则其二次项系数a,一次项系数b,常数项c分别是( )
A.a=1,b=﹣3,c=5B.a=1,b=3,c=5
C.a=5,b=3,c=1D.a=5,b=﹣3,c=1
【解答】解:
∵函数y=1﹣3x+5x2是二次函数,
∴a=5,b=﹣3,c=1.
故选D.
4.已知x是实数,且满足(x﹣2)(x﹣3)
=0,则相应的函数y=x2+x+1的值为( )
A.13或3B.7或3
C.3D.13或7或3
【解答】解:
∵(x﹣2)(x﹣3)
=0,
∴x≤1,
∴x=1,
当x=1,y=x2+x+1=1+1+1=3.
故选:
C.
5.对于y=ax2+bx+c,有以下四种说法,其中正确的是( )
A.当b=0时,二次函数是y=ax2+c
B.当c=0时,二次函数是y=ax2+bx
C.当a=0时,一次函数是y=bx+c
D.以上说法都不对
【解答】解:
A、当b=0,a≠0时.二次函数是y=ax2+c,故此选项错误;
B、当c=0,a≠0时,二次函数是y=ax2+bx,故此选项错误;
C、当a=0,b≠0时.一次函数是y=bx+c,故此选项错误;
D、以上说法都不对,故此选项正确;
故选D.
6.下列结论正确的是( )
A.y=ax2是二次函数
B.二次函数自变量的取值范围是所有实数
C.二次方程是二次函数的特例
D.二次函数自变量的取值范围是非零实数
【解答】解:
A、应强调a是常数,a≠0,错误;
B、二次函数解析式是整式,自变量可以取全体实数,正确;
C、二次方程不是二次函数,更不是二次函数的特例,错误;
D、二次函数的自变量取值有可能是零,如y=x2,当x=0时,y=0,错误.
故选B.
7.如果函数y=(k﹣2)x
+kx+1是关于x的二次函数,那么k的值是( )
A.1或2B.0或2C.2D.0
【解答】解:
∵函数y=(k﹣2)x
+kx+1是关于x的二次函数,
∴k﹣2≠0,k2﹣2k+2=2.
解得k=0.
故选:
D.
8.在下列4个不同的情境中,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有( )
①设正方形的边长为x面积为y,则y与x有函数关系;
②x个球队参加比赛,每两个队之间比赛一场,则比赛的场次数y与x之间有函数关系;
③设正方体的棱长为x,表面积为y,则y与x有函数关系;
④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶,那么汽车行驶的里程y(km)与行驶时间x(h)有函数关系.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解答】解:
①依题意得:
y=x2,属于二次函数关系,故正确;
②依题意得:
y=x(x﹣1)=x2﹣x,属于二次函数关系,故正确;
③依题意得:
y=6x2,属于二次函数关系,故正确;
④依题意得:
y=120x,属于一次函数关系,故错误;
综上所述,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个.
故选:
C.
9.如果二次函数y=ax2+bx,当x=1时,y=2;当x=﹣1时,y=4,则a,b的值是( )
A.a=3,b=﹣1B.a=3,b=1
C.a=﹣3,b=1D.a=﹣3,b=﹣1
【解答】解:
根据题意得
,
解得
.
所以抛物线解析式为y=3x2﹣x.
故选A.
10.下表是变量x与y的一组对应值:
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
y
1
﹣0.5
﹣1
﹣0.5
1
3.5
从这组数据看,y与x的函数关系是( )
A.正比例函数B.常数项不为零的一次函数
C.二次函数D.反比例函数
【解答】解:
观察可知,函数图象关于y轴对称,顶点坐标是(0,﹣1),
∴设函数解析式为y=ax2﹣1,
当x=1时,a﹣1=﹣0.5,
解得a=
,
y=
x2﹣1,
所以是二次函数.
故选C.
11.若y=ax2+bx+c,则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( )
x
﹣1
0
1
ax2
1
ax2+bx+c
8
3
A.y=x2﹣4x+3B.y=x2﹣3x+4
C.y=x2﹣3x+3D.y=x2﹣4x+8
【解答】解:
将x=1,ax2=1代入y=ax2得a=1.
将(﹣1,8),(0,3)分别代入y=x2+bx+c中得:
,
解得
;
∴函数解析式是:
y=x2﹣4x+3.
故选A.
二、填空题
12.对于二次函数y=x2+3x﹣2,当x=﹣1时,y的值为 .
【解答】解:
当x=﹣1时,y=1﹣3﹣2=﹣4.
故答案为:
﹣4.
13.已知二次函数y=2﹣3x﹣x2,其中二次项系数a= ,一次项系数b= ,常数项系数c= .
【解答】解:
已知二次函数y=2﹣3x﹣x2,其中二次项系数a=﹣1,一次项系数b=﹣3,常数项系数c=2.
故答案为:
﹣1,﹣3,2.
14.当m= 时,函数y=(m2﹣4)
+(m﹣3)x+3是二次函数.
【解答】解:
∵函数y=(m2﹣4)
+(m﹣3)x+3是二次函数,
∴m2﹣m﹣4=2,且m2﹣4≠0,
整理,得
(m﹣3)(m+2)=0,且(m+2)(m﹣2)≠0,
解得m=3.
故答案是:
3.
15.已知方程ax2+bx+cy=0(a,b,c是常数),请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式,则函数表达式为 ,成立的条件是 ,是 函数.
【解答】解:
由ax2+bx+cy=0得,y=﹣
x2﹣
x,
当a≠0且c≠0时,是二次函数,
故答案为:
y=﹣
x2﹣
x;a≠0且c≠0;二次.
16.当m= 时,函数y=(m﹣1)x|m|+1是二次函数.
【解答】解:
依题意可知|m|+1=2,
解得m=1或m=﹣1,
又∵m﹣1≠0,
∴m≠1,
∴当m=﹣1时,函数y=(m﹣1)x|m|+1是二次函数.
故答案为:
﹣1.
17.如图,正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上.若设AE=x,正方形EFGH的面积为y,则y与x的函数关系为 .
【解答】解:
如图所示:
∵四边形ABCD是边长为2的正方形,
∴∠A=∠B=90°,AB=2.
∴∠1+∠2=90°,
∵四边形EFGH为正方形,
∴∠HEF=90°,EH=EF.
∴∠1+∠3=90°,
∴∠2=∠3,
在△AHE与△BEF中,
∵
,
∴△AHE≌△BEF(AAS),
∴AE=BF=x,AH=BE=2﹣x,
在Rt△AHE中,由勾股定理得:
EH2=AE2+AH2=x2+(2﹣x)2=2x2﹣4x+4;
即y=2x2﹣4x+4(0<x<2),
故答案为:
y=2x2﹣4x+4.
18.已知:
如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米,面积为S米2.则S与x的函数关系式 ;自变量的取值范围 .
【解答】解:
由题可知,花圃的宽AB为x米,则BC为(24﹣3x)米.
这时面积S=x(24﹣3x)=﹣3x2+24x.
∵0<24﹣3x≤10得
≤x<8,
故答案为:
S=﹣3x2+24x,
≤x<8.
三、解答题
19.下列函数哪些是二次函数?
并写出它们的二次项、一次项、常数项?
(1)3y=3(x﹣1)2+1
(2)y=﹣0.5(x﹣1)(x+4)
(3)s=3﹣2t2(4)y=2x(x2+3x﹣1)(5)y=1﹣
x2.
【解答】解:
(1)3y=3(x﹣1)2+1是二次函数,二次项是x2,一次项是﹣2x,常数项是
;
(2)y=﹣0.5(x﹣1)(x+4)是二次函数,二次项是﹣0.5x2,一次项是﹣1.5x,常数项是2;
(3)s=3﹣2t2是二次函数,二次项是﹣2t2,一次项是0,常数项是3;
(4)y=2x(x2+3x﹣1)不是二次函数,
(5)y=1﹣
x2是二次函数,二次项是﹣
x2,一次项是0,常数项是1.
20.已知函数y=(9k2﹣1)x2+2kx+3是关于x的二次函数,求不等式
的解集.
【解答】解:
∵函数y=(9k2﹣1)x2+2kx+3是关于x的二次函数,
∴9k2﹣1≠0,
解得:
k≠
,
3(k﹣1)≥2(4k+1)﹣6,
解得:
k≤
,
故不等式
的解集为:
k≤
且k≠﹣
.
21.判断
=
+2x是否为二次函数,并说明理由.
【解答】解:
不是,
因为
,
都是函变量的分式,而二次函数是含变量的整式y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c都是常数).
22.已知函数y=(m+3)
.
(1)当m为何值时,它是正比例函数?
(2)当m为何值时,它是反比例函数?
(3)当m为何值时,它是二次函数?
【解答】解:
(1)当函数y=(m+3)
是正比例函数,
∴m2+2m﹣2=1,
且m+3≠0,
解得:
m1=﹣3(舍去),m2=1,
则m=1时,它是正比例函数;
(2)当函数y=(m+3)
是反比例函数,
∴m2+2m﹣2=﹣1,
且m+3≠0,
解得:
m1=﹣1+
,m2=﹣1﹣
,
则m=﹣1±
时,它是反比例函数;
(3)当函数y=(m+3)
是二次函数,
∴m2+2m﹣2=2,
且m+3≠0,
解得:
m1=﹣1+
,m2=﹣1﹣
,
则m=﹣1±
时,它是二次函数.
23.已知y与x2成正比例,且当x=3时,y=﹣18,写出y与x之间的函数解析式,它是二次函数吗?
【解答】解:
∵y与x2成正比例,
∴y=kx2(k≠0),
把x=3时,y=﹣18代入得:
﹣18=32•k,
∴k=﹣2,
∴y与x之间的函数解析式为y=﹣2x2.
符合二次函数的定义,属于二次函数.
24.设圆柱的高为6cm,底面半径为rcm,底面周长为Ccm,圆柱的体积为Vcm3.
(1)分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式;
(2)这三个函数中,哪些是二次函数?
【解答】解:
(1)∵圆柱的底面半径为rcm,底面周长为Ccm,
∴C=2πr(cm);
又∵圆柱的高为6cm,底面半径为rcm,圆柱的体积为Vcm3,
∴V=πr2×6=6πr2(cm3).
∵设圆柱的高为6cm,底面周长为Ccm,圆柱的体积为Vcm3,
∴V=π×(
)2×6=
(cm3).
综上所述,C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式分别是:
C=2πr、V=6πr2、V=
.
(2)根据二次函数的定义知,V关于r的关系式V=6πr2是二次函数.